[工学]自控原理 第三章 时域瞬态响应分析ppt课件

1、线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法自动控制原理自动控制原理第三章第三章v3-1 时域呼应以及典型输入呼应时域呼应以及典型输入呼应v3-2 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析v3-3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析v3-4 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析v3-5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析v3-6 线性系统的稳态误差计算线性系统的稳态误差计算v例题分析例题分析v课后习题课后习题什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。 由于时域分析是直接在时间域中对系统进展分析的方法，所以时域分析具有直观和准确的优点。

2、 系统输出量的时域表示可由微分方程得到，也可由传送函数得到。 在初值为零时，普通都利用传送函数进展研讨，用传送函数间接的评价系统的性能目的。详细是根据闭环系统传送函数的极点和零点来分析系统的性能。1阶跃函数00( )0tr tA t= ，A=1时称为单位阶跃函数 ( )1( )( )( )r ttr tu t=，或1( )1( )R sLts=3-1-1、典型输入作用2斜坡函数A=1时称为单位斜坡函数时称为单位斜坡函数00( )0tr tAtt= ，21( )R ss3抛物线函数当当A=1/2A=1/2时，称为单位抛物线函数时，称为单位抛物线函数 200( )0tr tAtt= -s1021n

3、nwzwz-+-js221nnwzwz-4 无阻尼， 一对纯虚根21,2 0 s1nnnjzzwwzw= - = 0zs1s20js1s221nwz-0nzw(负阻尼)(5)s1021nnwzwz-+-js221nnwzwz- 上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃呼应如下表所示：单位阶跃呼应极点位置特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根 衰减振荡一对共轭复根(左半平面 等幅周期振荡一对共轭虚根 无阻尼, 0njs2, 1欠阻尼, 1oNoImageNoImage)(2, 1重根ns过阻尼，1122, 1nns进展

4、拉氏反变换进展拉氏反变换21( )( )( )()()nndndC sG s R ssjsjs22221()()()nnndndssss 21cossin( )1nnddttcetett即221( 1cossin)( )1nddtecttt或2211sin()( )1ndtectarctgt(0)t (0)t 1、欠阻尼(01)21dnwwx=-当当 时，二阶系统的单位阶跃呼应是以时，二阶系统的单位阶跃呼应是以 为角频为角频率的的衰减振荡，且随率的的衰减振荡，且随 的减小，其振荡幅值加大。的减小，其振荡幅值加大。01dw012345600.8Timesec

5、 ty单 位 阶 跃 响 应 曲 线 =0.2=0.4=0.6=0.8设定值122, 1nnsn( )1(0)nnttnc tteetwww-=-222111( )( )( )()()nnnnnC sG s R ssssss 进展拉氏反变换1(1)nw tnew t-=-+2、临界阻尼 ( ) 此时，二阶系统的极点是二重根NoImagev 临界阴尼系统在能量交换时，能量一次全部跑掉v 系统无超调00.511.522.533.5400.811.2Timesec ty单 位 阶 跃 响 应 曲 线 =1设 定 值3、 过阻尼 此时，二阶系统的极点是两个负实根。( )( )( )C

6、 sG s R s2221(1)(1)nnnnnsss222222112(1 1)2(1 1)111nnnnsss 1进展拉氏反变换2221(1)12( )1 1)nc tte 2221(1)2(1 1)nte 0246810121416182000.811.2Timesec ty单 位 阶 跃 响 应 曲 线 =2=4=6=8设 定 值4、零阻尼、零阻尼 此时，二阶系统的极点为一对共轭虚根，其传送函数可表示为此时，二阶系统的极点为一对共轭虚根，其传送函数可表示为02222211( )( )( )nnnsC sG s R sssss 进展拉氏反变换可得进展拉氏反变换可得1 c

7、 s)o(nctt(0)t 系统呼应曲线为无衰减的周期振荡，振荡频率为系统呼应曲线为无衰减的周期振荡，振荡频率为n00.511.522.533.5400.81.82Timesec ty单 位 阶 跃 响 应 曲 线 =0设 定 值5、负阻尼、负阻尼 0负阻尼的二阶系统的发散振荡呼应负阻尼的二阶系统的发散振荡呼应负阻尼二阶系统的单调发散呼应负阻尼二阶系统的单调发散呼应00.020.040.060.000.511.522.53Timesec ty单 位 阶 跃 响 应 曲 线 =-2设定值00.511.522.53

8、3.54-50-40-30-20-100102030Timesec ty单 位 阶 跃 响 应 曲 线 =-0.2设定值可以看出：随着 的添加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有衰减的正弦运动，当 时c(t)呈现单调上升运动(无振荡)。可见 反映实践系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。121tgrdt一衰减振荡瞬态过程 ：) 10(0, )sin1(cos1)(2tttetcddtn 上升时间 ：根据定义，当 时， 。rtt rt1)(rtc1)sin1(cos1)(2rdrdtttetcrn0sin1cos2rdrdtt)1(121tgtdrn21nj21njn 称为阻尼角，这是由于 。cos2

9、211)(nntgdrt)1(121tgtdr)1(21tg 峰值时间 ：当 时，ptptt 0)(ptc 0)cos(1)sin(1)(22pddtpdtntetetcpnpntgttgndpd21)(整理得：,.)2 , 1 , 0( ,nntpd0, )sin(11)(2ttetcdtn211tg其中0)cos()sin(pddpdntt010510152025tr tp由于 出如今第一次峰值时间，取n=1，有：dnpt21pt 最大超调量 ：%100) 1)(%100)()()(%pptccctc故：%100%21emax)()(c

10、tctcp得将峰值时间 代入21npt)sin1(cos1)(2maxpnpdtpttetccpn221211)sin1(cos1ee00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.910102030405060708090100 调理时间 ：st可见，写出调理时间的表达式是困难的。由右图可知呼应曲线总在一对包络线之内。包络线为1C(t)0tsts2111=5t211tne2111211tne 根据调理时间的定义，当tts时 |c(t)-c()| c() %。%)1tgsin(1212tedtn211tnenst%)1ln(2当t=ts时，有：%12snte由于实践呼应曲

11、线的收敛速度比包络线的收敛速度要快因此可用包络线替代实践呼应来估算调理时间。即以为呼应曲线的包络线进入误差带时，调整过程终了。1C(t)0tsts2111=5t211tne2111211tne当 较小时，近似取： ，且1124912. 3)02. 0ln(3996. 2)05. 0ln(时当时当52,3,4nnst所以1024681012141618202224=5的精确曲线=5的近似曲线 =2的近似曲线=2的精确曲线snt0.780.690.530.430.380.3040.230.19 振荡次数N：为阻尼振荡周期。式中df2t ,fst

12、tN由分析知，在 之间，调理时间和超调量都较小。工程上常取 作为设计根据，称为最正确阻尼常数。 8 . 04 . 0707. 021q阻尼系数 是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接地判别一个二阶系统的瞬态质量。在 的情况下瞬态特性为单调变化曲线，无超调和振荡，但 长。当 时，输出量作等幅振荡或发散振荡，系统不能稳定任务。1st0总结q在欠阻尼 情况下任务时，假设 过小，那么超调量大，振荡次数多，调理时间长，瞬态控制质量差。) 10(留意到 只与 有关，所以普通根据 来选择 。 %100%21e%q 越大， 当 一定时nnnst),3(4或stq为了限制超调量，并使 较小， 普通取0.40.8

13、，那么超调量在25%1.5%之间。st例 设系统构造图如下图，如要求系统具有性能目的%20%,1pptsss=试确定系统参数K和，并计算单位阶跃呼应的特征量td，tr和ts(1)Ks s1s_)(sR)(sC+由图知，系统闭环传送函数为2( )( )(1)C sKR ssKsKt=+与传送函数规范方式比较，得1,2nKwKKtz+=根据%和的关系，可得2ln(1/)0.461(ln)ppszps=+再有峰值时间，可以算出23.53(/ )1npwrad stpz=-从而得2212.46(/ )nKwrad s=210.18( )nwsKzt-=所以0.37( ),0.65( ),2.17( )

14、drsts ts ts=v 例：如下图系统，施加9.8N 阶跃力后，记录其时间呼应，试求该系统的质量M、弹性系数k和粘性阻尼系数f的值。t(s)01230.030.0029x0(t)/mv 解：根据牛顿第二定律解：根据牛顿第二定律20002( )( )( )( )idx tdx tF tkx tfMdtdt20()( )( )iMsfsk x sF s202221( )1( )2nninx skF sMsfskss022118.9( )( )ix sF sMsfskMsfsks0020018.98.9( )lim( )lim0.03( )ssxsx ssmMsfsksk 拉氏变换拉氏变换中值定

15、理中值定理297(/)kN m210.00290.03pMe解得 =0.6221.96(/ )12 1 0.6nprad st2229777.3()1.96nkMkg2181.8(/ )nfMN m s3-4 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析一、典型三阶系统的瞬态呼应传送函数： ，当 时，极点分布如下： ) 1)(2()(222Tssssnnn10Tpjpjpnnnn1,1,1322211p2p3p021n21nn33222132232211)(2(1)()(psAssAsAsspssspsssCnnnnn式中： 与 实极点与共轭极点的位置关系有关。321,AAAnnp3,tpnntnte

16、AteAteAtcnn3322222111sin1)1sin(1)(211tg式中：分析：三阶系统的单位阶跃呼应由三部分组成：稳态项，共轭复极点构成的振荡分量，实极点构成的衰减指数项分量。影响瞬态特性的有两个要素：第一是 ，它表示 的相对位置。当 时，表示 离虚轴远， 离虚轴近，系统的瞬态特性主要由 决议，呈二阶系统的特性。反之，当 时，表示 离虚轴近， 离虚轴远，系统的瞬态特性主要由 决议，呈一阶系统的特性。第二个要素是阻尼系数 ，同前。如以下图所示： np3213, ppp和13p21, pp 21, pp 13p21, pp 3p10tn)(tc1 . 02图中， 表示无 极点，由图可见

17、，参与极点 后，当 不变时，超调量下降了，但调理时间添加了。3p3p05101500.811.21.4Timesec ty单 位 阶 跃 响 应 曲 线 b=0.5b=1b=2b=4b=100000设定值二、高阶系统分析高阶系统的传送函数为：nmasasabsbsbsnnnnmmmm,.)(011011写成零极点方式：nmnnnsspszsksnjnlnlnlljmiig,2,)2()()()(211122112其单位阶跃呼应函数为：2112221021)(1)()(nlnlnlllnllnlllnjjjssspsasasssCteteeaatclnltnlllnltnlln

18、jtpjnllnllj2121101sin1cos)(221可见，c(t)不仅与 闭环极点有关，而且与系数 有关这些系数都与闭环零、极点有关。所以，高阶系统的单位阶跃呼应取决于闭环系统的零、极点分布。nlljp,llja,q 对于闭环极点全部位于s左半平面的高阶系统否那么系统不稳定，极点为实数指数衰减项和共轭复数衰减正弦项的衰减快慢取决于极点离虚轴的间隔。远，衰减的快；近，衰减的慢。所以，近极点对瞬态呼应影响大。定性分析：假设极点远离原点，那么系数小；极点接近一个零点，远离其他极点和零点，系数小；极点远离零点，又接近原点或其他极点，系数大。衰减慢且系数大的项在瞬态过程中起主导作用。q 系数 取

19、决于零、极点分布。有以下几种情况： llja, 存在一对离虚轴最近的共轭极点； 附近无零点； 其他极点距虚轴的间隔是它的5倍以上。主导极点：满足以下条件的极点称为主导极点。例如： 为某高阶系统的主导极点，那么单位阶跃呼应近似为：dnnjjp211112, 11)sincos()(110tteatcddt利用主导极点的概念可以对高阶系统的特性做近似的估计分析。q 在近似前后，确保输出稳态值不变；q 在近似前后，瞬态过程根本相差不大。 主导极点在c(t)中的对应项衰减最慢，系数最大，系统的瞬态性能目的主要由它决议。具有主导极点的高阶系统可近似为二阶系统。高阶系统近似简化原那么：例如：)(2()()

20、(222pssszssnnnzpndjdj假设：55nnpz以及那么：)2()(222nnnsspzspzpssszsssnnns)(2()(1lim2220pzpsszssnnns)2(1lim2220而阐明：假设输入为单位阶跃函数，那么化简前后的稳态值如下3-5 系统稳定性的根本概念系统稳定性的根本概念假设一个系统遭到扰动，偏离了原来的平衡形假设一个系统遭到扰动，偏离了原来的平衡形状，而当扰动取消后，这个系统又可以逐渐恢复状，而当扰动取消后，这个系统又可以逐渐恢复到原来的形状，那么称系统是稳定的。否那么这到原来的形状，那么称系统是稳定的。否那么这个系统是不稳定的。个系统是不稳定的。控制系统

21、稳定性的定义：假设控制系统在任何足够小的初始偏向的作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡形状的性能，那么称该系统稳定。否那么，称该系统不稳定。留意：1. 稳定性是系统本身的固有特性,它取决于系统本身的构造和参数,而与输入无关；对于纯线性系统来说，系统的稳定与否不与初始偏向的大小有关。假设，这个系统是稳定的，就叫做大范围稳定。而经过线性化处置的系统都是“小偏向稳定。2. 控制实际中所讨论的稳定性其实都是指自在振荡下的稳定性,也就是说,是讨论输入为零,系统仅存在初始偏向不为零时的稳定性,即讨论自在振荡是收敛还是发散的。5-2 系统的稳定条件系统的稳定条件设定常线性系统的

22、微分方程为：式中 ，假设记并对上式作拉氏变换，得 1110010 nnmnnmia papa paxtb pb pbx tdpdt 11110110mnnnnmmmD pa papa paM pb pbpb pb ( ) ( )M sN sC sR sD sD s式中 为系统的传送函数。由于是在零初始条件下，有那么拉氏反变换，有由上式可知，假设系统一切特征根的实部均为负值，即 M sG sD s ( )( )N sC sD s( )0R s 111 ins tiiN sc tLC sLAeD s Re0is 这样的系统就是稳定的。反之，假设特征根中有一个或多个根具有正实部时，那么零输入将随时间

23、的推移发散，即 这样的系统是不稳定的。 lim0tc t limtc t 由此可得以下结论： 1.控制系统稳定的充分必要条件是：系统特征方程式的根全部具有负实部。系统特征方程式的根就是闭环极点，所以控制系统稳定的充分必要条件也可以说成是闭环极点全部具有负实部，或说闭环传送函数的极点全部在S平面的左半面。2.如特征根一样上述结论仍成立。3.判别稳定性的关键转变为研讨系统的特征根能否具有正实部。5-3 代数稳定判据代数稳定判据一.劳斯判据1.系统稳定的必要条件:(1)特征方程的各项系数都不等于零。(2)特征方程的各项系数都不大于零。2.系统稳定的充要条件:设系统稳定的特征方程式为劳斯判据给出的系统

24、稳定的充分条件是：劳斯阵列中第一列一切项均为正号。在展开的阵列中,为简化其后的数值计算,可用一个正整数去除或乘某一个整行,并不影响稳定性结论。劳斯判据还阐明：方程式的正实部特征根数,等于劳斯阵列中第一列的系数改动的次数。 1201210 nnnnnD sa sa sa sasa1212302461343123421721510 nnnnsssbbbbsccccseesaaafsaaaaag 1201210 nnnnnD sa sasa sa s a劳斯阵列是将式的系数排成以下行和列，即为劳斯阵列其中系数 等，根据以下公式计算：同样的方法可以计算c,d,e等各行的系数123 , , bbb1 2

25、0 3111 40 5211 60 731aaa abaaaa abaaaa aba132132132153142gdddcccbbbaaaaaannnnnn例 设控制系统的特征方程为 试用劳斯判据判别其稳定性解 首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳斯阵列 43223430D sssss 432101332401123sssss 由劳斯阵列第一列可知，其系数出现负值，因此系统不稳定，并且符号变化两次，所以有两个正实部特征根。3.二阶，三阶和四阶系统的劳斯判据低阶系统的劳斯判据可以化简(1)二阶系统,(2)三阶系统,各项系数大于零,(3)四阶系统,各项系数大于零, , 01200

26、0aaa1 20 3aaa a1203a aa a2212303140a a aa aa a4.特殊情况 (1)假设在劳斯判据阵列中恣意一行的第一个元素为零,可以用因子(s+a),其中a可为恣意正数，再对新的特征方程运用劳斯判据。解 由劳斯阵列 4321011122001sssss例 设控制系统的特征方程为用劳斯判据判别其稳定性4322210ssss 由于劳斯阵列第一列元素的符号不一致,系统不稳定,并且符号改动两次,所以有两个正实部特征根以(s+1)乘以原来的特征方程，得到新特征方程为543210133331823111431ssssss5432333310sssss (2)劳斯阵列出现整排零

27、例 设控制系统的特征方程为试用劳斯判据判别其稳定性解 计算劳斯阵列如下6543228122016160ssssss65431820 162 12 160168000ssss在此情况下,可用该行上一行的元素构造一个辅助多项式,并利用这个多项式方程的导数的系数组成劳斯阵列表中的下一行。利用辅助多项式够成的辅助方程，解出特征根。由此可得到辅助多项式由此可得到劳斯阵列 4268A sss3( )412dA sssds6543210182016212160168000412384/38sssssss 从劳斯列表中可只，第一列没有出现负数，阐明系统在右半平面没有特征根，但是，第四行的各项元素为零，阐明虚轴

28、上有共轭虚根，该根可由辅助方程求得：解该方程，求得系统的共轭虚根：故，系统处于临界稳定42680ss 1,23,422sjsj 劳斯稳定判据的运用我们经常希望在s左半平面上系统特征根的位置与虚轴之间有一定的间隔。为此，可在s左半平面上作一条s=-a的垂线，而a是系统特征根位置与虚轴之间的最小给定间隔，通常称为给定稳定度，然后用新变量s1=s+a代入原系统特征方程，得到一个以s1为变量的特征方程，对新特征方程运用劳斯判据可以判别系统的特征根能否全部位于s=-a垂线之左。设比例-积分控制系统如下图。其中K1为与积分时间常数有关的待定参数。知参数=0.2及wn=86.6，试用劳斯稳定判据确定闭环系统

29、稳定的K1取值范围。假设要求闭环系统的全部极点位于s=-1垂线之左，问K1值范围又应取多大？)2(2nnss1Ks+-)(sR)(sC当要求闭环极点位于s=-1垂线之左时，可令s=s1-1,代入原特征方程，得到如下新特征方程：321111(1)34.6(1)7500(1)75000sssK-+-+-+=整理得：32111131.67433.875007466.40sssK+-=相应的劳斯表3121111101117433.831.675007466.431.67433.8(75007466.4)031.675007466.4ssKKssK-令劳斯表中第一列各个元素为正，得使全部闭环极点位于s=

30、-1垂线之左的K1取值范围：1132.3K2时，除了复合控制系统外，使系统稳定是相当困难的。10000( )( )( )limlimlim1( )1( )vssvssskvsR ssR ssR seKG ssKG ss+=+可见给定作用下的稳态误差与外作用有关；与时间常数方式的开环增益有关；与系统的型别的个数有关。阶跃输入作用下的稳态误差与静态位置误差系数阶跃输入作用下的稳态误差与静态位置误差系数式中： 称为位置误差系数； )(lim0sGKkspKeKsKGKssrsp11,)(lim000，时当0,)(lim100ssrspesGsKK，时当稳态误差为零的系统称为无差系统，为有限值的称为有

31、差系统。在单位阶跃作用下， 的系统为有差系统， 的系统为无差系统。01q当输入为 时单位阶跃函数ssR1)(psksksssrKsGsKsGsGssRe11)(lim11)(lim11)(1)(lim0000 的大小反映了系统在阶跃输入下的稳态精度。 越大， 越小。所以说 反映了系统跟踪阶跃输入的才干。pKpKssepKq 当输入为 时单位斜坡函数21)(ssR00010( )111lim1( )lim( )lim( )ssskkvsssR seKG ss G sKG ssn-=+式中： 称为速度误差系数； )(lim0sGsKksv000lim( )0,vsssKsKG sen= ，当时00

32、11lim( ),vsssKKG sKeKn=，当时002lim( ),0vsssKKG sesn= =，当时 的大小反映了系统在斜坡输入下的稳态精度。 越大， 越小。所以说 反映了系统跟踪斜坡输入的才干。vKssevKvK根据 计算的稳态误差是系统在跟踪速度阶跃输入时位置上的误差。vK斜坡输入作用下的稳态误差与速度位置误差系数斜坡输入作用下的稳态误差与速度位置误差系数加速度输入作用下的稳态误差与静态加速度误差系数加速度输入作用下的稳态误差与静态加速度误差系数q 当输入为 时单位加速度函数31)(ssR200020( )111lim1( )lim( )lim( )ssskkasssR seKG

33、 ssG sKG ssn-=+式中： 称为加速度误差系数； )(lim20sGsKksa(1,2)000,1lim( )0,asssKsKG sen= ，当时0012lim( ),asssKKG sKeKn=，当时003lim( ),0asssKKG sesn= =，当时 的大小反映了系统在抛物线输入下的稳态精度。 越大， 越小。所以说 反映了系统跟踪抛物线输入的才干。aKsseaKaK根据 计算的稳态误差是系统在跟踪加速度阶跃输入时位置上的误差。aK当系统的输入信号由位置，速度和加速度分量组成时，即2( )21sspvaCtABCr tABteKKK=+=+当时，有小结：给定作用下的稳态误差与外作用有关。对同一系统参与不同的输入，稳态误差不同。与时间常数方式的开环增益有关；对有差系统，K，稳态误差，但同时系统的稳定性和动态特