大跨度桥梁的稳定理论-3

1、第十二章第十二章 大跨度桥梁的稳定理论大跨度桥梁的稳定理论( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 肖 汝 诚 (同济大学桥梁工程系) 3. 3. 拱桥稳定分析和非保向力效应拱桥稳定分析和非保向力效应( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 本节以解析法来阐述拱桥的第一类稳定计算。与数值本节以解析法来阐述拱桥的第一类稳定计算。与数值法相比，虽然解析法引入了一些近似假定，应用也受到一法相比，虽然解析法引入了一些近似假定，应用也受到一定的限制，但通过解析法，可以直接将结构的临界荷载用定的限制，但通过解析法，可以直接将结构的临界荷载用结构设计参

2、数来表达， 这对于直观研究设计参数与结构稳结构设计参数来表达， 这对于直观研究设计参数与结构稳定性的关系，优化结构稳定性，估算结构稳定安全系数，定性的关系，优化结构稳定性，估算结构稳定安全系数，验证数值分析结果的正确性等都具有十分重要的意义。验证数值分析结果的正确性等都具有十分重要的意义。 研究拱桥屈曲问题可用静力平衡法研究拱桥屈曲问题可用静力平衡法( (EularEular 方法方法) )、能、能量法量法( (TimoshenkoTimoshenko 方法方法) )、缺陷法和振动法。为方便讨论，、缺陷法和振动法。为方便讨论，常将拱桥的稳定问题分解成面内稳定和侧向稳定两类问常将拱桥的稳定问题分

3、解成面内稳定和侧向稳定两类问题来分别研究。题来分别研究。 3.13.1圆弧拱平面屈曲微分方程圆弧拱平面屈曲微分方程( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 圆圆弧弧拱拱的的屈屈曲曲易易于于获获得得解解析析解解，我我们们可可以以利利用用它它来来分分析析端端支支承承情情况况和和矢矢跨跨比比对对拱拱桥桥临临界界荷荷载载值值的的影影响响。图图 1 12 2. .2 2 均均布布径径向向荷荷载载作作用用下下的的圆圆弧弧拱拱 如如图图 1 12 2. .2 2 所所示示的的圆圆弧弧拱拱，在在均均布布径径向向荷荷载载 q q 作作用用下下，开开始始只只有有沿沿拱拱轴轴方方向向的的

4、弹弹性性压压缩缩变变形形。若若忽忽略略轴轴向向变变形形的的影影响响，拱拱轴轴线线与与压压力力线线完完全全吻吻合合，拱拱处处于于无无弯弯矩矩状状态态。 3.13.1圆弧拱平面屈曲微分方程圆弧拱平面屈曲微分方程( (续续) )( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 当荷载达到临界值时，拱发生微小的弯曲变形当荷载达到临界值时，拱发生微小的弯曲变形 v v，且在截，且在截面上存在弯矩面上存在弯矩 M M，在这一变形状态下可以导出它的屈曲微分方，在这一变形状态下可以导出它的屈曲微分方程为：程为： xEIMRvdsvd222 (12 (129 9) )或：或： xEIMRvd

5、vd222 (1210)3.23.2等截面圆弧拱在均布径向荷载作用下的屈曲临界荷载等截面圆弧拱在均布径向荷载作用下的屈曲临界荷载( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 下下面面以以双双铰铰拱拱为为例例，讨讨论论受受均均布布径径向向荷荷载载的的等等截截面面圆圆弧弧拱拱的的屈屈曲曲临临界界力力的的计计算算。 双双铰铰圆圆弧弧拱拱在在径径向向荷荷载载 q q 作作用用下下( (图图 1 12 2. .3 3) )，其其拱拱截截面面弯弯矩矩图图 1 12 2. .3 3 受受均均布布径径向向荷荷载载的的等等截截面面双双铰铰圆圆弧弧拱拱 MN vqRv ( (1 12 21

6、 11 1) ) 代代入入式式( (1 12 29 9) )，即即得得 d vdk v2220 ( (1 12 21 12 2) ) ( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 边界条件边界条件: : 00,v 得得 c20 20,v 得得 ck120sinc c1 1不能为零，则必须有不能为零，则必须有 sin20k (12 (121515) ) 由此得到由此得到 21 2 3knn,(, , ,.) 由于拱的两端不能移动，圆弧拱轴也假定不发生伸缩。因此由于拱的两端不能移动，圆弧拱轴也假定不发生伸缩。因此n=1n=1 相应的失稳模态是没有意义的。要求最小特征值时相应

7、的失稳模态是没有意义的。要求最小特征值时 n=2n=2，拱，拱的屈曲模态为的屈曲模态为: : sin)(1cv (12 (121616) )3.23.2等截面圆弧拱在均布径向荷载作用下的屈曲临界荷载等截面圆弧拱在均布径向荷载作用下的屈曲临界荷载( (续续) )( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 临临界界荷荷载载值值为为： qEIRKEIRcrXx322131() ( (1 12 21 17 7) ) 式式中中 K1221 ( (1 12 21 18 8) ) K K1 1称称为为拱拱的的临临界界荷荷载载系系数数( (或或稳稳定定系系数数) )，与与夹夹角角有有

8、关关。 式式( (1 12 21 17 7) )也也可可写写成成中中心心受受压压直直杆杆的的欧欧拉拉公公式式的的标标准准形形式式 20 x22222X2crcrsEI)1 (REIRqN ( (1 12 21 19 9) )3.23.2等截面圆弧拱在均布径向荷载作用下的屈曲临界荷载等截面圆弧拱在均布径向荷载作用下的屈曲临界荷载( (续续) )3.3 3.3 圆拱的面外稳定圆拱的面外稳定( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 平面拱轴侧倾后是一条空间曲线，其位移与几何关系用曲线坐标来描述。平面拱轴侧倾后是一条空间曲线，其位移与几何关系用曲线坐标来描述。 图图 12

9、12.4.4 侧倾变形后的拱侧倾变形后的拱 拱侧倾变形后拱侧倾变形后( (图图 12.412.4) )，任意截面，任意截面 s s 在垂直于拱平面在垂直于拱平面 x x 轴，指向拱轴法向的轴，指向拱轴法向的y y 轴和同拱轴切线重合的轴和同拱轴切线重合的 z z 轴三个方向分别发生了线位移轴三个方向分别发生了线位移 u u、v v、w,w,并绕这三个轴并绕这三个轴发生了转角位移、。截面主轴发生了转角位移、。截面主轴 x x、y y、z z 也随着拱的侧倾产生了变位。研也随着拱的侧倾产生了变位。研究相距究相距 dsds 截面的变形，可得拱绕截面的变形，可得拱绕 y y、z z 轴转动的曲率关系：

10、轴转动的曲率关系：3.3 3.3 圆拱的面外稳定圆拱的面外稳定( (续续) )( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 3.3 3.3 圆拱的面外稳定圆拱的面外稳定( (续续) )( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 结结构构势势能能为为： DTBVVV ( (1 12 22 25 5) ) 设设失失稳稳模模态态为为： )2cos1 ()2cos1 (LSBLSAuaa ( (1 12 22 26 6) )将将式式( (1 12 22 21 1) ) ( (1 12 22 24 4) )、( (1 12 22 26 6) )代代入入式

11、式( (1 12 22 25 5) )，由由 AB00 ( (1 12 22 27 7) ) 易易得得：qEIRcry322222244() ( (1 12 22 28 8) )3.3 3.3 圆拱的面外稳定圆拱的面外稳定( (续续) )( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 其中：其中：EIGJy 为弯、扭刚度比例系数。为弯、扭刚度比例系数。 当式当式(12(122828) )确定的确定的 q qcrcr比相应面内失稳临界荷载比相应面内失稳临界荷载为小时，圆拱先出现侧倾失稳。为小时，圆拱先出现侧倾失稳。 对于宽跨比较小的拱桥， 侧向刚度相对较小和单承对于宽跨比较

12、小的拱桥， 侧向刚度相对较小和单承重面拱桥， 都有可能发生侧倾弯扭失稳， 在设计时必须重面拱桥， 都有可能发生侧倾弯扭失稳， 在设计时必须对这类结构进行侧稳验算。对这类结构进行侧稳验算。3.4 3.4 拱桥稳定与非保向力效应拱桥稳定与非保向力效应( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 1 1) )拱桥的稳定问题拱桥的稳定问题 前面讨论的是拱圈的稳定问题，实际拱桥都带有拱上建筑，拱圈轴前面讨论的是拱圈的稳定问题，实际拱桥都带有拱上建筑，拱圈轴线形状各异，都受有竖向荷载，研究拱桥的稳定问题可以抓住以下三线形状各异，都受有竖向荷载，研究拱桥的稳定问题可以抓住以下三点：点

13、： a a) ) 确定拱轴线时，都力求拱肋受力以轴向受压为主，因此，可以确定拱轴线时，都力求拱肋受力以轴向受压为主，因此，可以将各类拱肋的稳定问题通过一定的等代关系转换成圆拱的稳定问题来将各类拱肋的稳定问题通过一定的等代关系转换成圆拱的稳定问题来研究。研究。 b b) ) 拱上建筑多以连续梁为主，梁的刚度增加了拱的稳定性，用能拱上建筑多以连续梁为主，梁的刚度增加了拱的稳定性，用能量法计算这类结构的稳定性比较方便。量法计算这类结构的稳定性比较方便。 c c) ) 用解析法计算拱桥稳定问题比较复杂，一般都采用数值计算，用解析法计算拱桥稳定问题比较复杂，一般都采用数值计算，可以从大量数值计算结果的规

14、律中总结出常用拱桥的稳定计算近似公可以从大量数值计算结果的规律中总结出常用拱桥的稳定计算近似公式。式。3.4 3.4 拱桥稳定与非保向力效应拱桥稳定与非保向力效应( (续续) )( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 比如拱桥的立柱刚度远比拱圈和梁的刚度小，为简化计算，可比如拱桥的立柱刚度远比拱圈和梁的刚度小，为简化计算，可以假定各立柱上下端均系铰结。通过数值计算，可把这种简化结构以假定各立柱上下端均系铰结。通过数值计算，可把这种简化结构的临界荷载近似地写成：的临界荷载近似地写成： ab23acrIIlflf7 . 095. 01KKlEIKq (12 (1229

15、29) )式中：式中： K K为只有拱肋时的临界荷载系数；为只有拱肋时的临界荷载系数； I Ib b加劲梁的抗弯刚度；加劲梁的抗弯刚度； I Ia a拱平面抗弯刚度。拱平面抗弯刚度。3.4 3.4 拱桥稳定与非保向力效应拱桥稳定与非保向力效应( (续续) )( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 2 2) )非保向力效应非保向力效应 研究拱桥的稳定问题，立柱、吊杆等传力构件的工作状态对稳定的影响不研究拱桥的稳定问题，立柱、吊杆等传力构件的工作状态对稳定的影响不容忽略。考察图容忽略。考察图 1 12 2.5.5 情况，图情况，图 12.512.5a)a)是上承式拱桥

16、的面内失稳，由于桥面抗弯是上承式拱桥的面内失稳，由于桥面抗弯刚度较小，当拱发生失稳时，立柱受到梁施加的水平约束而变成倾斜，有加速刚度较小，当拱发生失稳时，立柱受到梁施加的水平约束而变成倾斜，有加速拱肋失稳的趋势。上承式拱桥侧倾失稳时，立柱受到梁施加的侧向约束而变成拱肋失稳的趋势。上承式拱桥侧倾失稳时，立柱受到梁施加的侧向约束而变成倾斜，产生的水平分力有加速其侧倾的趋势。图倾斜，产生的水平分力有加速其侧倾的趋势。图 1 12 2.5.5b)b)是系杆拱侧倾失稳时，是系杆拱侧倾失稳时，吊杆受到梁施加的水平约束而变成倾斜，产生的水平分力有减缓其发生失稳的吊杆受到梁施加的水平约束而变成倾斜，产生的水平

17、分力有减缓其发生失稳的趋势。趋势。 图图 12.512.5 非保向力系对拱稳定的影响非保向力系对拱稳定的影响3.4 3.4 拱桥稳定与非保向力效应拱桥稳定与非保向力效应( (续续) )( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 以以 上上 情情 况况 ，有有 一一 个个 共共 同同 点点 ，那那 就就 是是 传传 力力 构构 件件随随 着着 结结 构构 的的 失失 稳稳 而而 改改 变变 其其 传传 力力 方方 向向 ，进进 而而 对对 结结 构构的的 稳稳 定定 性性 产产 生生 影影 响响 ，若若 将将 拱拱 肋肋 作作 为为 研研 究究 对对 象象 ，传传力力

18、构构 件件 的的 作作 用用 就就 成成 了了 外外 力力 系系 ，它它 们们 跟跟 随随 结结 构构 变变 形形而而 改改 变变 其其 方方 向向 ，这这 种种 力力 系系 称称 为为 非非 保保 向向 力力 系系 。非非 保保向向 力力 系系 对对 结结 构构 稳稳 定定 性性 有有 正正 面面 效效 应应 ， 也也 有有 负负 面面 效效应应 。 下下 面面 以以 单单 承承 重重 面面 系系 杆杆 拱拱 为为 例例 来来 讨讨 论论 非非 保保 向向力力 系系 对对 其其 侧侧 向向 稳稳 定定 的的 影影 响响 。图图 1 12 2. .6 6 所所 示示 单单 承承 重重 面面 系

19、系 杆杆 拱拱 ， 作作 用用 了了 均均 布布荷荷 载载 q q， 设设 吊吊 杆杆 的的 布布 置置 满满 足足 膜膜 张张 力力 假假 定定 ， 则则 吊吊 杆杆拉拉 力力 为为 ： T T q qa a ( (1 12 2 3 31 1) )式式 中中 ： a a 吊吊 杆杆 间间 距距 。 3.4 3.4 拱桥稳定与非保向力效应拱桥稳定与非保向力效应( (续续) )( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 拱肋侧倾后，吊杆发生倾斜，其拉力拱肋侧倾后，吊杆发生倾斜，其拉力 T T 对桥面产生了一个向外的水平对桥面产生了一个向外的水平分力，使之发生侧向弯曲变形

20、分力，使之发生侧向弯曲变形 u ub b(x)(x)，而对拱肋产生了一个向内的水平分，而对拱肋产生了一个向内的水平分力力 H(x)H(x)，这个恢复力就是非保向力效应，相当于一个侧向水平弹簧支承效，这个恢复力就是非保向力效应，相当于一个侧向水平弹簧支承效应。由图应。由图 12.612.6 易得：易得： abau)x(k)x(yuuT)x(H (12 (123232) ) 式中：式中： abauuu)x(yqa)x(k (12 (123333) ) 考虑到桥面侧向刚度相对于拱肋要大得多， 近似地取考虑到桥面侧向刚度相对于拱肋要大得多， 近似地取 EIEIbyby= = ， 则式， 则式(12(1

21、23333) )简化成简化成 )()(xyqaxk (12 (123434) )3.4 3.4 拱桥稳定与非保向力效应拱桥稳定与非保向力效应( (续续) )( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 当系杆拱发生侧倾时，其总势能除了前面式当系杆拱发生侧倾时，其总势能除了前面式(12(122222) ) (12(122424) )列出的三项列出的三项外，还增加了考虑非保向力效应的虚拟弹簧支承变形能外，还增加了考虑非保向力效应的虚拟弹簧支承变形能 V Vk k： 222)(21LLakdsuaxkV (12 (123535) ) 将式将式(12(123535) )增添到式

22、增添到式(12(122 25)5)中，由能量驻值原理可得系杆拱侧倾临界中，由能量驻值原理可得系杆拱侧倾临界荷载：荷载： crcrcraqCqq11 (12 (123636) ) 式中：式中： 非保向力效应系数非保向力效应系数, ,crq由式由式(12-28)(12-28)给出。给出。 CVVkD (12 (123 37 7) ) 对圆弧拱，偏安全地取对圆弧拱，偏安全地取 y(x)=fy(x)=f，则，则 C C 的下限为：的下限为： CRf342() (12 (123838) )3.4 3.4 拱桥稳定与非保向力效应拱桥稳定与非保向力效应( (续续) )( (同济大学博士、硕士研究生课程同济大学博士、硕士研究生课程) ) 根据不同的矢跨比根据不同的矢跨比 f/lf/l，可算得，可算得 c c 和和 值，列于表值，列于表 12121 1。表。表 12121 1 表明说表明说明非保向力效应系数一般在明非保向力效应系数一般在 2 2. .5 5 3.53.5 之间。之间。 不