回归分析的基本思想及其初步应用

1、 新学期我们怀揣大学梦想，新学期我们怀揣大学梦想，只要我们相信自己，刻苦努力只要我们相信自己，刻苦努力每一天，就一定能考进每一天，就一定能考进 北京大学北京大学第一章第一章 统计案例统计案例a. 比数学3中“回归”增加的内容数学统计n画散点图画散点图n了解最小二乘法的了解最小二乘法的思想思想n求回归直线方程求回归直线方程ybxa1.用回归直线方程解用回归直线方程解决应用问题决应用问题选修-统计案例n引入线性回归模型引入线性回归模型ybxaen了解模型中随机误差项了解模型中随机误差项e产生产生的原因的原因n了解相关指数了解相关指数 R2 和模型拟合和模型拟合的效果之间的关系的效果之间的关系n了解

2、残差图的作用了解残差图的作用n利用线性回归模型解决一类非利用线性回归模型解决一类非线性回归问题线性回归问题5.正确理解分析方法与结果正确理解分析方法与结果必修必修3(3(第二章第二章 统计统计) )知识结构知识结构 收集数据收集数据 ( (随机抽样随机抽样) )整理、分析数据整理、分析数据估计、推断估计、推断简单随机抽样简单随机抽样分层抽样分层抽样系统抽样系统抽样用样本估计总体用样本估计总体变量间的相关关系变量间的相关关系 用样本用样本的频率的频率分布估分布估计总体计总体分布分布 用样本用样本数字特数字特征估计征估计总体数总体数字特征字特征线性回归分析线性回归分析问题问题1 1：正方形的面积正

3、方形的面积y y与正方形的边长与正方形的边长x x之间之间 的的函数关系函数关系是是y = xy = x2 2确定性关系确定性关系问题问题2 2：某水田水稻产量某水田水稻产量y y与施肥量与施肥量x x之间是否之间是否 -有一个确定性的关系？有一个确定性的关系？例如：例如：在在 7 7 块并排、形状大小相同的试验田块并排、形状大小相同的试验田上上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：如下所示的一组数据：施化肥量施化肥量x x 15 20 25 30 35 40 45 15 20 25 30 35 40 45水稻产量水稻产量y y 330

4、345 365 405 445 450 455 330 345 365 405 445 450 455复习复习: :变量之间的两种关系变量之间的两种关系自变量取值一定时，因变量的取值带有一定自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随随机性机性的两个变量之间的关系叫做的两个变量之间的关系叫做相关关系相关关系。1 1、定义：、定义： 1 1）：相关关系是一种不确定性关系；）：相关关系是一种不确定性关系；注注对具有相关关系的两个变量进行对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫统计分析的方法叫回归分析回归分析。2 2）：）：1、两个变量的关系、两个变量的关系不相关不相关相关关相关关系系函数关系函数关

5、系线性相关线性相关非线性相关非线性相关问题问题1：现实生活中两个变量间的关系有哪：现实生活中两个变量间的关系有哪些呢？些呢？相关关系：相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定时，因变量的取值带有一定随机性随机性的两个变量的两个变量之间的关系。之间的关系。思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？函数关系中的两个变量间是一种确定性关系相关关系是一种非确定性关系 函数关系是一种理想的关系模型 相关关系在现实生活中大量存在，是更一般的情况问题问题2：对于线性相关的两个变量用什么方法：对于线性相关的两个变量用什么方法来刻划之间的关系呢？来刻划之间的关系

6、呢？2、最小二乘估计、最小二乘估计最小二乘估计下的线性回归方程：最小二乘估计下的线性回归方程：ybxa121()()()niiiniixXyYbXX aYbX我们回忆一下我们回忆一下最小二乘法最小二乘法:样本点的中心样本点的中心:xbyaxxyyxxbniiniii)()(121),(yxniixnx11niiyny11回归方程回归方程:axby3、回归分析的基本步骤回归分析的基本步骤:画散点图画散点图求回归方程求回归方程用回归直线方程预报、决策用回归直线方程预报、决策这种方法称为回归分析这种方法称为回归分析.回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统是对具有相关关系的两个变量进行统计计

7、分析的一种常用方法分析的一种常用方法.2 2、现实生活中存在着大量的相关关系。现实生活中存在着大量的相关关系。探索：水稻产量探索：水稻产量y y与施肥量与施肥量x x之间大致有何之间大致有何规律？规律？例例1 从某大学中随机选取从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。所示。编号12345678身高/cm165165 157 170 175 165 155 170体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm

8、的女大学生的体重。的女大学生的体重。案例案例1：女大学生的身高与体重：女大学生的身高与体重解：解：1、选取身高为自变量、选取身高为自变量x，体重为因变量，体重为因变量y，作散点图：，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较好的、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。刻画它们之间的关系。例例1 从某大学中随机选取从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。所示。5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/c

9、m87654321编号求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。的女大学生的体重。根据最小二乘法估计 和 就是未知参数a和b的最好估计，abniiniiiniiniiixnxyxnyxxbyaxxyyxxb1221121)()(制表7 8 合计654321ixy ， ，ixxiyy()()iixx yy2()ixxniiniiynyxnx1111，其中所以回归方程是所以回归方程是0.84985.712yx所以，对于身高为所以，对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报的女大

10、学生，由回归方程可以预报其体重为其体重为0.849 7285.71260.316()ykg( , )x y 称为样本点的中心探究探究P4：身高为身高为172cm的女大学生的体重一定是的女大学生的体重一定是60.316kg吗？吗？如果不是，你能解析一下原因吗？如果不是，你能解析一下原因吗？例例1 从某大学中随机选取从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。所示。5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为

11、求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。的女大学生的体重。712.85849.0ab，于是得到探究探究P4：身高为身高为172cm的女大学生的体重一定是的女大学生的体重一定是60.316kg吗？吗？如果不是，你能解析一下原因吗？如果不是，你能解析一下原因吗？答：身高为答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重在，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右。左右。60.136kg不是每个身高为不是每个身高为172cm的女大学生的体重的女大学生的体重的预测值，而是所有身高为的预测

12、值，而是所有身高为172cm的女大学生的女大学生平均平均体重的预测值体重的预测值。1.用相关系数用相关系数 r 来衡量来衡量2.公式：公式：12211niiinniiiixxyyrxxyy求出线性相关方程后，求出线性相关方程后， 说明身高说明身高x每每增加一个单位增加一个单位,体重体重y就增加就增加0.849个单位个单位,这表这表明体重与身高具有正的线性相关关系明体重与身高具有正的线性相关关系.如何描如何描述它们之间线性相关关系的强弱呢述它们之间线性相关关系的强弱呢?849. 0b00rxyrxy当时，表示 与 为正相关;当时，表示 与 为负相关、当、当 时，时，x x与与y y为完全线性相关

13、，它们之为完全线性相关，它们之间存在确定的函数关系。间存在确定的函数关系。、当、当 时，表示时，表示x x与与y y存在着一定的线存在着一定的线性相关，性相关，r r的绝对值越大，越接近于的绝对值越大，越接近于1 1，表示，表示x x与与y y直线相关程度越高，反之越低。直线相关程度越高，反之越低。1r10 r3.性质：性质：0.751, 1, 0.75, 0 25,0.25,rrr 当， 表明两个变量正相关很强；当表明两个变量负相关很强；当.表明两个变量相关性较弱。例例1 从某大学中随机选取从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。所示。

14、编号12345678身高/cm165165 157 170 175 165 155 170体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。的女大学生的体重。案例案例1：女大学生的身高与体重：女大学生的身高与体重解：解：1、选取身高为自变量、选取身高为自变量x，体重为因变量，体重为因变量y，作散点图：，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较好的、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程线性相关关系，因此可以用线性回归

15、方程刻画它们之间的关系。刻画它们之间的关系。3、从散点图还看到，样本点散布在某一条、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数不能用一次函数y=bx+a描述它们关系描述它们关系。 我们可以用下面的我们可以用下面的线性回归模型线性回归模型来表示：来表示：y=bx+a+e，其中，其中a和和b为模型的未知参数，为模型的未知参数，e称为随机误差称为随机误差。思考思考P3产生随机误差项产生随机误差项e的原因是什么？的原因是什么？思考思考产生随机误差项产生随机误差项e的原因是什么？的原因是什么？随机误差随机误差e e的来源的来源

16、( (可以推广到一般）：可以推广到一般）：1、其它因素的影响：影响体重y 的因素不只是身高 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、是否喜欢运动、生长环境、度量误差等因素；2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；3、身高 x 的观测误差。我们回忆一下我们回忆一下最小二乘法最小二乘法:样本点的中心样本点的中心: 在在回归直线上回归直线上xbyaxxyyxxbniiniii)()(121),(yxniixnx11niiyny11回归方程回归方程:axby3、回归分析的基本步骤回归分析的基本步骤:画散点图画散点图求回归方程求回归方程用回归直线方程预报、决策用回归直线方程预报、决策这种方法称为回归分析这

17、种方法称为回归分析.回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统是对具有相关关系的两个变量进行统计计分析的一种常用方法分析的一种常用方法.函数模型与回归模型之间的差别函数模型与回归模型之间的差别函数模型：abxy回归模型：eabxy 线性回归模型线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项增加了随机误差项e，因变，因变量量y的值由自变量的值由自变量x和随机误差项和随机误差项e共同确定，即共同确定，即自变量自变量x只能解释部分只能解释部分y的变化的变化。 在统计中，我们也把自变量在统计中，我们也把自变量x称为称为解释变量解释变量，因变量，因变量y称为称为预报变量预报变量。()eeybxa 随

18、机误差随机误差eyy e的估计量的估计量样本点：样本点：1122(,),(,),. ,(,)nnxyxyxy相应的随机误差为：相应的随机误差为：,1,2,.,iiieybxa in随机误差的估计值为：随机误差的估计值为：,1,2,.,iiiiieyyybxa inie称为相应于点称为相应于点 的的残差残差.(,)iixy残差图的制作和作用：残差图的制作和作用：制作：坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择制作：坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择. . 横轴为编号：可以考察残差与编号次序之间的关系，横轴为编号：可以考察残差与编号次序之间的关系， 常用常用于调查数据错误于调查数据错误. .

19、横轴为解释变量：可以考察残差与解释变量的关系，常用于横轴为解释变量：可以考察残差与解释变量的关系，常用于研究模型是否有改进的余地研究模型是否有改进的余地. .作用：判断模型的适用性：若模型选择的正确，残差图中的点应作用：判断模型的适用性：若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为中心的带形区域该分布在以横轴为中心的带形区域. .误差与残差，这两个概念在某程度上具有很大的相似性，误差与残差，这两个概念在某程度上具有很大的相似性，都是衡量不确定性的指标，可是两者又存在区别。都是衡量不确定性的指标，可是两者又存在区别。误差与测量有关，误差大小可以衡量测量的准确性，误差误差与测量有关，误差大小可

20、以衡量测量的准确性，误差越大则表示测量越不准确。越大则表示测量越不准确。误差分为两类：系统误差与随误差分为两类：系统误差与随机误差。其中，系统误差与测量方案有关，通过改进测量机误差。其中，系统误差与测量方案有关，通过改进测量方案可以避免系统误差。随机误差与观测者，测量工具，方案可以避免系统误差。随机误差与观测者，测量工具，被观测物体的性质有关，只能尽量减小，却不能避免被观测物体的性质有关，只能尽量减小，却不能避免。 残差残差与预测有关与预测有关，残差大小可以衡量预测的准确性。残差大小可以衡量预测的准确性。残差越大表示预测越不准确。残差与数据本身的分布特性，残差越大表示预测越不准确。残差与数据本

21、身的分布特性，回归方程的选择有关。回归方程的选择有关。编号编号12345678身高身高/cm165165157170175165155170体重体重/kg4857505464614359残差残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382 我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图残差图。表表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及列出了女大学

22、生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。相应的残差数据。iiieyy=使用公式使用公式 计算残差计算残差残差图的制作及作用。残差图的制作及作用。坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；横轴为心的带形区域；对于远离横轴的点，要特别注意。对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点 错误数据 模型问题 几点说明：几点说明： 第第1个样本点和第个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人

23、为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。另外，要寻找其他的原因。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。我们可以用我们可以用相关指数相关指数R2来刻画回归的效果，其计算

24、公式是来刻画回归的效果，其计算公式是22121()11()niiiniiyyRyy 残差平方和。总偏差平方和 显然，显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。说模型拟合效果越好。 在线性回归模型中，在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变表示解释变量对预报变量变化的贡献率化的贡献率。 R2越接近越接近1，表示回归的效果越好（因为，表示回归的效果越好（因为R2越接近越接近1，表，表示解释示解释变量和预报变量的线性相关性越强）。变量和预报变量的线性相关性越强）。 如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分如果某组数据可能采取几种

25、不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即的值来做出选择，即选取选取R2较大较大的模型作为这组数据的模型的模型作为这组数据的模型。总的来说：总的来说：相关指数相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的代表自变量刻画预报变量的能力能力。我们可以用我们可以用相关指数相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是来刻画回归的效果，其计算公式是22121()11()niiiniiyyRyy 残差平方和。总偏差平方和例例1的的R20.64 ，解释变量对总效应约贡献了，解释变量对总效应约

26、贡献了64%，可以，可以叙述为叙述为“身高解析了身高解析了64%的体重变化的体重变化”，而随机误差贡，而随机误差贡献了剩余的献了剩余的36%。所以，身高对体重的效应比随机误差。所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。的效应大得多。 在研究两个变量间的关系时，首先要根据散在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。回归模型来拟合数据。残差分析与残差图的定义：残差分析与残差图的定义： 然后，我们可以通过残差然后，我们可以通过残差 来来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在判断模型拟合的效果，

27、判断原始数据中是否存在可疑数据，可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析这方面的分析工作称为残差分析。12,neee2xR解释变量（ ）对预报变量(y表示)的贡献率。r衡量两个变量之间线性相相关系数 ：关的强弱r2与R 的区别：2r2R在数值上：用身高预报体重时，需要注意下列问题：用身高预报体重时，需要注意下列问题：1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；2、我们所建立的回归方程一般都有时间性；、我们所建立的回归方程一般都有时间性；3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；4、不能期望回归方程得到的预报值就

28、是预报变量的精确值。、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。 事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。这些问题也使用于其他问题。这些问题也使用于其他问题。一般地，建立回归模型的基本步骤为：一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪个变量是）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量解析变量x，哪个变，哪个变量是量是预报变量预报变量y。（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。们之间的关系（如是否存在线性关系等）。（3）由经验确定）由经验

29、确定回归方程的类型回归方程的类型（如我们观察到数据呈线（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），若存在残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。我们回忆一下我们回忆一下最小二乘法最小二乘法:样本点的中心样本点的中

30、心: 在在回归直线上回归直线上xbyaxxyyxxbniiniii)()(121),(yxniixnx11niiyny11回归方程回归方程:axbyxbyaxnxyxnxxxyyxxbniiniiiniiniiiy,)()(1221121以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原理较为简单：即各点到该直线的距离的平方和最小，这一方法叫最小二乘法。整理整理ppt40我们可以用我们可以用相关指数相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是来刻画回归的效果，其计算公式是22121()11()niiiniiyyRyy 残差平方和。总偏差平方和例例1的的R20.64 ，解释变量对总效应约贡献了，解释变量对

31、总效应约贡献了64%，可以，可以叙述为叙述为“身高解析了身高解析了64%的体重变化的体重变化”，而随机误差贡，而随机误差贡献了剩余的献了剩余的36%。所以，身高对体重的效应比随机误差。所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。的效应大得多。R2表示解释变量对预报变量变化的表示解释变量对预报变量变化的贡献率贡献率。整理整理ppt41iiieyy=使用公式使用公式 计算残差计算残差随机误差的估计值为：随机误差的估计值为：,1,2,.,iiiiieyyybxa inie称为相应于点称为相应于点 的的残差残差.(,)iixy例例2 一只红铃虫的产卵数一只红铃虫的产卵数y和温度和温度x有关。现收集了

32、有关。现收集了7组观测数据组观测数据列于表中：列于表中：温度温度xoC21232527293235产卵数产卵数y/个个711212466115325（1 1）试建立产卵数）试建立产卵数y y与温度与温度x x之间的回归方程；并预测温度为之间的回归方程；并预测温度为2828o oC C时时产卵数目。产卵数目。（2 2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？ 产卵数产卵数气温气温在散点图中，样本点没有分布在某个带状区域内，在散点图中，样本点没有分布在某个带状区域内，因此两个变量不呈现线性相关关系，所以不能直接因此两个变量不呈现线性

33、相关关系，所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.利用利用线性回归模型线性回归模型研究研究y和和x之间的之间的非线性回归方程非线性回归方程.当回归方程不是形如当回归方程不是形如y=bx+a时，我们称之为时，我们称之为非线性回非线性回归方程归方程.根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线条指数函数曲线 的周围，其中的周围，其中c1和和c2是是待定参数待定参数.12ln,ln,ca cbyzzbxa令则有则变换后样本点应该分布在直线则变换后样本点应该分布在直线z=bx+a的周围的周围

34、.21c xyce211212lnlnlnlnlnlnc xycecc xecc x产卵数产卵数气温气温 变换变换 y=bx+a 非线性关系非线性关系 线性关系线性关系对数对数方法一一：指数函数模型21c xyce由计算器得：由计算器得：z关于关于x的线性回归方程的线性回归方程相关指数相关指数 因此因此y关于关于x的非线性回的非线性回归方程为归方程为98. 02R489. 3272. 0 xz当当x=28 时，时，y 44 ，指数回归模型中温度解释了，指数回归模型中温度解释了98%的产卵的产卵数的变化数的变化C489. 3272. 0 xey21c xyce12ln,ln,ca cbyzzbx

35、a令则有lny,xz=不变784.5745.4190.4178.3045.3398.2946.1z35322927252321x41表产卵数的对数温度51 . 1图 y= c3 x2+c4 变换变换 y= c3 t+c4 非线性关系非线性关系 线性关系线性关系问题问题选用选用y=c3x2+c4 ，还是，还是y=c3x2+cx+c4 ？问题问题3 产卵数产卵数气温气温问题问题2如何求如何求c3、c4？ t=x2方法二，二元函数模型方法二，二元函数模型平方变换平方变换：令令t=xt=x2 2，产卵数，产卵数y y和温度和温度x x之间二次函数模型之间二次函数模型y=bxy=bx2 2+a+a就转化

36、为产就转化为产卵数卵数y y和温度的平方和温度的平方t t之间线性回归模型之间线性回归模型y=bt+ay=bt+a温度温度21232527293235温度的平方温度的平方t44152962572984110241225产卵数产卵数y/个个711212466115325作散点图，并由计算器得：作散点图，并由计算器得：y y和和t t之间的线性回归方程为之间的线性回归方程为y=y=0.3670.367t t- -202.54202.54，相关指数，相关指数R R2 2= =r r2 20.8960.8962 2=0.802=0.802将将t=xt=x2 2代入线性回归方程得：代入线性回归方程得：

37、y=y=0.3670.367x x2 2 -202.54 -202.54当当x x=28=28时时，y y=0.367=0.36728282 2-202.5485-202.5485，且且R R2 2=0.802=0.802，所以，二次函数模型中温度解所以，二次函数模型中温度解释了释了80.2%80.2%的产卵数变化。的产卵数变化。t选变量选变量 解：选取气温为解释变量解：选取气温为解释变量x x，产卵数，产卵数 为预报变量为预报变量y y。画散点图画散点图假设线性回归方程为假设线性回归方程为 ：=bx+a选选 模模 型型分析和预测分析和预测当当x=28时，时，y =19.8728-463.73

38、 93估计参数估计参数由计算器得：线性回归方程为由计算器得：线性回归方程为y=y=19.8719.87x x-463.73-463.73 相关指数相关指数R R2 2= =r r2 20.8640.8642 2=0.7464=0.7464所以，一次函数模型中温度解释了所以，一次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。的产卵数变化。050100150200250300350036912151821242730333639当当x=28时，时，y =19.8728-463.73 93方法方法三：一元函数模型：一元函数模型函数模型函数模型相关指数相关指数R2线性回归模型线性回归模型0.7464二

39、次函数模型二次函数模型0.802指数函数模型指数函数模型0.98最好的模型是哪个最好的模型是哪个?显然，指数函数模型最好！显然，指数函数模型最好！(2)20.367202.543yx(1)0.2723.849xye 利用残差计算公式：利用残差计算公式：0.2723.849(1)(1),1,2,7ixiiiieyyyei (2)(2)20.367202.543,1,2,7iiiiieyyyxi 77.968-58.265-40.104-41.000-5.83219.40047.69634.675-13.3819.230-8.9501.875-0.1010.557325115662421117Y3

40、5322927252321X(1)ie(2)ie由残差平方和：由残差平方和：21niiQe (1)(2)1550.538,15448.431.QQ 故指数函数模型的拟合效果比二次函数的模拟效果好故指数函数模型的拟合效果比二次函数的模拟效果好.或由条件或由条件R2分别为分别为0.98和和0.80，同样可得它们的效果，同样可得它们的效果.整理整理ppt52 122122111;nniiiiiiQyyQyy分别计算两个回归方程的残差平方和与 1212122,;,.QQyf x ayg x byf x ayg x b若则的效果比的好 反之的效果不如的好课堂知识延伸课堂知识延伸 我们知道，刑警如果能在案发现场提取到罪犯的脚印，即将获得一条重要的破我们知道，刑警如果能