大学物理第6章 狭义相对论基础

1、狭义相对论A.A.爱因斯坦爱因斯坦(1879-1955)(1879-1955) 二十世纪最伟大的自然科学家二十世纪最伟大的自然科学家, ,物理学革命的旗手。物理学革命的旗手。 (1921(1921年获诺贝尔物理学奖年获诺贝尔物理学奖) )本章主要内容本章主要内容牛顿牛顿相对性原理相对性原理和和Galileo变换变换EinsteinEinstein相对性原理相对性原理和和光速不变光速不变 Lorentz变换变换 同时性的相对性同时性的相对性和时间延缓和时间延缓 长度收缩长度收缩相对论速度变换相对论速度变换 相对论质量相对论质量 相对论动能相对论动能相对论能量相对论能量动量和能量的关系动量和能量的

2、关系第6章 狭义相对论基础第第6 6章章 狭义相对论基础狭义相对论基础19051905年年6 6月，月， A. Einstein发表发表了长论文了长论文论动体的电动力学论动体的电动力学，完整地提出了狭义相对性理论，即完整地提出了狭义相对性理论，即。它是。它是区别于牛顿区别于牛顿时空时空观的一种新的观的一种新的时空理论时空理论。狭义（特殊）狭义（特殊）只适用于惯只适用于惯性参照系。性参照系。相对论相对论和和量子论量子论是近代物理学的两大基础理论。是近代物理学的两大基础理论。第6章 狭义相对论基础狭义相对论的产生背景狭义相对论的产生背景19世纪末到世纪末到20世纪初，人们发现了许多与经典物理学理论

3、世纪初，人们发现了许多与经典物理学理论相抵触的实验事实：相抵触的实验事实：Einstein深入思考这些问题，认为：（深入思考这些问题，认为：（1）电磁场是独立的）电磁场是独立的实体，不存在实体，不存在“以太以太”不存在绝对的空间不存在绝对的空间；（；（2）电磁场）电磁场的规律适用于任何不同的惯性系；（的规律适用于任何不同的惯性系；（3）同时性具有相对意）同时性具有相对意义义不存在绝对的时间不存在绝对的时间。（1）运动物体的电磁感应现象）运动物体的电磁感应现象 （2）真空中电磁场方程在）真空中电磁场方程在Galileo变换下不是协变的。变换下不是协变的。 （3）地球相对于）地球相对于“光媒质光媒

4、质”（以太）运动的速度得到否定（以太）运动的速度得到否定结果，直接冲击经典时空观。结果，直接冲击经典时空观。由此得出两个由此得出两个公设公设：相对性原理和光速不变原理：相对性原理和光速不变原理6.1 牛顿相对性原理和 Galileo 变换在任何惯性参照系中，力学基本定律（牛顿定律）在任何惯性参照系中，力学基本定律（牛顿定律）具有相同的形式。或：力学规律在所有惯性系中都是具有相同的形式。或：力学规律在所有惯性系中都是等价的。等价的。Newton的的和和 绝对空间，就其本质而言，与外界任何事物无关，而绝对空间，就其本质而言，与外界任何事物无关，而永远是相同的和不动的。永远是相同的和不动的。 绝对的

5、、真正的、数学的时间，自己流逝着，并由于绝对的、真正的、数学的时间，自己流逝着，并由于它的本性而均匀地、与任何外界对象无关地流逝着。它的本性而均匀地、与任何外界对象无关地流逝着。牛顿认为：长度的量度和时间的量度和牛顿认为：长度的量度和时间的量度和参考系参考系无关。即同样两无关。即同样两点间的距离或同样的前后两个事件之间的点间的距离或同样的前后两个事件之间的时间时间，无论在哪个，无论在哪个惯惯性系性系中测量都是一样的。中测量都是一样的。6.1 牛顿相对性原理和 Galileo 变换OxyzSxyzOSu设设 和和 为两惯性系，对应的坐标为两惯性系，对应的坐标 和和 、 和和 、 和和 分别平行；

6、分别平行； 相对于相对于 以一速率以一速率 沿沿 的正向运动；当的正向运动；当 时，两原点时，两原点 和和 重合。重合。SSxxyyzzuxOO0ttSSttzzyyutxx ttzzyyt uxx 逆变换逆变换：),(tzyx) , , ,( tzyx 若在若在 系中观察一事件，系中观察一事件， 时空坐标为时空坐标为 ，在，在 系中观察为系中观察为 ，则：，则：S) , , ,(tzyxS) , , ,(tzyx6.1 牛顿相对性原理和 Galileo 变换Galileo变换是建立在经典时空观基础上的变换式：绝对空变换是建立在经典时空观基础上的变换式：绝对空间、绝对时间、时空独立无关。间、绝

7、对时间、时空独立无关。Galileo变换可导出变换可导出Galileo相对性原理：相对性原理：dtt dttzzyyxxvvvvuvvzzyyxxaaaaaaaa 即uvdtdtudtdxdtxdt dxdvxxamFamF因因 ，故，故 和和 同时成立。同时成立。mmFF , 真空中的光速是常量，沿各个方向真空中的光速是常量，沿各个方向都等于都等于c ，与光源或观测者的运动状态，与光源或观测者的运动状态无关无关.1 相对性原理相对性原理 物理定律在所有惯性系中都具有相物理定律在所有惯性系中都具有相同的表达形式同的表达形式.2 光速不变原理光速不变原理狭义相对论的基本原理狭义相对论的基本原理

8、关键概念：相对性和不变性关键概念：相对性和不变性 . 伽利略变换与伽利略变换与狭义相对论的基本原狭义相对论的基本原理不符理不符. 狭义相对论的基本原理狭义相对论的基本原理与实验事实与实验事实相符合相符合.这两条基本原理是狭义相对论的基础这两条基本原理是狭义相对论的基础.6.2 Lorentz 相对性原理和光速不变电磁场规律可导出电磁波（光波）满足的波动方程为电磁场规律可导出电磁波（光波）满足的波动方程为电磁场方程不满足电磁场方程不满足G变换！变换！m/s 10998. 2101800222222222ctEczEyExE本身要求本身要求c c是物理常数，即与参照系无关。是物理常数，即与参照系无

9、关。crtrEEcos)(波的传播速度波的传播速度观下利用观下利用G变换，波速与参照系的选取有关：变换，波速与参照系的选取有关：uu相对地球相对地球cucuc相对绝对空间（恒星）相对绝对空间（恒星）相对地球相对地球Einstein认为：电磁场的规律应满足相对性原理（作为物认为：电磁场的规律应满足相对性原理（作为物理常数的理常数的c也不随参照系变）；绝对时空不存在；也不随参照系变）；绝对时空不存在； G变换变换是错是错误的。误的。 洛伦兹变换式洛伦兹变换式符合相对论理论的时空变换关系符合相对论理论的时空变换关系设设 时，时， 重合重合 ; 事件事件 P 的时空坐标如的时空坐标如图所示图所示.0t

10、too,z z yx xyuo o ss*) , , , (tzyx),(tzyxP)(12txtxxuuyy zz )(1222xctxcttuu 洛伦兹坐标变换式洛伦兹坐标变换式cu211 )(txxuyy zz )(2xcttu正正变变换换)(txxuyy zz )(2xcttu逆逆变变换换注注 意意 时时, 转换为伽利略变换式转换为伽利略变换式. cu1cu 同时的相对性同时的相对性 事件事件 1 :车厢车厢后后壁接收器接收到光信号壁接收器接收到光信号.事件事件 2 :车厢车厢前前壁接收器接收到光信号壁接收器接收到光信号.S 系系 ( 地面参考系地面参考系 )事件事件 2 ),(222

11、2tzyx),(1111tzyx事件事件 1设设 S系中系中x1 1、x2 2两处发生两事件两处发生两事件,时间时间间隔为间隔为 .问问 S系中这两事件系中这两事件发生的时间间隔是多少？发生的时间间隔是多少？12ttt1ttt2 x y o12xyou123691236912369),(1111tzyx 系系 (车厢参考系车厢参考系 ),(2222tzyxS221xcttu 在一个惯性系同在一个惯性系同时发生的两个事件，时发生的两个事件，在另一个惯性系是在另一个惯性系是否同时否同时?u x y o121236912369讨论讨论221xcttu-不同时不同时-不同时不同时2同地不同时同地不同时

12、0 0tx 1同时不同地同时不同地00tx S系系S系系-同时同时-不同时不同时xct2u时时 -同时同时 3同时同地同时同地0 0tx 4不同时不同地不同时不同地00tx 讨论讨论221xcttuS系系S系系结论结论 同时性具有相对意义同时性具有相对意义 沿两个惯性系运动方向，沿两个惯性系运动方向，不同地点不同地点发生的两个事件，在其中一个惯性系中发生的两个事件，在其中一个惯性系中是是同时同时的，在另一惯性系中观察则的，在另一惯性系中观察则不同不同时时，所以同时具有，所以同时具有相对相对意义；只有在意义；只有在同同一地点一地点，同一同一时刻发生的两个事件，在时刻发生的两个事件，在其他惯性系中

13、观察也是其他惯性系中观察也是同时同时的的.长度长度的测量和的测量和同时性同时性概念密切相关概念密切相关一一 长度的收缩长度的收缩( (动尺变短动尺变短) )xyozs1 x2 x0l y xu o z s1x2x棒沿棒沿 轴对轴对 系静止放置系静止放置,在在系中同时测得两系中同时测得两端坐标端坐标21, xxxO SS120 xxl则棒的则棒的固有长度固有长度为为固有固有长度：物体相对静止时所测得的长长度：物体相对静止时所测得的长度度 .（最长最长）问问 在在S系系中测得棒有中测得棒有多长多长?xyozs1 x2 x0l y xu o z s1x2x22121201)()(ctxtxxxluu

14、u设设 在在S系中某时刻系中某时刻 t 同时测得同时测得棒两端坐棒两端坐标为标为x1、x2，则，则S系中测得棒长系中测得棒长 l= x2 - x1， l与与l0的关系为：的关系为：22221211clcxxuu结论结论 长度具有长度具有相对相对意义意义讨论讨论2201cllu1 长度收缩长度收缩 ll0u2 如将物体固定于如将物体固定于 系系, ,由由 系测量系测量, ,同同样出现长度收缩现象样出现长度收缩现象.SS物体在运动方向上长度收缩物体在运动方向上长度收缩. 例例1 设想有一光子火箭，设想有一光子火箭， 相对相对于地球以速率于地球以速率 直线飞行，若直线飞行，若以火箭为参考系测得火箭长

15、度为以火箭为参考系测得火箭长度为 15 m ，问以地球为参考系，此火箭有多长问以地球为参考系，此火箭有多长 ？c95. 0uss火箭参照系火箭参照系地面参照系地面参照系m150lux xy yo o解解固有长度固有长度llm150运动长度运动长度21 llm68. 4m95. 01152lS火箭参照系火箭参照系S地面参照系地面参照系m150lux xy yo o 例例2 长为长为 1 m 的棒静止地放在的棒静止地放在 平面内，在平面内，在 系的观察者测得此棒与系的观察者测得此棒与 轴成轴成 角，试问从角，试问从 S 系的观察者来看，系的观察者来看，此棒的长度以及棒与此棒的长度以及棒与 Ox 轴

16、的夹角是多少？轴的夹角是多少？设设 系相对系相对 S 系的运动速度系的运动速度 . 23cu45yxOxOSSux xy yo o xl ylm1l解解 在在 系系,45Sm2/2yxll23cum79. 022yxlll43.63arctanxyllm2/2yyll在在 S 系系42122l/cllxxuux xy yo o xl yl二二 时间的延缓时间的延缓( (动钟变慢动钟变慢) ) yx xyuoossdB12369), (1tx发射光信号发射光信号), (2tx接受光信号接受光信号cdttt212时间间隔时间间隔s系系同一同一地点地点 B 发生两事件发生两事件xyosd123691

17、23691x2x12369在在 S 系中观测两事件系中观测两事件),(),(2211txtx)(211cxttu)(222cxttu)(2cxttu12tttt0 x21ttxyosd12369123691x2x12369 yx xyuoossdB1236921tt固有固有时间时间 ：同一同一地点地点发生的发生的两两事件的时间事件的时间间隔间隔 .时间延缓时间延缓 ：运动：运动的钟走得慢的钟走得慢 .0ttt 3 时，时， .cutt 1 时间延缓是一种相对效应时间延缓是一种相对效应 . 2 时间的流逝不是绝对的，运动时间的流逝不是绝对的，运动将改变时间的进程将改变时间的进程.（例如新陈代谢、

18、放（例如新陈代谢、放射性的衰变、寿命等射性的衰变、寿命等 ）注意注意狭义相对论的时空观狭义相对论的时空观 ( (1) ) 两个事件在不同的惯性系看来，两个事件在不同的惯性系看来，它们的空间关系是相对的，时间关系也它们的空间关系是相对的，时间关系也是相对的，只有将空间和时间联系在一是相对的，只有将空间和时间联系在一起才有意义起才有意义. ( (2) )时时空不互相独立，而是不可分空不互相独立，而是不可分割的整体割的整体. ( (3) )光速光速 C 是建立不同惯性系间时空是建立不同惯性系间时空变换的纽带变换的纽带. 例例3 设想一光子火箭以设想一光子火箭以 速率相对地球作直线运动速率相对地球作直

19、线运动 ，火箭上宇航，火箭上宇航员的计时器记录他观测星云用去员的计时器记录他观测星云用去 10 min , 则地球上的观察者测此事用去多少时间则地球上的观察者测此事用去多少时间 ？cu95. 0min01.32min95. 0110122tt运动的钟似乎走慢了运动的钟似乎走慢了.min10t解解 设火箭为设火箭为 系、地球为系、地球为 S 系系S 例例4. 惯性系惯性系S和和S 为约定系统，为约定系统，u=0.90c。在。在S 系的系的x 轴上轴上先后发生两个事件，其空间距离为先后发生两个事件，其空间距离为1.0 102m，时间间隔，时间间隔为为1.0 10-6s。求。求:在在S系中观察到的时

20、间间隔和空间间隔。系中观察到的时间间隔和空间间隔。解：解：已知量为已知量为12tt,12xx 和和 u 分析：分析：在这个约定系统中，在这个约定系统中， S 系沿系沿S系系x轴正向以轴正向以0.9c的速的速度运动。在度运动。在S 系中发生的事件既不同时也不同地，故不能按系中发生的事件既不同时也不同地，故不能按长度收缩和时间延缓来处理。而应按洛仑兹变换来求解。长度收缩和时间延缓来处理。而应按洛仑兹变换来求解。)()(121212ttuxxxx )(111tuxx )(222tuxx 根据洛仑兹变换有根据洛仑兹变换有m1048. 8100 . 1100 . 39 . 029. 2100 . 129

21、. 2268212 xx同理同理)()(1221212xxCutttt s1098. 2100 . 1100 . 39 . 029. 2100 . 129. 26286 这就是在这就是在S S系中发生的时间间隔和空间间隔。系中发生的时间间隔和空间间隔。(由此式可以看出：只有同时发生的两件事（上式中第由此式可以看出：只有同时发生的两件事（上式中第二项为二项为0）才能应用长度收缩公式。这点定要记牢！）才能应用长度收缩公式。这点定要记牢！)29. 290. 0112 由已知各条件得由已知各条件得 洛伦兹速度变换式洛伦兹速度变换式正变换正变换xxxvcvv21uuxzzvcvv21uxyyvcvv21

22、u逆变换逆变换xyyvcvv12uxzzvcuvv12xxxvcvv12uu讨论讨论ccucucvx21光速不变光速不变如在如在S系中沿系中沿x方向发射一光信号方向发射一光信号, ,在在S系中观察系中观察: 光速在任何惯性光速在任何惯性系中均为同一常量，系中均为同一常量，利用它可将时间测量利用它可将时间测量与距离测量联系起来与距离测量联系起来.6.6 相对论速度变换)( )( 2xcuttzzyyutxxdtdzvdtdyvdtdxvzyx , ,系中物体的速度为：系中物体的速度为：Stdzdvtdydvtdxdvzyx , ,系中物体的速度为：系中物体的速度为：S2211)(cuvuvcdt

23、dxuudtdxdtt ddtxdt ddtdtxdt dxdvxxx2211cuvvcdtdxudtdydtt ddtydt ddtdtydt dydvxyy21cuvvvxzz2211cvuvvcvuuvvxyyxxx例例1 一飞船相对于地球以一飞船相对于地球以 的速率飞行，此时飞船沿（的速率飞行，此时飞船沿（1）前进方）前进方向；（向；（2）垂直于前进方向，发射一微型火箭，发射速率（相对于飞船）垂直于前进方向，发射一微型火箭，发射速率（相对于飞船）为为 。求火箭相对于地球的运动速度。求火箭相对于地球的运动速度。1v2v解：（解：（1）沿前进方向）沿前进方向x地球地球 飞船飞船SSyxS1

24、vu 2vvxxyS（2）沿垂直方向）沿垂直方向y1vu 2 , 0vvvyx1vu ,2vvx0yv, 11221212cvvvvcvuuvvxxx0yv, 112vcvuuvvxxx22122211cvvvcvuvvxyy2vvycvcv6 . 08 . 021 877. 0 )2(4 . 1 946. 0 ) 1 (ccvccv例例2*. 飞船飞船A中宇航员观察到飞船中宇航员观察到飞船B正以正以0.4c的速度尾随而来。已的速度尾随而来。已知地面测得飞船知地面测得飞船A的速度为的速度为0.5c。求：求：1) 地面测得飞船地面测得飞船B的速度；的速度；2) 飞船飞船B中测得飞船中测得飞船A的

25、速度。的速度。ccccccvcuuvvxxx75. 040. 00.50150. 040. 0122即地面参考系测得飞船即地面参考系测得飞船B的速度为的速度为0.75c。解：解：1）设地面为）设地面为S系，飞船系，飞船A为为S 系。则已知量为系。则已知量为u=0.50c，vx =0.40c, u=0.5c；求求vx；根据速度变换公式有；根据速度变换公式有分析：求解这类题的关键是要分清各个已知量之间与分析：求解这类题的关键是要分清各个已知量之间与未知量之间的关系，不要把坐标系搞混；只要掌握住未知量之间的关系，不要把坐标系搞混；只要掌握住这一点，就显得容易了。这一点，就显得容易了。 即飞船即飞船B

26、测得飞船测得飞船A的速度为的速度为- -0.40c。 由解题过程可以看出：若求在由解题过程可以看出：若求在B中测得飞船中测得飞船A的速度，的速度，就必须先求出地面测得的飞船就必须先求出地面测得的飞船B的速度。的速度。c.c.cc.c.c.vcuuvvxxx4005075017505001222） 设地面为参照系设地面为参照系S，飞船，飞船B为为S 系。则系。则已知量为：已知量为：u=0.75c，vx=0.50c。需要求解的是。需要求解的是vx 。根据速度变换公式可得根据速度变换公式可得( (1) )相对论动量遵循洛伦兹变换相对论动量遵循洛伦兹变换vvvmmmp0201当当 时时cvvv0mmp

27、动量与速度的关系动量与速度的关系( (2) )相对论质量相对论质量201mm静止质量：静止质量：m0相对论质量相对论质量201mm 说明说明质量与速度有质量与速度有关关 .)(vmm0m12340.20.41.000.60.8v c物体相对于惯性系静止时的质量物体相对于惯性系静止时的质量 .0m静质量静质量 :结论结论: 质量具有相对意义质量具有相对意义. , ,可以认为质可以认为质点的质量是一个常量点的质量是一个常量, ,牛顿力学仍然牛顿力学仍然适用适用. .当当 时时cv0mm 一狭义相对论力学的基本方程一狭义相对论力学的基本方程)1(dddd20vmttpFtmFmmcdd0vv当当 时

28、时变为牛顿第二定律变为牛顿第二定律.即即amF00iiF当当时时,不变不变iiiiimp201v二质量与能量的关系二质量与能量的关系动能定理动能定理pxxxpxtpxFE000kdddddv设设 201vmppppdd)(dvvvv2vvvv022020kd11cmmE积分积分202020k11cmcmmE2222vvvcc202020k11cmcmmE2222vvvcc) 111(220202kcmcmmcE相对论相对论动能动能20k21vvmEc当当 时，时，静能量静能量200cmE物体物体静止静止时所具有的时所具有的能量能量.201mm2mcE 相对论相对论质能质能关系关系 质能关系质能

29、关系指出指出：物质的质量和能量之间有密切的联系物质的质量和能量之间有密切的联系 .总能量总能量 相对论能量和质量守恒是一个相对论能量和质量守恒是一个统一统一的物理规律的物理规律.22mccmEE0K物理意义物理意义2mcE 2)(cmE 惯性质量的增加和能量的增加相联惯性质量的增加和能量的增加相联系，能量的改变必然导致质量的相应变系，能量的改变必然导致质量的相应变化，这是相对论的又一极其重要的推论化，这是相对论的又一极其重要的推论. 相对论的质能关系为开创原子能时相对论的质能关系为开创原子能时代提供了理论基础代提供了理论基础 , 这是一个具有划时这是一个具有划时代意义的理论公式代意义的理论公式

30、 .三质能公式在原子核裂变和聚变三质能公式在原子核裂变和聚变中的应用中的应用n2SrXenU109538139541023592u22.0m质量亏损质量亏损原子质量单位原子质量单位 kg 1066. 1u127放出的能量放出的能量MeV2002cmEQ1 1 核裂变核裂变1g 铀铀 235 的原子裂变释放的能量的原子裂变释放的能量J105 . 810Q原子弹爆炸（核裂变）原子弹爆炸（核裂变）2 轻核聚变轻核聚变HeHH422121J1087. 3)(122cmEQ释放能量释放能量kg103 . 4u026. 029m质量亏损质量亏损 轻核聚变轻核聚变条件条件 温度达到温度达到 时，时，使使 具

31、有具有 的动能，足以克服的动能，足以克服两两 之间的库仑排斥力之间的库仑排斥力.K108H21H21keV10氘核氘核氦核氦核kg103437. 3)H(27210mkg106425. 6)He(27420m1967年年6月月17日，中国第日，中国第一颗氢弹爆一颗氢弹爆炸成功炸成功 动量与能量的关系动量与能量的关系222021ccmmcEv2201cmmpvvv22222022)()(cmcmmcvE200cmE pc22202cpEE 极端相对论近似极端相对论近似pcEEE,0光子光子cmv00mccEp光的波粒二象性光的波粒二象性/hphE 例例1 设一质子以速度设一质子以速度 运动运动.

32、 求其总能量、动能和动量求其总能量、动能和动量.c80. 0v 解解 质子的静能质子的静能MeV1563122202ccmmcEvMeV62520kcmEE119smkg1068.622c1mmpvvv0MeV 938200cmEMeV1250)(2202cmEcpcpMeV1250动量也可如此计算动量也可如此计算 例例1 设一质子以速度设一质子以速度 运动运动. 求其总能量、动能和动量求其总能量、动能和动量.c80. 0v例例2. 一个电子被电压为一个电子被电压为106V的电场加速后，其质量的电场加速后，其质量为多少？速率为多大？为多少？速率为多大？解：解：)(106 . 110106 .

33、113619J eUEk22cmmcEok)(1069. 2101 . 9)103(106 . 1303128132kgokmcEm221cvmmocsmcmmvo94. 0)(1082. 211822 教材：教材：p.211： 2，3，4，5，9，16 辅导精析：辅导精析：p.p.227: 14227: 14 教材教材 26.1 26.1 26.4 26.4例例1. 一个中性一个中性介子相对于观察者以速度介子相对于观察者以速度v = kc运动，运动，以后衰变为两个光子，两光子的运动轨迹与以后衰变为两个光子，两光子的运动轨迹与 介子原介子原来的方向成相等的角度来的方向成相等的角度 。试证明（。

34、试证明（1）两光子有相）两光子有相等的能量。（等的能量。（2）cos = k。证明：证明：v 1 1 2 2动量守恒：动量守恒：) 1 (0sinsin21cEcE)2(coscos1212cEcEkvmo能量守恒：能量守恒：) 3(12122EEkcmo由（由（1）式：）式：EEE21cos2122cEkvmo）式得由（Ekcmo21322）式得由（2221cEkmocos212cvEkmocos222cvEcEkcvcos 例例2. 已知电子的静质量。求：已知电子的静质量。求：1) 电子的静能；电子的静能；2)从静止开从静止开始加速到始加速到0.60c的速度需作的功；的速度需作的功；3) 动量为动量为0.60 MeV/C时的能时的能量。量。2）加速到）加速到0.60c时电子的能量为时电子的能量为J10025. 160. 0110199. 81132142202 cmmcE解：解：1）电子的静能为）电子的静能为eV1012. 55200 cmE3）当）当P=0.60MeV/C时，其能量为时，其能量为E，则有，则有2222220222)MeV(622. 0)MeV512. 0()MeV60. 0