双边Z变换与反变换

1、数字信号处理数字信号处理 信号与系统系列课程组信号与系统系列课程组 国家电工电子教学基地国家电工电子教学基地收敛域收敛域(ROC): R- - |z| R+kkzkxzX-)( 序列双边序列双边z变换的定义为变换的定义为能够使上式收敛的能够使上式收敛的z值区域称为值区域称为z变换的变换的解：解：例：求下列信号的z变换及收敛域。1kRkxN2kuakxk 13-kubkxk324kxkxkx110111)(-zzzzXNkNk0z10211)(-azzazXkkkaz bz 11311)(-bzzbzXkkk1141111)(-bzazzXbzakNNkzkxzX-)(21 z0ROCkNkzk

2、xzX-)(1 :01N若- Rz :0 1N若-zR ROCR- -Re zIm zkNkzkxzX-)(2:02N若 Rz:02N若Rz0ROCR+Im zRe zkkzkxzX-)(-RzRROCROCR- -R+Im zRe z双边双边z z变换的主要性质变换的主要性质)(11zXkx;ROC111-xxxRzRzR)(22zXkx;ROC222-xxxRzRzR1.1.线性特性线性特性)()(2121zbXzaXkbxkax21ROCxxRR包含2 2位移特性位移特性x k - n z -nX(z) ROC = Rx双边双边z z变换的主要性质变换的主要性质3.3.指数加权特性指数加

3、权特性)/(azXkxaZkxRaROC4. 4. z z域微分特性域微分特性zzXzkkxd)(d-xRROC5. 5. 序列卷积序列卷积)()(2121zXzXkxkxROC 包含Rx1Rx2双边双边z z变换的主要性质变换的主要性质6.6.时间翻转时间翻转(time reversal)(time reversal)/1 (zXkxZ-xxRzR11解：解：例：两个序列的自相关定义为， 求Zrxn。knxkxnrkxknxZkxnrZkxkkxzzXkxnrZ)()()(1zXzX-利用双边z变换的时域位移性质，可得解：解：-Zkkua 111111-zazaaz/1-Zkkua 1111

4、111-azzazaaz 变换。的求变换性质利用例zkuazk 1,:-由于利用双边z变换的时域翻转性质，可得zzzXkxkCd)(j211-| 111azazkaZk-| 11 11bzbzkbZk- 将序列将序列z变换分解为部分分式之和，变换分解为部分分式之和，然后求解各部分分式对应的然后求解各部分分式对应的z反变换反变换。的求所有不同收敛情况下已知例 , )31)(21 (1)(:11khzzzH-11313212)(-zzzH(1) |z| 3 ，H1(z)和和 H2(z)均对应右边序列均对应右边序列)32(11kukhkk-(2) 2 |z| 3，H1(z)对应右边序列，对应右边序列

5、， H2(z) 对应左边序列对应左边序列 13211-kukukhkk(3) |z| 2 ，H1(z)和和 H2(z)均对应左边序列均对应左边序列 13 1211-kukukhkk解：解：H1(z)H2(z)zzzXkxkCd)(j211-C为为X(z) 的的ROC中的一闭合曲线。中的一闭合曲线。ipzkizzX-)(sRe1根据复变函数积分理论根据复变函数积分理论,)1 (1)(21-azzX例：求：求： (1) ROC为为|z| |a|时的时的xk； (2) ROC 为为|z| |a|时的时的xk。zazzkxCkd)1 (j21) 1 ( :211-解zazzCkd)(j2121-azkzzkxdd1) 1( 1) 1(kuakkuakkxkkxk=0 (围线围线C内留数和为零内留数和为零)kak) 1( 时当 1 -k时当 1 -|a|，所以，所以 :解zazzkxCkd)(j21 )2(21-时当 1 -k时当 2 -k, 2, 1,1-mmk令zazzkxCmd)(1j212-0211)(1dd)!1(1-zmmazzm0121)(1)!1(!) 1(-zmmazmm)1(-mmakak) 1( - 1) 1(-kuakkxk由于由于ROC为为|z|a|，所以，所