标量衍射理论

1、Ch2. 标量衍射理论本部分是信息光学的物理基础重点:掌握光的传播就是光的衍射这一物理思想,理解角谱概念,从傅里叶光学的角度重新理解透镜这一基本光学元件的成像机理.难点:需要进行大量复杂的数学公式推导,以及透过数学公式看到物理本质需要花费足够的时间和精力 2.1 光波的数学表达式光波的数学表达式 1coscoscos2222：k其中)(exptrkjA平面波：xzyk)coscos(cosexpexpzyxjkrk j)cos(cosexpcoscos1exp22yxjkzjk)coscos(2expcoscos1exp22yxjzjk)(2expcoscos1exp22yxjzjkcosco

2、s空间频率方向角(,) 的平面波在平面(x1,y1) 的复振幅)coscos(exp110yxjkuu平面(x1,y1)等相位线常数coscos11yxcoscos1exp220jkzAu设球面波 expjkrrAzyxzzyxr222122221)()(2expexp22yxzjkikzzA旁轴近似 二次位相因子(球面位相因子）222zyx靠近z轴球面波z5m Fraunhofer衍射一般情况 Fresnel衍射 点光源像平面Fraunhofer衍射lxlyFraunhofer衍射1.矩孔)()(),(0000yxlyrectlxrectyxt振幅透射率00000)(2exp),(),(dy

3、dxyzyxzxjyxUCU000000)(2exp)()(dydxyxjlyrectlxrectCyx)(sin)(sinyxyxlclclClxxyxyyxxyxllclClzylzylzxlzxllCl,sin)sin()sin(zxzy),(sin20yxllcII 光强2. 圆孔圆孔直径l 振幅透射率)2()(00lrcircrtr0 孔径平面坐标 r 观察平面坐标 zrrUBzjkrzjjkzrU)()2exp()exp()(02傅立叶贝赛尔变换平面波入射 U(r0 )=t(r0)2)()2()2(120lJllrcircB2)()2)(2exp()exp()(122zlrzlrJ

4、lzjkrzjjkzrU2)2(28)2exp()exp(122zklrzklrJzjklzjkrjkz21222)2(2)8()(zklrzklrJzklrI强度分布2102)2(2RRJII 光强3余弦振幅光栅)2cos(2121),(0000 xfmyxt振幅透过率f0光栅频率单位长度条纹数1）光栅无限大)2cos(2121),(0000 xfmFyxtF),(21),(2121),(2100ffm)2cos(2121),(0000 xfmyxt0级1级1级),(41),(41),(2100fmfm光强),(41),(41),(),(02020fmfmIIf=-f0=f0=02)光栅有限

5、大 )2cos(2121)(),(00000 xfmlxrectyxtx)2cos(2121)(),(00000 xfmFlxrectFyxtFx),(sin41),(sin41),(sin21),(00flcmflcmlcFxxxxlf20重叠部分忽略0级1级1级光强),(sin41),(sin41),(sin),(02202220flcmflcmlcIIxxx一级分量位置 f0z 每个分量宽度 z/l 光栅分辨本领 f0z/(z/l) f0l正比于光栅上条纹数目 与观察距离z无关2.4 衍射的角谱理论x0zy0波传播方向设孔径平面x0y0上光场分布为U0(x0,y0)角谱为：)cos,co

6、s(0A观察平面xy上光场分布为U(x,y)角谱为：)cos,cos(A220coscos1exp)cos,cos()cos,cos(jkzAA讨讨 论论,1coscos22时1.当真正对应于空间某一确定方向传播的平面波,1coscos22时2.当倏逝波，可忽略不计zAAexp)cos,cos()cos,cos(00cos1coscos22，时3.当该波的传播方向垂直于Z轴，它在Z轴的净能流为零传递函数)()(1exp),(),(),(220zjkAAH0)()(1exp),(22zjkH2221其它地方传播可看成一个有限带宽的线性色散空间滤波器其透过率在频率平面上半径-1圆形区域外为0圆形带

7、宽内传递函数模为1 但引入与频率有关相移基尔霍夫理论是描述球面子波相干叠加的理论,它在空域讨论光的传播。 角谱理论是衍射的平面波理论,它在频域讨论光的传播 。衍射孔径对角谱的效应z=0平面上一无穷大不透明屏 一孔 透射函数，其它地方上点在0, 1),(00yxt紧靠平面后的场),(),(),(000000yxtyxUyxUio设入射光角谱)cos,cos(iA透射光角谱)cos,cos()cos,cos()cos,cos(TAAio 000000)coscos(2exp),()cos,cos(dydxyxjyxtT其中透射光角谱)cos,cos()cos,cos()cos,cos(TAAio透

8、射光角谱入射光角谱与角谱卷积由单个单位振幅平面波垂直照射时)cos,cos()cos,cos(iA)cos,cos()cos,cos()cos,cos()cos,cos(TTAoF(t)衍射孔径展宽了角谱 孔径越小 角谱越宽从空域看,孔径的作用限制了入射球面波的大小,从频域看,则是展宽了入射光场的角谱.平面波照明时 透射光角谱F(t)2.5 透镜的Fourier 变换和成像性质 Fraunhofer衍射对应Fourier变换Fraunhofer衍射可由透镜系统获得透镜可以实现任一平面光场复振幅的Fourier变换Fourier光学基础 近代光学模拟计算方法的基础相干光信息处理的基础透镜系统可改

9、变光波位相的空间分布或能对通过透镜的光进行位相的空间调制2.5.1 透镜的相位变换作用2212expexp),(yxpkjjkpAyxU振幅透过率: ),(),(),(11yxUyxUyxt2212expexp),(yxqkjjkqAyxUS S S SP1qpSSx-yP2O1O2qpyxkjyxUyxUyxt112exp),(),(),(2211fqp111又222exp),(yxfkjyxt考虑透镜孔径有限，其他透镜孔径内0, 1),(xxp222exp,),(yxfkjyxpyxt2.5.2 透镜的Fourier 变换特性 d0pq点光源Sx0y0P2xy(x0,y0)物(x,y)(x

10、,y)P1一、物体在透镜前)(2expexp22yxzjkjkzzA球面波)()(2exp),(202000000yxdpjkAyxU物体输入面光波t(x0 ,y0)为物体透射系数过物体后光波),(),(),(0000000yxUyxtyxOFresnel衍射 dxdyyyxxzikyxUzieyxUikz)()(2exp),(),(22通过透镜后光场分布为)(2exp),(),(),(2211yxfjkyxpyxUyxUp(x,y)乃透镜光瞳函数:，在光瞳外在光瞳内0, 1),(yxp透镜前表面光场00202000202000001)()(2exp)( 2exp),(),(odydxyyxx

11、djkdpyxjkyxtdjAyxU在光源S的共轭像面(输出面）光场pydxdyyxxqjkfyxjkyxUqjyxU)()(2exp2exp),(1),(22221将U1代入得OPydxddydxkjyxtqdAyxUyx0000020)(2exp),(),(利用物像关系p-1+ q-1=f-1 0000000000220)()(exp),()( 2)(exp),(dydxfddfqyyxxfjkyxtfddfqyxdfjkCyxU1、输入面在透镜前焦面d0=f 000000exp),(),(dydxfyyxxjkyxtCyxU物体透射系数与衍射场复振幅是准确的F变换关系且与照明光源位置无关

12、光源无限远 即平行光照明 变换面在后焦面光源与透镜为p 变换面在光源共轭像面 q=fp/(p- f) 若令=x/f =y/f 000000)(2exp),(),(dydxyxjyxtCyxU),(TC, 表示x,y 方向空间频率T( ) 为t(x0 ,y0) 的傅立叶变换(1) 分析物体的空间频谱(2) 根据空间频谱研究物体结构近代光学变换 光学空间滤波 光学信息处理 傅立叶变换全息傅立叶光学2、输入面紧靠透镜d0=0 00000022exp),()2exp(),(dydxqyyxxjkyxtqyxjkCyxU二次位相因子qx平行光照明 p= q=f 00000022exp),()2exp()

13、,(dydxfyyxxjkyxtfyxjkCyxU充分利用透镜孔径fx3、物体在透镜前任意位置 平行光照明 q=f 0000002220exp),()2)(exp(),(dydxfyyxxjkyxtfyxdfjkCyxU),()2)(exp(),(2220TfyxdfjkCyxUd0 f 放大实像d0 f 放大虚像二、物在透镜后 d0SpqP2xOx物像衍射谱U1O发散球面波会聚球面波(x0,y0)(x,y)(x,y)P1物面光场为pydxdyyxxdjkfyxjkpyxjkdjAyxU)()(2exp)2exp()2exp(),(20200222200001(x,y)面上光场分布为0020200001000)()()(2exp),(),()(1),( OdydxyyxxdqjkyxUyxtdqjyxU过物体后光波),(),(),(0010000yxUyxtyxO代入U1得ydxddydxkjyxtdqdAyxUOPyx00000020)(2exp),()(),( 0000000022exp),()()(exp),(dydxdqyyxxjkyxtdqzyxjkCyxU二次位相因子Fourier变换1、输入面紧靠透镜 d0=0 00000022exp),()2exp(),(dydxqyyxxjkyxtqyxjkCyxU