[学科竞赛]物理竞赛--力学复习

1、力学复习1二、质点的角动量二、质点的角动量FrM 力矩：力矩：( (对对O O点点) )vrmprL 质点的角动量：质点的角动量：( (对对O O点点) )质点系的角动量定理：质点系的角动量定理： 1221LLdtMtt 合合外外质点系的角动守恒定律：质点系的角动守恒定律： ，则，则0合合外外M恒恒矢矢量量 L iiLL质点系的角动量：质点系的角动量：力学复习2.1例例题题已知桌面光滑,其它条件如图所示。,kg.m400 ,50. 01mR 当运动半径变为0.10m时，试求：?),(,)1(2 RmLFAvF如果这时放开绳子，小球将如何运动？) 2(;sm.v041 解 因角动量守恒，1122

2、RmvRmv 所所以以1Rm1vF2R力学复习3smvRRv201212 故故JmvmvAF8 .7621212122 因此因此2RmmvRL 又又2mRL 322mRLRmF 因此因此注意：利用变力做功也可计算。 2121)(RRRRrFdRFrdFA放开绳子时，小球将沿切线方向飞出。JdRmRLRR8 .762132 力学复习4 1961年年4月月12日，前苏联的加加林日，前苏联的加加林成为第一个宇航员，当时所采用的卫星成为第一个宇航员，当时所采用的卫星宇宇宙飞船的质量为宙飞船的质量为 近地点近地点P 和远地和远地点点A的高度分别为的高度分别为 和和 ，试求卫星通过海拔为试求卫星通过海拔为

3、z时的速度时的速度v 与与 地球质量地球质量M、地球半径、地球半径R、引力常数、引力常数G之间的函之间的函数关系。数关系。,4725kgm kmzP180 kmzA327 、APzzz2例题例题RMPzAzPAAvPvzv解解椐题意作示意图如下：椐题意作示意图如下：因为卫星在有心力场因为卫星在有心力场中运动，所以其机械中运动，所以其机械能、角动量均守恒。能、角动量均守恒。力学复习5 PPAAPAvRzmvRzmLEEE)()(即即 )3(21)2()()(2)1()()(222222RzMmGmvERzMmGRzmLERzMmGRzmLEPPPAAA联立联立（1）、（）、（2）、（）、（3）可

4、得：可得：RMPzAzPAAvPvzv力学复习6 RzzzRzzRzRzGMvAPAPA22 RzzzRzzRzRzGMvPPAAP22由方程的对称性可知另一解为：由方程的对称性可知另一解为：力学复习7eReR3eR13kgm3000 解解 rvmrMmG22 rGMv ,/.skmRGMve6431故故skmRGMve/.22132例例3 3：如图所示：如图所示, ,一飞船质量为一飞船质量为3000kg3000kg，在环绕地球的圆形轨道运动，在环绕地球的圆形轨道运动，轨道半径为地球半径轨道半径为地球半径 的的3 3倍，现在利用双切轨道方案，使飞船经半倍，现在利用双切轨道方案，使飞船经半椭圆轨

5、道转换到半径为椭圆轨道转换到半径为13 13 的圆周轨道上。试问：（的圆周轨道上。试问：（1 1）这种转换所）这种转换所需要的最小能量消耗是多少？（需要的最小能量消耗是多少？（2 2）在两个交点处的速度需要改变多）在两个交点处的速度需要改变多少？（已知地球质量为少？（已知地球质量为 ，半径为，半径为 ，万有引，万有引力常数力常数 ） eReRkgM2410975 .mRe610376 .21311106736skgmG.力学复习812EEE JRGMme10104 . 2395 1212vvvvv eeRMmGmvRMmGmv32113212122skmRGMRGMee8 . 6313 但在轨

6、道转换中宇宙飞船的速率却减小但在轨道转换中宇宙飞船的速率却减小了了2.4km /s。力学复习9 例4：设想有两个自由质点，其质量分别为m1和m2，它们之间的相互作用符合万有引力定律。开始时，两质点间的距离为l，它们都处于静止状态，试求当它们的距离变为 时，两质点的速度各为多少？ l21解：两自由质点组成的系统在自身的引力场中运动时，系统的动量和机械能均守恒。设两质点的间距变为l /2时，它们的速度分别为v1及v2，则有 02211vvmmlmGmmmlmGm212222112122121vv)(22121mmlGmv)(22112mmlGmv力学复习10例5、质量为mA的粒子A受到另一重粒子B

7、的万有引力作用，B保持在原点不动。起初，当A离B很远( r = )时，A具有速度 ，方向沿图中所示直线Aa，B与这直线的垂直距离为D。粒子A由于粒子B的作用而偏离原来的路线，沿着图中所示的轨道运动。已知这轨道与B之间的最短距离为d，求B的质量mB。 0vABadD v 0v解：A对B所在点的角动量守恒设粒子A到达距B最短距离为d时的速度为v。dmDmAAvv 0dD/0vv 力学复习11A、B系统机械能守恒(A在很远处时， 引力势能为零)dmGmmmBAAA/2121220vv)2/()(2022GddDmBvdGmB/2202vvdD/0vv 力学复习12dtd dtd 角速度角速度角加速度

8、角加速度 rv ra 2 ran 距转轴距转轴r r 处质元的线量与角量关系：处质元的线量与角量关系：iimrI 2 dmrI2转动惯量：转动惯量：2mdIIc 平行轴定理平行轴定理: :刚体定轴转动定律：刚体定轴转动定律： IM 221 IEk 21 MdA力矩的功：力矩的功：转动动能：转动动能：2122212121 IIMdA 定轴转动的动能定理：定轴转动的动能定理：第三部分第三部分: :刚体力学刚体力学1 1、刚体的定轴转动：、刚体的定轴转动：力学复习13cpmghE 刚体的重力势能刚体的重力势能: :式中式中 为质心相对参考点的高度。为质心相对参考点的高度。ch机械能守恒定律：机械能守

9、恒定律：0A非保守内力非保守内力外外A常常数数 pkEE条件条件: :结果结果: :刚体对轴的角动量刚体对轴的角动量: :1221 zzttzIIdtM 刚体的角动量定理：刚体的角动量定理：0 zM常常数数 iizI 刚体的角动量守恒定律：刚体的角动量守恒定律：条件条件: :结果结果: :zzIL 力学复习14 为了描述刚体的平面平行运动所选择的平行于参考平面的平面。利用基面在刚体内截取一平面图形.该图形完全确定刚体的位置.基面：基点： 在基面上所选择的点。 通过基点垂直于基面的直线。基轴：y x0yABBrx r .0面为基面面为基面xy.点为基点点为基点B.,刚体的位置刚体的位置完全确定完

10、全确定的位置的位置平面图形中任一点平面图形中任一点A2、刚体的平面平行运动 刚体的平面平行运动运动学力学复习15 刚体的平面平行运动可以分解为刚体的平动和定轴(基轴)转动。 平动速度依赖于基点的选择;转动角速度与基点选则无关. AB AB AB rrrB y x0y AB Brx r r)();(:tyytxxBBBBB 点平动点平动)(:tBA 点转动点转动点绕点绕rvvvvBB 力学复习16从运动学的角度来看： 基点的选择具有任意性从动力学的角度来看： 基点常选为质心ACCArvv APPArvv 0., PvP若若点点为为基基点点以以特特别别则P称为瞬心APArv 刚体的平面平行运动可以

11、分解为刚体质心的平动和绕质心的定轴转动。 力学复习17abpc ?,.,. 1三点的速度各为多少三点的速度各为多少图中图中求求质心速度为质心速度为角速度为角速度为设圆柱体的半径为设圆柱体的半径为如图如图面上作纯滚动面上作纯滚动质量均匀的圆柱体在地质量均匀的圆柱体在地例题例题pba，v、R、c cvrvvc :解解ar,点点aacarvv ar avpr prbvbr br,点点Bbcbrvv ,点点ppcprvv 0, pv由于圆柱作纯滚动由于圆柱作纯滚动0 pcrv Rvc 圆柱体作纯滚动的条件.力学复习18刚体的质心 由于刚体是一个特殊的质点系,刚体的质心相对刚体的位置不变!质点系有关的结

12、论在研究刚体时均适用.mrmriiic ,mxmxiiic ,mymyiiic mzmziiic mzdmzmydmymxdmxmcmcmc ;刚体的动量、质心运动定理和动量守恒定律 camF 外外质质心心定定理理 :ciiivmvmP :动量动量恒恒矢矢量量结结论论条条件件动动量量守守恒恒定定律律外外 cvmpF:0:力学复习19刚体平面平行运动动力学刚体平面平行运动动力学平面平行运动平面平行运动=质心的运动质心的运动+绕过质心轴的转动绕过质心轴的转动camF 外外质心运动定理质心运动定理 :zczczczIdtdLMz 外外的转动的转动绕过质心轴绕过质心轴:)(刚体平面运动的动能刚体平面运

13、动的动能222121 cckImvE 圆柱圆柱; ;圆盘圆盘; ;球体做纯滚动的条件球体做纯滚动的条件: : Rvc:质心速度质心速度 Rac:质心加速度质心加速度刚体作平面平行运动平衡方程,(在xoy)平面内运动) ixif0外外0iziM外 iyif0外外平衡方程力学复习20例题例题1 1. .装置如图所示装置如图所示, ,绳的上端绕在圆柱上绳的上端绕在圆柱上, ,下端系一下端系一重物重物, ,质量为质量为m.m.重物自然下垂重物自然下垂, ,由静止开始下落由静止开始下落, ,并带并带动圆柱自由转动动圆柱自由转动. .求重物降落高度为求重物降落高度为h h时的速率时的速率v.v.已知已知圆

14、柱的质量为圆柱的质量为M,M,半径为半径为R.(R.(绳子的质量不计且不可伸绳子的质量不计且不可伸长长.).) MhmvR解解: :恒恒地组成的系统机械能守地组成的系统机械能守Mm,222)21(2121 MRmvmgh （1 1） Rv （2 2）mMmghv22: 解得解得TT gm法二法二: :maTmg 221MRTR RaTT ;Mmmga 22 ahv2mMmgh22 力学复习21例题例题2.(习题集习题集 p12题题2)如图所示，一质量为如图所示，一质量为m，半径为，半径为R的均匀圆柱体，平放在桌面上。若它与桌面间的滑动摩的均匀圆柱体，平放在桌面上。若它与桌面间的滑动摩擦系数为擦

15、系数为，在，在t=0时，使圆柱体获得一个绕轴旋转的角时，使圆柱体获得一个绕轴旋转的角速度速度。求到圆柱体停止转动所需时间。求到圆柱体停止转动所需时间t为多少为多少?0 如如图图半半径径环环形形柱柱高高解解drrrh ,:hhRm2: 体密度体密度0 FdrrdrhgrdmgrrdFdM 2 drhrg22 302322:hRgdrhrgMR 力矩力矩mgR 32 力学复习22 IM :由定轴转动定律由定轴转动定律RgIM34 221mRI 匀减速转动匀减速转动t 0由由gRt 4300 0 力学复习23 例题例题3、如图如图,一矩形匀质薄板一矩形匀质薄板ABCD,长为长为l、宽、宽为为d、质量

16、为、质量为m。板绕竖直轴。板绕竖直轴AB以初角速度以初角速度 转动，转动，阻力与薄板表面垂直并与面积及速度的平方成正比，阻力与薄板表面垂直并与面积及速度的平方成正比，比例系数为比例系数为k。问经过多少时间后，薄板的角速度。问经过多少时间后，薄板的角速度减为初角速度的一半？减为初角速度的一半？0 解：这是定轴转动问题，利用解：这是定轴转动问题，利用定轴转动定律求解。定轴转动定律求解。如图：取面元如图：取面元ldxds x dxABCDld xo受阻力：受阻力：ldxxkdf2)( 对轴的阻力矩：对轴的阻力矩：dxlxkdM32 所有对轴的阻力矩：所有对轴的阻力矩：4203241ldkdxlxkM

17、d 力学复习24x dxABCDld xo4203241ldkdxlxkMd 面密度：面密度：ldm ，板对轴的转动惯量：，板对轴的转动惯量：23023131mdldldxxId由定轴转动定律：由定轴转动定律：dtdIMdtdmdldk 2423141 即：即：22200034 dkldmdtt 解得：解得：0234kldmt力学复习25习题册习题册p14题题3.长为长为L的均匀细杆可绕过端点的均匀细杆可绕过端点O的固定水的固定水平光滑轴转动。把杆抬平后无初速地释放，杆摆至竖平光滑轴转动。把杆抬平后无初速地释放，杆摆至竖直位置时，刚好和光滑水平桌面上的小球直位置时，刚好和光滑水平桌面上的小球m

18、相碰，如相碰，如图所示，球的质量和杆相同，设碰撞是弹性的，求碰图所示，球的质量和杆相同，设碰撞是弹性的，求碰后小球获得的速度后小球获得的速度. 00 vL解解:机械能守恒机械能守恒:0)31(212202 mLLmg碰撞碰撞:角动量守恒角动量守恒,机械能守恒机械能守恒. )31()31(202mLmLvmL 222202)31(2121)31(21 mLmvmL 解得解得:gLv321 (1)(2)(3)力学复习26ff 对于对于(2)式式,也可从如下得到也可从如下得到:设碰撞时间为设碰撞时间为:t v 0 对小球由质点的动量定理对小球由质点的动量定理:mvtf 对棒由角动量定理对棒由角动量定

19、理:L0.)(0 IItLf 231mLI ff 0223131 mLmLmLv 力学复习27Ml 2 例题例题5.一质量为一质量为 ,长为长为 的均质细杆的均质细杆, 放置放置在光滑的水平桌面上在光滑的水平桌面上.一质量为一质量为 的小球以速度的小球以速度 沿桌面垂直地撞击在细杆的一端沿桌面垂直地撞击在细杆的一端,如图如图.设碰撞是完设碰撞是完全弹性的全弹性的,求碰后小球和杆的运动情况求碰后小球和杆的运动情况.m0v0vml 2M解解,设碰撞后小球速度为设碰撞后小球速度为 杆的质心的速度为杆的质心的速度为 杆绕质心的角速度为杆绕质心的角速度为1v2v 1v2vc 动量守恒动量守恒:210Mv

20、mvmv 绕质心角动量守恒绕质心角动量守恒: cIlmvlmv 10动能守恒动能守恒:222212021212121 cIMvmvmv 2231)2(121MllMIc 解得解得:)4(60Mmlmv )4()4(01MmvMmv )4(202Mmmvv 力学复习28.),.(.,.,.称称为为回回转转半半径径轴轴的的转转动动惯惯量量为为已已知知刚刚体体对对转转求求打打击击中中心心到到轴轴的的距距离离中中心心该该点点称称为为打打击击为为程程中中轴轴对对刚刚体体的的切切向向力力则则打打击击过过若若打打击击点点选选择择合合适适打打击击点点为为刚刚体体点点的的打打击击悬悬挂挂在在以以水水平平力力如如

21、图图所所示示例例题题220006RmRIrFpf crpmc00r 解解, ,对刚体受力如图对刚体受力如图; ;设刚体设刚体的角加速度为的角加速度为.刚体切向加速度刚体切向加速度为为 ca FnF caf gm 力学复习29定轴转动定律定轴转动定律: : 20RmIfr （1 1）质心运动定理质心运动定理: : cmafF （2 2） ccra （3 3）解得解得: :fRrrFc 120 要使轴对刚体的切向力为要使轴对刚体的切向力为0,0,即即: :0 FcrRr20 这个结果可应用各种刚体这个结果可应用各种刚体. .例如例如, ,长为长为L L的均匀细棒的均匀细棒mRmLI2231 2Lr

22、c Lr320 crpmc00r FnF caf gm力学复习30 解解,受力分析如图受力分析如图例题例题7、 如图所示，质量为如图所示，质量为m、半径为、半径为R的均匀的均匀圆柱体，沿倾角为圆柱体，沿倾角为 的粗糙斜面的粗糙斜面,自静止开始无滑自静止开始无滑下滚（纯滚）。求静摩擦力、质心加速度、以及下滚（纯滚）。求静摩擦力、质心加速度、以及保证圆柱作无滑滚动所需的最小摩擦系数保证圆柱作无滑滚动所需的最小摩擦系数.gmcvfN绕质心转动绕质心转动: 221mRfR A点为瞬心点为瞬心:0 Av Rvc Rac 解得解得: sin31mgf sin32gac 要保证无滑滚动要保证无滑滚动Nf c

23、mafmg sin0cos mgN质心质心 cossin31mgmg tan31 RA 力学复习31F0bR解(1)分析如图:cmafF （1） 231mRFbfR （2） Rac （3）mgf （4）bRmgRF34: 解解得得bRmgRF34max fp ca例题8：在水平地面上放置一质量为 的线轴，内径为 ,外径为 ,其绕中心轴转动惯量为 线轴和地面间的静摩擦系数为,线轴受一水平拉力F ,如图,(1)使线轴在地面上保持无滑滚动之F最大值是多少?(2) 若F和水平方向成 试证明： 当 时线轴向前滚动； 当 时线轴向后滚动。)(cosRb )(cosRb bR231mR m力学复习32当力的

24、作用线通过接触线时，线轴的重力、地面的弹力和摩擦力、拉力对接触线的合外力矩为零。此时线轴不滚动。)(cosRb 所以所以当力的作用线不通过接触线时，线轴的重力、地面的弹力和摩擦力、拉力对接触线的合外力矩不为零。此时线轴向前或向后滚动。.)(cos向向后后滚滚动动当当Rb .)(cos向向前前滚滚动动当当Rb FRb FRr FRb (2)证明：考虑线轴从静止状态开始运动的瞬间，我们可以把线轴的运动看作是以接触线为轴的转动。用图形分析如下：力臂力臂力臂力臂力学复习33解解,.,2 绳绳断断瞬瞬间间受受力力分分析析如如图图设设杆杆长长为为 lgmTcl质心运动定理质心运动定理:cmaTmg (1)

25、绕质心转动绕质心转动: cITl （2）2231)2(121mllmIc （3）此时悬绳未断一端加速度为此时悬绳未断一端加速度为0 lac （4）mgT41: 解得解得 例题例题9.如图所示如图所示,将一根质量为将一根质量为 的长杆用细绳从的长杆用细绳从两端水平挂起两端水平挂起,其中一根绳子突然断开其中一根绳子突然断开,此时另一根此时另一根绳子内的张力为多少绳子内的张力为多少?m力学复习34 例题10.一架均匀的梯子,重为W,长为 ,上端靠于光滑的墙上,下端置于粗糙的地面上,梯子与地面的摩擦系数为,有一体重为 的人攀登距梯子下端 的地方,如图.求梯子滑动的条件.l 21W1l解:设梯子不滑动,它与地面的夹角为,受力分析如图1l 2N1WW1Nfxy0平衡:02 fN（1）011 WW