《立体几何中的向量方法(1)》高中数学人教A版选修2-1

1、-直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量与平面的法向量3.2立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法(一一) 上一节上一节,我们把向量从平面推广到空间我们把向量从平面推广到空间,并利用并利用空间向量解决了一些立体几何问题空间向量解决了一些立体几何问题.本节我们进一步本节我们进一步学习立体几何中的向量方法学习立体几何中的向量方法. 立体几何研究的基本对象是点立体几何研究的基本对象是点、直线直线、平面以平面以及由它们组成的空间图形及由它们组成的空间图形.为了用空间向量解决立体为了用空间向量解决立体几何问题几何问题,首先必须把点首先必须把点、直线直线、平面的位置用向量平面的位置用向量表示出来表示

2、出来.思考思考如何确定一个点在空间的位置如何确定一个点在空间的位置? ?在空间中给一个定点在空间中给一个定点A A和和一个定方向一个定方向( (向量向量), ),能确定一条直线在空间的位置吗能确定一条直线在空间的位置吗? ?给给一个定点和两个定方向一个定点和两个定方向( (向量向量), ),能确定一个平面在空间的能确定一个平面在空间的位置吗位置吗? ?给一个定点和一个定方向给一个定点和一个定方向( (向量向量), ),能确定一个平能确定一个平面在空间的位置吗面在空间的位置吗? ?OPOPOPP 在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点 的位置就可以用向量来表示。我们把向量称为点 的位

3、置向量。OP1、点的位置向量、点的位置向量以及一个定方向确定。一个定点上的位置可以由空间中任意一条直线AllaABPABtAP 2、直线的方向向量、直线的方向向量这样这样,点点A和向量和向量 不仅可以不仅可以确定直线确定直线l的位置的位置,还可以具体还可以具体表示出表示出l上的任意一点上的任意一点.a 相交直线来确定。内两条的位置可以由空间中平面obaPbyaxOP3、平面的法向量、平面的法向量这样这样,点点O与向量与向量不仅可以确定平面不仅可以确定平面 的位置的位置,还可以具体表还可以具体表示出示出 内的任意一点内的任意一点,a b 法向量：法向量：如果表示向如果表示向量量a的有向线段所在直

4、线垂的有向线段所在直线垂直于平面直于平面，则称这个向，则称这个向量垂直于平面量垂直于平面，记作，记作a，如果，如果a ，那么向，那么向量量a叫做平面叫做平面的的法向量法向量la类似于直线的方向向量，还可以用平面的类似于直线的方向向量，还可以用平面的法向量表示空间中平面的位置法向量表示空间中平面的位置问题：法向量如何确定平面的位置？问题：法向量如何确定平面的位置？A给定一点给定一点A和一个向量和一个向量a,那么，过点那么，过点A,以向以向量量a为法向量的平面是完全确定的。为法向量的平面是完全确定的。问题：如何求平面的法向量？),() 1 (zyxn 设出平面的法向量为),(),()2(22211

5、1cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的00,)3(bnanzyx方程组的关于根据法向量的定义建立个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂平行、垂直、夹角直、夹角等位置关系。等位置关系。4、法向量的运用、法向量的运用例例1 (1)设设 分别是直线分别是直线 的方向向量的方向向量,根据下列根据下列条件判断条件判断 与与 的位置关系的位置关系:

6、a b 1l12ll 2l(2,3, 1),( 6, 9,3)ab (5,0,2),(0,4,0)ab ( 2,1,4),(6,3,3)ab 分析分析:直线方向向量与直线位置关系直线方向向量与直线位置关系,据此可判断两直线的位置关系据此可判断两直线的位置关系1212;llab llab平行平行垂直垂直相交或异面相交或异面例例1 (2)设设 分别是平面分别是平面 的法向量的法向量,根据下列条件根据下列条件判断判断 与与 的位置关系的位置关系: u v 1(1, 1,2),(3,2,)2uv (0,3,0),(0, 5,0)uv (2, 3,4),(4, 2,1)uv 分析分析:平面法向量与两平面

7、位置关系平面法向量与两平面位置关系,据此可判断两平面的位置关系据此可判断两平面的位置关系;uvuv垂直垂直平行平行相交相交(不垂直不垂直)例例1 (2)设设 分别是平面分别是平面 的法向量的法向量,根据下列条件根据下列条件判断判断 与与 的位置关系的位置关系: u v 1(1, 1,2),(3,2,)2uv (0,3,0),(0, 5,0)uv (2, 3,4),(4, 2,1)uv 分析分析:直线方向向量与平面法向量关系和直直线方向向量与平面法向量关系和直线与平面位置关系线与平面位置关系,据此可判断直线和平面的位置关系据此可判断直线和平面的位置关系;lau lau例例1 (3)设设 是平面是平面 的法向量的法向量, 是直线是直线 的方向向的方向向量量,根据下列条件判断根据下列条件判断 与与 的位置关系的位置关系: u (2,2, 1),( 3,4,2)ua (0,2, 3),(0, 8,12)ua (4,1,5),(2, 1,0)ua a ll 垂直垂直相交相交(斜交斜交)ll 或或 小结小结1.直线的方向向量和平面的法向量是用空直线的方向向量和平面的法向量是用空间向量解决立体几何问题的两个重要工间向量解决立体几何问题的两个重要工具具,是实现空间问题的向量方法的媒介是实现空间问题的向量方法的媒介.2.要熟练掌握