有限元课件第4讲等参元和高斯积分ppt课件

1、第4讲 等参单元和数值积分l实践问题经常需求运用一些几何外形不太规整的单元来逼近原问题。直接研讨这些不规整单元的表达式比较困难在总体坐标系下构造位移插值函数，那么计算外形函数矩阵、单元刚度矩阵及等效节点载荷列阵时非常冗繁。现实上，外形不规整的单元和外形规整的单元矩形单元、正六面体单元可以建立一种映射关系，使得物理坐标系中的整体坐标和自然坐标系中的部分坐标一一对应。l等参单元的提出为有限元法成为现代工程实践领域最有效的数值分析方法迈出了极为重要的一步。4.1 等参单元l简单杆系问题分析的新途径简单杆系问题分析的新途径l等参单元定义的给出等参单元定义的给出l平面问题四边形等参单元计算公式平面问题四

2、边形等参单元计算公式l三维问题六面体等参单元计算公式三维问题六面体等参单元计算公式l采用等参单元的优点采用等参单元的优点简单杆系问题分析之新途径途经1：在整体直角坐标系下进展单元分析参看第3讲内容途径2：建立部分自然坐标系进展单元分析F直角坐标系直角坐标系( x , y , z)极坐标极坐标(r,) ，2维维球坐标系球坐标系(r, )柱坐标系柱坐标系 (, , z)自然坐标系自然坐标系关于坐标系关于坐标系自然坐标系自然坐标系: 选轨迹上任一点选轨迹上任一点O为原点为原点用轨迹长度用轨迹长度S 描写质点位置描写质点位置nOmS质点沿切线前进方向的单位矢量为质点沿切线前进方向的单位矢量为 切向单位

3、矢量切向单位矢量(tangential unit vector) 质点与切向正交且指向轨迹曲线凹侧的质点与切向正交且指向轨迹曲线凹侧的 单位矢量为法向单位矢量单位矢量为法向单位矢量(normal unit vector) l当点的运动轨迹知时，通常采用自然法确定点的运动规律、速度、加速度。 l在自然坐标系中表示质点速度，是非常简单的，由于无论质点处在什么位置上速度都只需切向分量，而没有法向分量。 新途径：建立部分自然坐标系进展单元分析( )xx坐标插值函数：01( )xaa0101( 1)(1)ijxaaxxaax部分自然坐标和整体直角坐标可以建立一种映射关系节点条件：01()/2()/2ij

4、jiaxxaxxxixj( )(1)/2 (1)/2ijxxx( )( )ex Nx( )(1)/2 (1)/2N( )()/2()/2ijjixxxxx单元内坐标由节点坐标插值表示部分坐标到物理坐标的变换( ( )()/2()/2(1)/2 (1)/2iijjijuu xuuuuu( ( )( )eu x Nq( )(1)/2 (1)/2N单元位移函数：01( ( )u xaa0101( ( 1)( (1)iju xaauu xaau节点条件：01()/2()/2ijjiauuauu察看： 单元的几何坐标与位移用同样的节点和一样的外形函数经过插值的方式表示。 外形函数是用自然坐标给出的，表达

5、式很简单( )( )ex Nx( ( )( )eu x Nq( )(1)/2 (1)/2N( )(1)/2 (1)/2N( ( )( ( )( )( ( )( )eeedu xddxdxdxdxNqNqBq( ( )( ( )( )( )eeeexExEBqSq11( ) eell B( ) eeeeEEll S2111111111( ( ) ( ( )( ( ) ( ( )221( )( )(/2)21(/2)( )( )2121 1(/2)( )( )1 1eTTTTxeeexeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeUxxdVExxA dxUEA ldUlE AdUE AlE Adl

6、 Bq BqqBBqq K qKBB单元应变能：单元刚度矩阵单元刚度矩阵单元外力功TeeeW q P( )( )eepeTTxxSb dVp dAPNN等效节点力( )(1)/2 (1)/2N(1)11(2)( )( )( 1)11000( )( )(1)00011eeeppepeeeppepTTTxxxSSxSTTTxxxSSxSb dVp dAp dARp dARb dVp dAp dAp dAFF PNNNPNNN对于本例自然坐标系下的分析结果与整体直角坐标系下的分析结果完全一样。忽略单元间作用力等参单元定义的给出l等参单元：用同样的节点和一样的外形函数经过插值的方式表示出单元的几何坐标

7、与位移的单元，称为等参单元。l假设坐标变换节点数多于位移插值的节点数，称为超参变换。反之，假设坐标变换节点数少于位移插值的节点数，那么称为亚参变换。l等参单元的插值函数用自然坐标给出。平面问题四边形等参单元的推导整体直角坐标整体直角坐标单元部分自然坐标( , )P x y( , )P 普通四边形规格化的矩形( , )P x y( , )P 映射11( ,)x y44(,)xy33(,)xy22(,)xy坐标映射( , )( , )xxyy 12341234xy ( , )P x y( , )P 映射( ,)( ,)iiiiiixxyy 节点条件：构造插值函数112 1314 1 1212232

8、422312333433412434444xxxx 11234212343123441234xxxx11332244( ,)( 1, 1) (,)(1,1)(,)(1, 1) (,)( 1,1) 11223344 1 1 1 11 1 1 111 1 1 14 1 1 1 1xxxx11223344 1 1 1 11 1 1 111 1 1 14 1 1 1 1yyyy12341 1223344123411223344xN xN xN xN xyN yN yN yN y 132411(1)(1)(1)(1)44 11(1)(1)(1)(1)44NNNN1122123431234344000 0

9、000 0 xyxyNNNNxxNNNNyyxy 12341 1223344123411223344xN xN xN xN xyN yN yN yN y 132411(1)(1)(1)(1)44 11(1)(1)(1)(1)44NNNN( , )( , )e xNx12341234( ( , ), ( , )( , )( ( , ), ( , )( , )u xyuv xyv 11( ,)x y44(,)xy33(,)xy22(,)xy( 1, 1) ( 1,1)(1,1)(1, 1)( ,)( ,)iiiiiiuuvv 节点条件：11332244( ,)( 1, 1) (,)(1,1)(,)

10、(1, 1) (,)( 1,1) 位移函数112 1314 1 1212232422312333433412434444uuuu 11234212343123441234uuuu11223344 1 1 1 11 1 1 111 1 1 14 1 1 1 1uuuu11223344 1 1 1 11 1 1 111 1 1 14 1 1 1 1vvvv同理可得：12341 122334412341 12 23 34 4( ( , ), ( , )( ( , ), ( , )u xyN uN uN uN uv xyN vN vN vN v 132411(1)(1)(1)(1)44 11(1)(1

11、)(1)(1)44NNNN1122123431234344000 0( ( , ), ( , )000 0 ( ( , ), ( , )uvuvNNNNu xyuNNNNv xyvuv ( ( , ), ( , )( , )exy uNq单元的几何坐标与位移用同样的节点和一样的外形函数经过插值的方式表示。外形函数用自然坐标给出。( , )( , )e xNx( ( , ), ( , )( , )( , )exy uuNq132411(1)(1)(1)(1)44 11(1)(1)(1)(1)44NNNN12341234 0 0 0 0 0( , )0 0 0 0 0 xNNNNNNNNyyx B

12、 ( ( , ), ( , )( , )( , )( , )eexy uNqBq132411(1)(1)(1)(1)44 11(1)(1)(1)(1)44NNNNiiNxNy?1 iiiiiiiiiiiiiiiNNNxyxyNNNxyxyNxyNNxxNNNxyyyNNxNy JJ*1 iNJJJ偏导数变换( , )iN ( ( , ), ( , )iNx yx y xyxyJ雅可比矩阵：11111111( ( , ), ( , )( ( , ), ( , )( , )( , )( , )TeTeSxyxytdxdytd dd d KBDBBDBJFJ111111TTeepTTeeepbSeb

13、epdVdAtd dtCd PN bN pPPPN b JPN p1/222xyC在常数的面上四边形等参单元外形要求0J不能有重节点不能出现内角大于180o的情况内角最好介于30o-150o之间有限变形的情况防止出现三维问题六面体等参单元的计算公式( , )( , )e xNx( , )( , )( , )ex y uuNq8 3 xyzxyzxyzJ( , )( , )( , )ex y uuNq ( , , )( , , ) BN111111TTeedVd d d KB DBB DB J1111TTepepSdACd d PN pN pTTeepeeepbSdVdAPN bN pPP111

14、111TTeebdVd d d PN bN b J在常数的面上1/2222yzyzzxzxxyxyC采用等参单元的优点l借助于等参元可以对于普通的恣意几何外形的工程问题方便地进展有限元离散。l等参元的插值函数是用自然坐标给出的，等参元的一切计算都是在自然坐标系中规格化的母单元内进展，相关运算大大简化。l不论各个积分方式的矩阵的被积函数如何复杂，都可以采用规范化的数值积分方法计算，从而使工程问题的有限元分析纳入了一致的通用化程序。4.2 数值积分l数值积分及其根本思想lNewton-cotes积分公式lGauss-Legendre积分公式l等参元中积分阶次的选择关于数值积分l计算刚度矩阵及等效节

15、点载荷列阵的元素时，往往涉及到复杂函数的定积分，在有限元分析中广泛采用数值积分方法。l数值积分方法是一种近似的方法。一个函数的定积分可以经过n个结点的函数值的加权组合来表示111111TTeeeeeedVd d d KB DBB DB J1( )( )nbiiaifdA f数值积分的根本思想( ),( ),( ,1,2,., )( )( ), )( ) : ( ),(1,2,., )( )?( ),I( )( )baiiibbaafdninffinfddff 对于一个定积分 I构造一个多项式使得在区间内 个点上与相同 即(则用来近似代替积问题是如何构造多项式使其对有最好分式变的逼近为求积公式插

16、值法1101111111(1,2,., ),( ), )=( ) ( ) ( )(1)1 ,( ),()0 , innniinininjnniijjijj ininLagrangelfaaalnLagrangeijllij 基于区间内 个结点将多项式取为插值多项式即(其中为阶插值函数显然11111 )( )( )( ),I( )( )( ) ( ) ( )( )( )iinbbbniiaaainnbniiiiaiifffddlfdldfA f (则用来近似代替积分式变为至少具有n-1次代数精度Newton-cotes求积公式l假设n个结点 等距分布，那么前面的插值型求积公式称为Newton-cotes求积公式。lNewton-cotes求积公式具有n-1次代数精度l几个常用求积公式l梯形公式，n=1lSimpson公式，n=2(1,2,., )iin( )( )( )2babaf x dxf af b( )( )4 ()( )62babaabf x dxf aff bGauss-Legendre求积公式ln个插值结点非等距分布l结点和积分权系数可以查表111()(niiiAfdfl高斯积分方法预先定义了积分点和相应的加权系数，求出被积