饱和非线性的描述函数教学教材

1、7-2 描述描述(mio sh)函函数法数法 一、描述一、描述(mio sh)(mio sh)函数的函数的基本概念基本概念 非线性系统的结构图如图所示。图中(s)为线性部分(b fen)的传递函数，N为非线性元件。 (1)设非线性环节N 的输出量只和输入量有关，即y=f(x)。 tAtxsin)(, 2 , 1)cossin()(10ktkCtkBYtykkk设输入为：非线性环节的输出为：)sin()(tAfty利用富氏级数展开，有式中：Y0是输出信号中的直流分量； Bk和Ck是输出信号中各次谐波分量的幅值，在一般情况下是输入信号幅值A和频率的函数。（1）（2）（3）第一页，共28页。 (2)

2、设非线性环节的输出(shch)是对称奇函数，则式(3)中的偶次项等于零，上式可简化成：, 5 , 3 , 1)cossin()(1ktkCtkBtykkk（4）上式表明(biomng)，非线性环节的输出量含有高次谐波。 (3)设系统的线性部分具有低通滤波器特性。于是对整个系统来说，高次谐波(xi b)可以忽略。这样式(4)可进一步简化为)(sincossin)(1111tYtCtBty式中 ，或写成 根据富氏级数的系数项公式，有11121211tan,BCCBY111111sin,cosYCYB201sin)(1ttdtyB201cos)(1ttdtyC （6）（8）（7）第二页，共28页。式

3、(6)可写成矢量(shling)形式:)(11tjeYYtjAeX 输入正弦(zhngxin)函数也写成矢量形式，有 令（9）（10）11.)(jeAYXYAN)()(sincos)(111111AjCABACjABAYjAYAN201201cos)(1)(sin)(1)(ttdtyAACACttdtyAABAB 将上式写成复数(fsh)的形式，有式中（11）（12）式(11)为该非线性环节的描述函数第三页，共28页。描述(mio sh)函数的定义 非线性环节(hunji)在正弦函数输入下，输出中的一次谐波(基波)分量和输入正弦波的矢量比(写成复数的形式)来描述该非线性的特征，这个比值称为该非

4、线性环节(hunji)的描述函数。 这相当于用一个等效的线性环节代替(dit)了原来的非线性环节，而等效线性环节的幅相特性函数N(A)，是输入函数x(t)Asint幅值A的函数，等效的结构图如图所示。 由于描述函数是非线性元件的等效传递特性，它是在只考虑基波分量之后得到的结果，所以这种近似处理方法又称为“谐波线性化法”。 当非线性元件用描述函数表示后，就可以用线性理论中的频率法来研究非线性系统的基本特性。第四页，共28页。二、典型非线性特性二、典型非线性特性(txng)(txng)的描述函数的描述函数1 1、饱和非线性的描述、饱和非线性的描述(mio sh)(mio sh)函数函数饱和(boh

5、)非线性如图所示。第五页，共28页。20sin)(11tKttAKtynn0)(AC)cos(2)(11AaKABn)()(1sin2)(021aABKAaAaAaKANnn2100)(1sin2)()(AaAaAaaABAN饱和特性(txng)数学表达式为： 由于y(t)为单值奇对称(duchn)函数，故有，其描述(mio sh)函数为 可见，饱和非线性的描述函数虚部为零，只有一个实部。基准描述函数Aa11sin（ ）第六页，共28页。 实际上，在确定(qudng)自振荡频率和幅值A时，常用基准描述函数的负倒数 ，对于饱和非线性，它的基准描述函数的负倒数为 ， 把它画在复平面上，是一条起自(

6、-1，j)点，随着 的增长，沿负实轴向左延伸的直线,如下图所示。)(10AN)(10aAB Aa第七页，共28页。2 2、死区非线性的描述、死区非线性的描述(mio sh)(mio sh)函数函数 当输入(shr)为正弦函数x(t)Asint时，死区非线性及其输入(shr)输出波形如图所示。第八页，共28页。2)sin(00)(11tatAKttxn死区非线性的数学(shxu)表达式为y(t)为单值奇对称(duchn)函数，故有 所以其描述(mio sh)函数为21)(1sin22)()()(AaAaAaKAjCABANn)()()(00aABKANANn 死区非线性的基准描述函数为 0)(A

7、C)()(1sin22)(021aABKAaAaAaKABnn，Aa11sin式中第九页，共28页。 从死区非线性的描述函数表达式可以看出，死区非线性的描述函数也只有一个实部。在复平面上，可绘出死区非线性的基准(jzhn)描述函数负倒数曲线，如下图所示。 它是一条在实轴上沿着 变化的直线，起自 ，随着 增长，以1为终点。 1 Aa第十页，共28页。3 3、回环（间隙、回环（间隙(jin x)(jin x)）非线性的描述函数）非线性的描述函数 当输入为正弦函数x(t)Asint 时，回环(hugun)（间隙）非线性具有非单值特性，回环(hugun)非线性曲线及其输入-输出波形如图所示。第十一页，

8、共28页。ttAKtAKttAKtynnn11)sin(2)(20)sin()()(ty)() 1(4)(0aACKAaAaKACnn)()1 ()21 (2)21 (sin2)(01ABKAaAaAaAaKABnn 为奇对称(duchn)，但非单值 回环（间隙(jin x)）非线性的数学表达式为：)()()()()()(000ANKaAjCaABKAjCABANnn 所以其描述(mio sh)函数为第十二页，共28页。 回环非线性的描述函数是复数，基准(jzhn)描述函数负倒数曲线如图所示。第十三页，共28页。 继电器特性及其正弦信号(xnho)输入时的输入-输出波形如图所示。4 4、继电器

9、特性的描述、继电器特性的描述(mio sh)(mio sh)函数函数第十四页，共28页。继电器特性(txng)的数学表达式为：Aa11sin21)(tMty其中(qzhng)： ，Ama12sin同理可得：22)(1)(12sin2)(12AmaAaaAMattdMAAB) 1(2cos2)(2212maAMattdMAAC第十五页，共28页。令 ， 则上述(shngsh)两式可改写为),()(1)(12)(022maABKAmaAaAaKABnn),() 1(2)(022maACKmAaKACnnaMKn由此可得继电器特性的基准(jzhn)描述函数为220)(1)(12),(AmaAaAam

10、aAB) 1(2),(220mAamaAC000jCBN第十六页，共28页。 当m取不同值时，继电器特性的基准(jzhn)描述函数负倒数曲线如图所示。第十七页，共28页。三、典型非线性环节三、典型非线性环节(hunji)(hunji)串联时的描述函数串联时的描述函数例例1:1:求如图所示非线性环节的等效求如图所示非线性环节的等效(dn xio)(dn xio)形式形式 两非线性环节串联时，第二个非线性环节不符合谐波线性化的条件，故不存在描述函数，求取(qi q)串联环节的传递函数时应求取(qi q)其等效非线性特性的描述函数。 )(2ANaxMyeeeekx00)()(0eeka0ekae0e

11、ka： 令即解:由图可知第十八页，共28页。)(22xky)(11ekx)()(1212121112ekkekkkekky 例例2: 2: 求如图所示非线性环节的等效求如图所示非线性环节的等效(dn xio)(dn xio)形式形式解:由图可知(k zh)12121kkkk所以(suy)有其中第十九页，共28页。四、非线性控制系统的描述函数四、非线性控制系统的描述函数(hnsh)(hnsh)分析分析1 1、控制系统、控制系统(kn zh x tn)(kn zh x tn)的稳定性分析的稳定性分析 很多非线性系统通过适当地简化，都可化为由线性部分和非线性部分串联而成的系统。 假设非线性元件和系统

12、满足描述函数的条件，则非线性部分可以用描述函数N(A)表示，线性部分可以用传递函数G(s) 或频率特性G(j)表示。因N(A)是经过谐波线性化后的等效线性环节，可以作为一个具有实数或复数增益的放大环节来处理，于是非线性系统可以看成是一个等效的线性系统，并可以应用(yngyng)线性理论中的频率判据来判断闭环系统的稳定性。第二十页，共28页。)()(1)()()()()(jGANjGANjRjCj0)()(1jGAN特征方程为非线性特性的基准描述函数(hnsh)负倒数 如图所示系统(xtng)，闭环系统(xtng)的频率特性为)(1)(0ANjGKnnK或)(10AN式中非线性元件(yunjin

13、)线性部分的放大系数;第二十一页，共28页。用描述函数(hnsh)法分析非线性系统稳定性的准则是: 假设线性部分是最小相位系统，则如果 线包围 线，表明系统有正特征根，不稳定；如果不包围 线，则系统稳定；如果两线相交，如图所示，则表明系统可能(knng)产生不衰减的简谐振荡，简称自振荡。 式就是用来确定两线交点的方程，也称之为非线性系统产生自振荡的条件。)(jGKn)(10AN)(10AN)(1)(0ANjGKn第二十二页，共28页。由于稳定(wndng)参考点P2位于 曲线之外，所以系统是稳定(wndng)的，收敛的，它的振幅会逐渐衰减回到 值。 又设扰动作用使振幅 减小为 ，亦即稳定(wn

14、dng)参考点由P移到P1，而P1点被 曲线包围，系统不稳定(wndng)，它的振幅会随时间增大回到 值。 由上面分析可知，P点具有收敛的特性。 要判断系统能否产生自振荡，还要判断交点(jiodin)具有收敛的还是发散的特性。 研究上图的交点P。假设有一扰动，使振幅(zhnf)由 增大为 ,即稳定参考线上P点移到P2点，)(jGKnPaA)()()(aAaAP PaA)(PaA)()()(aAaAP)(jGKnPaA)(同理可以证明同理可以证明Q Q点具有发散的特性。点具有发散的特性。第二十三页，共28页。 2 2、典型、典型(dinxng)(dinxng)非线性特性对系统的稳定性的影响非线性

15、特性对系统的稳定性的影响例1: 具有(jyu)饱和非线性的控制系统如图所示，试判断系统是否有自振荡状态？若有自振荡，其振幅和频率是多少？ 解：查表可知饱和非线性特性的描述函数为解：查表可知饱和非线性特性的描述函数为中：中：KnKn2 2 ，a a 1 1 。 又知饱和非线性的基准描述函数负倒数曲线是位于实又知饱和非线性的基准描述函数负倒数曲线是位于实轴上轴上-1-1-的直线，系统的直线，系统(xtng)(xtng)线性部分的频率特性为线性部分的频率特性为aAAaAaAaKANn21)(1sin2)() 105. 00004. 0()02. 01 (3 . 015) 12 . 0)(11 . 0

16、(15)(242jjjjjG第二十四页，共28页。 在复平面上画出 曲线(qxin)，如图所示。由图可见， 与 曲线(qxin)交于(-2，j0 )点。 根据自振荡的判别方法该点具有收敛的特性，即系统存在自振荡，振荡的频率可令 的虚部等于零)(jGKn)(jGKn)(10AN)(jGKn21111sin4)(1210AAAAN求得，即1-0.020，求得7.07 rad/s 。 根据两条曲线(qxin)在交点处的幅值相等，即求得与交点(jiodin)对应的振幅A2.5。第二十五页，共28页。例例2 2：设含理想继电器特性的系统：设含理想继电器特性的系统(xtng)(xtng)方框图如图所式。试确定其自持振荡的振幅和角频率。方框图如图所式。试确定其自持振荡的振幅和角频率。)()(Re)2)(1(10)(jGjIjGjjjjGm第二十六页，共28页。)(1)(K0nANjG由第二十七页，共28页。 描述函数法只是用于研究非线性系统的自振荡工作状态，它的应用具有以下条