在自然科学的许多领域中,当研究运动的各种形式时,都需

1、 微分学是微积分的重要组成部分,它的基本概念是导数与微分。 在自然科学的许多领域中，当研究运动的各种形式时，都需要从数量上研究函数相对于自变量的变化快慢程度，如物体运动的速度、电流、线密度、化学反应速度以及生物繁殖率等，而当物体沿曲线运动时，还需要考虑速度的方向，即曲线的切线问题。所有这些在数量关系上都归结为函数的变化率。第三章 一元函数微分学 xyo)(xfy CTM。第一节第一节 导数的概念导数的概念一、导数概念实例一、导数概念实例二、导数的定义二、导数的定义三、求导数的方法三、求导数的方法四、可导与连续的关系四、可导与连续的关系五、导数的几何意义与物理意义五、导数的几何意义与物理意义1导

2、数概念实例导数概念实例 （ 1）、变速直线运动的瞬时速度问题 设动点作变速直线运动，其经过的路程是时间的函数，即，求它在时刻的瞬时速度。 如右图所示， 0tso)(0ts)(0ttstt0假定在某一瞬时 ,动点M的位置是 ， 00()ss t0t而经过极短的时间间隔 后,即在瞬时 ,动点M的位置到达 ， t0tt0()ss tt于是动点M在时间间隔 内所走过的路程是： tso)(0ts)(0tts0ttt0000()( )ss ss tts t 动点在这段时间内的平均速度为 00()( )s tts tsvtt 由于时间间隔 较短，它可以大致说明动点M在 时刻的速度，且时间间隔 取得越小，这段

3、时间内的平均速度愈接近 时刻瞬时速度。 t0tt0t若令 趋于零，则极限值 t000()( )limts tts tt 精确地反映了动点在时刻的瞬时速度 :0t0( )v t0limtst 000()( )limts tts tt （2）、切线问题xyo)(xfy CNT0 xMx割线的极限位置切线位置（附：Flash说明说明） 如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就就称为曲线C在点M处的切线。 割线 M N 的斜率tan)()(0 xfxf0 xx tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 如图，2导数的定义导数的定义 上面讨论的两个实例，虽然是不同的

4、具体问题，但是它们在计算时都归结为如下的极限： 000()()limxfxxfxx 其中00()()f xxf xyxx是函数的增量与自变量的增量之比，表示函数的平均变化率。定义定义 . 在点0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx)(xf并称此极限为)(xfy 记作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000则称函数若的某邻域内有定义 , 在点0 x处可导可导, 在点0 x的导数导数. )(xfy 设函数存在若上

5、述极限不存在 ,在点 不可导。 0 x若,lim0 xyx若函数在开区间 I 内每点都可导,就称函数在 I 内可导.此时导数值构成的新函数称为导函数.;ddxy记作:;y;)(xf .d)(dxxf就说函数也称)(xf在0 x的导数为无穷大 。xxfd)(d0)(0 xf 0)(xxxf注意：注意：3由定义求导数由定义求导数 步骤： (1)求增量 (2)算比值 (3)求极值 MathematicaLimit 根据导数的定义求导具有固定的步骤，可以利用的语句计算， 步骤如下:1 定义函数 _f x函数表达式2 根据定义求导Lim it( )/ ,0 f x hf xhh 例1 设圆的面积为A,半

6、径为r，求面积A关于半径r的变化率。（1）面积关于半径函数关系为 解（1）： 2()Arr（2）圆面积的增量为 22()Arrr （3）圆面积的平均变化率为 Ar（4）面积A关于半径r的变化率为2200200()( )limlim2 ()()limlim (2) 2rrrrArrrA rrrr rrrrrr 解（2）: 用Mathematica求解 例2 求函数(C为常数)的导数。 解（1）: 即 解（2）: 用Mathematica求解 课堂小练习 P45 第5题 yaxb,abd yd x5设（为常数），试按导数定义求 。例3 nyxn根据导数的定义求的导数，其中为正整数 。 解（1）:

7、由二项式定理，得 1122211221()()() ,() .nnnnnnnnnnnnnnnnyxxxCxx C xxCxyCxC xxCxx 于是10lim,nxyynxx 即 1()nnxnx解（2）: 用Mathematica求解 一般地，对幂函数 ()yx为实数有1()xx 利用这一公式，可以求出幂函数的导数。课堂小练习 P45 第6题（1）（3）（5） 6. 求下列函数的导数：531.83 521(1) (2) (3) 1(4) (5) (6) yxyxyxyxyyxxx 利用导数的定义还能够比较容易地求出 ：11(log); (ln );ln()ln ; ( );(sin )cos

8、 ; (cos )sin .axxxxxxxaxaaaeexxxx4可导与连续的关系可导与连续的关系 1）左导数与右导数左导数与右导数 定义2： 000()()limxf xxf xx 由于导数为，则000()()limxf xxf xx 000()()limxf xxf xx 和( )f x0 x分别称为函数在点处的左导数与右导数0+0() ()fxfx和 。分别记为2）定理一定理一( )yf x0 x( )f x0 x函数在点处可导的充分必在点处的左导数与右导数要条件是都存在且相等。 说明：函数连续，若则称点为函数的角点，函数在角点不可导. 例题4 , 0|, 0 xxyxxx0 x 判断

9、函数 , 在点处是否可导 ( 如右下图 ) 。解 ： 由于|0|0| |yxx ，所以 000000|limlimlim1|limlimlim1xxxxxxyxxxxxyxxxxx 0limxyx 0 x 因为左、右极限不等，故极限 即函数在点处不可导。不存在，处可导在点xxf)(定理定理1.处连续在点xxf)(证证: 设)(xfy 在点 x 处可导,)(lim0 xfxyx存在 ,因此必有,)(xfxy其中0lim0 x故xxxfy)(0 x0所以函数)(xfy 在点 x 连续 。即2）定理二定理二注意注意: : 函数在点 x 连续未必可导.（1） 函数在角点不可导：（2） 函数在无穷倒数点

10、处不可导：（3） 函数左右导数都不存在处不可导：（4） 函数在尖点不可导。(1)(2)(3)(4)5、 导数的几何意义导数的几何意义xyo)(xfy CT0 xM曲线)(xfy 在点),(00yx的切线斜率为)(tan0 xf 若,0)(0 xf曲线过上升;若,0)(0 xf曲线过下降;xyo0 x),(00yx若,0)(0 xf切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;),(00yx),(00yx0 x若,)(0 xf切线与 x 轴垂直 .曲线在点处的),(00yx切线方程切线方程:)(000 xxxfyy法线方程法线方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x,)(0时 xf例题5 求等边双曲线在点的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程 处的切线 解: 由导数的几何