第三章达朗贝尔公式

1、单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级*第三章 行波法无界区域上偏微分方程的一种求解方法对定解问题3.1 达朗贝尔（ ）公式1 无界弦自由振动的达朗贝尔公式推导方程的特征方程为解得特征线为做变换 ，则代入方程并化简得其中 为两个任意函数。于是得偏微分方程 的通解为于是 的通解为联立求解得于是原问题的解为这就是无界弦自由振动的达朗贝尔公式。特解例1 解定解问题解方程的特征方程为解得特征线为做变换 ，则于是方程的通解为两式联立，求解得故原问题的解为2 达朗贝尔公式的物理意义的物理意义(1)即 t =0 时的波形即 t 时的波形表示在t时刻初始波以速度a沿x轴向右平

2、移at个单位，称为右行波。同理 表示以速度a沿x轴的左行波。 的物理意义(2)行波例2 在上述问题中，初值条件为试说明其解的物理意义。-22012可见右行波与左行波分别为由达朗贝尔公式有于是右行波与左行波的波形均为随着时间的推移，其波形如图所示：0-2-42412-224012-42012-2-424012-2-424012-2-424012-2-424图形演示：（1）初位移不为零，初速度为零：则解为解的动画演示（my1）（2）初位移为零，初速度不为零：则解为解的动画演示（my2）该式表示将函数表示的波形向左、右以a的速度移动。解：将初始条件代入达朗贝尔公式，有例3 用达朗贝尔公式求解下列问题

3、3 依赖区间、决定区域和影响区域看达朗贝尔公式，回答下面三个问题：（1） ，即在(x, t)处函数值由哪些初值决定？进一步由x轴上哪些点对应的初值决定？ 答：由区间x-at, x+at上的初值决定。将此区间称为点(x, t) 的依赖区间。进一步分析：方程的特征线为过(x, t)的两条特征线与x轴的交点正好是x-at和x+at. 如图（2）区间 上的初值都能确定哪些点处的函数值？特征线，斜率1/a特征线答：过 和 分别作斜率为 和 的两条直线，与x轴围成的三角形区域内任一点的函数值都可由 上的初值决定。称此区域为 的决定域。依赖区间决定区域（3）区间 上的初值都能影响到哪些点处的函数值？答：过

4、和 分别作斜率为 和 的两条直线，与x轴围成的无界区域内任一点的函数值都能受到 上的初值的影响。称此区域为 的影响域。一点的影响域如图影响区域影响区域4 齐次化原理考虑非齐次问题不能用达朗贝尔公式可分解成如下两个问题和用达朗贝尔公式求解如何求解？用齐次化原理（）（）齐次化原理：若 是下列问题的解，则（）的解为#解的进一步分析：令 ，则有由达朗贝尔公式 ，有于是从而（）的解为例4：求解下列初值问题：自己验证原问题的解为解：由如上公式，有例 求解Goursat问题解：令即于是有补充作业：解定解问题作业：习题1，2，4；习题3（1）、（3）3.2 髙维波动方程的初值问题1 三维波动方程的泊松公式从形

5、式上看，三维与一维相似，不妨将一维的达朗贝尔公式推广到三维中来，为了便于推广，将达朗贝尔公式写成如下积分形式：表示 在 上的平均值一维到三维的对应一维三维区间区间中心球心区间长度球面面积区间上的平均值球面上的平均值于是推广的三维波动方程的泊松公式球面计算中采用球面坐标，直角坐标与球面坐标的关系：此解法称为平均值法。可以验证。解：由泊松公式有例1 计算下列初值问题的解：2 二维波动方程的降维法先将其看成三维问题，则由泊松公式有下面将曲面积分化成二重积分：曲面或投影区域面积元素于是有例2 求解下列问题解 由泊松公式，有3 髙维波动方程初值问题泊松公式解的物理意义1 三维泊松公式解的物理意义不妨假设

6、初始扰动仅发生在空间某个有限区域 内，如图。三维泊松公式为可见 时刻在 处的函数值是由以 为球心、以 为半径的球面 上的初值来确定。(见图示)记 到 的最短距离为 ，在长距离为 ，则当 时， 上的初值为零，故 ，说明扰动还未到达点 处；当 时， 与 相交，即 上有初值，故一般有 ，说明点 处于扰动状态；当 时， 上的初值为零，故 ，说明扰动已经越过了 点，此处恢复到原来的静止状态。这种现象在物理学上称为惠更斯原理或无后效现象。可见 时刻在 处的函数值是由以 为圆心、以 为半径的圆面 上的初值来确定。(见图示)2 二维泊松公式解的物理意义也不妨假设初始扰动仅发生在某个有限区域 内，如图。二维泊松公式为当 时， 与 相交，即 上有初值，故一般有 ，说明点 处于扰动状态；这种现象在物理学上称