计算机图形学

1、曲线与曲面曲线与曲面曲线、曲面的研究状况曲线、曲面的研究状况曲线、曲面参数表示的基础知识曲线、曲面参数表示的基础知识常用的参数曲线的生成常用的参数曲线的生成常用的参数曲面的生成常用的参数曲面的生成几种典型的自由曲线几种典型的自由曲线抛物线参数样条曲线抛物线参数样条曲线Hermite曲线曲线三次参数样条曲线三次参数样条曲线Bezier 曲线曲线B 样条曲线样条曲线Bezier 曲线曲线 贝塞尔曲线和贝塞尔曲线和B样条曲线来源：上一节课，我们样条曲线来源：上一节课，我们学习了抛物线样条和三次样条曲线，他们的共同特学习了抛物线样条和三次样条曲线，他们的共同特点是经过每一个型值点，并且达到了一阶和二阶

2、连点是经过每一个型值点，并且达到了一阶和二阶连续，因此得到了广泛应用。然而，在一些外型设计续，因此得到了广泛应用。然而，在一些外型设计的工作中，由于所给的型值点并不准确，因此每一的工作中，由于所给的型值点并不准确，因此每一个点通过是意义不是非常必要，特别是，为了便于个点通过是意义不是非常必要，特别是，为了便于局部修改和交互，前两种样条曲线是不够的。局部修改和交互，前两种样条曲线是不够的。 由于几何外形设计的要求越来越高，传统的曲线曲面表示方由于几何外形设计的要求越来越高，传统的曲线曲面表示方法法, 已不能满足用户的需求。已不能满足用户的需求。 1962年，法国雷诺汽车公司的年，法国雷诺汽车公司

3、的P.E.Bezier构造了一种以逼近构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成了为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成了一种称为一种称为UNISURF 的曲线和曲面设计系统，的曲线和曲面设计系统，1972年，该系年，该系统被投入了应用。统被投入了应用。 Bezier方法将函数逼近同几何表示结合起来，使得设计师在方法将函数逼近同几何表示结合起来，使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心应手。计算机上就象使用作图工具一样得心应手。 Bezier曲线优点：曲线优点： 能比较直观地反映所给条件与曲线间的关系；能比较直观地反映所给条件与曲线间的关系； 比较方便的

4、通过修改输入参数来改变曲线的形状和阶次。比较方便的通过修改输入参数来改变曲线的形状和阶次。 所用数学工具比较简单所用数学工具比较简单Bezier曲线的定义和性质曲线的定义和性质 定义：定义：（1）Bezier曲线是由一组多边折线的各顶点唯一地定义曲线是由一组多边折线的各顶点唯一地定义出来的，或称之为出来的，或称之为Bezier特征多边形来定义的。特征多边形来定义的。（2）曲线的起点和终点与该多边形的起点、终点重合，）曲线的起点和终点与该多边形的起点、终点重合，且多边形的第一条边和最后一条边表示了曲线在起点且多边形的第一条边和最后一条边表示了曲线在起点和终点处的切矢量方向。和终点处的切矢量方向。

5、（3）多边形的其他各顶点则用来定义曲线的阶次和形状。）多边形的其他各顶点则用来定义曲线的阶次和形状。曲线的形状趋向于多边折线的形状。曲线的形状趋向于多边折线的形状。（4）次的）次的Bezier曲线：当给定空间曲线：当给定空间n+1个点的位置矢量个点的位置矢量 时，则时，则Bezier曲线上各点坐标的插值公式为：曲线上各点坐标的插值公式为：其中，其中， 构成该构成该Bezier曲线的特征多边形曲线的特征多边形n+1个个顶点的位置向量，顶点的位置向量，Bi,n(t)是是n次次Bernstein基函数：基函数： ,t(t)BPP(t)nii,ni100 PPPn,100 =1, 0!=1 1 , 0

6、)1 ()!( !)1 ()(,tttininttCtBiniiniinni), 0(niPi注意：当注意：当i=0，t=0时，时，ti=1，i!=1。即。即 （5）控制顶点）控制顶点顶点顶点P1、P2 、P3 、P4（6）控制多边形）控制多边形将连接有一定次序控制点的直线序列称为将连接有一定次序控制点的直线序列称为控制多控制多边形边形或或特征多边形特征多边形顶点顶点P1 、P2 、P3 、P4构成的多边形构成的多边形依次用直线段连接相邻的两个控制点依次用直线段连接相邻的两个控制点Pi，Pi+1，（，（i = 0, 1, , n 1），便得到一条），便得到一条n边的折线边的折线P0P1P2Pn

7、，将这样一条，将这样一条n边的折线称为边的折线称为Bezier控控制多边形（或特征多边形），简称为制多边形（或特征多边形），简称为Bezier多边多边形。形。Bezier曲线和它的控制多边形十分逼近，通常认曲线和它的控制多边形十分逼近，通常认为控制多边形是对为控制多边形是对Bezier曲线的大致勾画，因此曲线的大致勾画，因此在设计中可以通过调整控制多边形的形状来控制在设计中可以通过调整控制多边形的形状来控制Bezier曲线的形状。曲线的形状。Bezier曲线的例子曲线的例子图8-5 Bezier曲线的例子（1） 一次一次Bezier曲线曲线(n=1,k=0,1)0,1t )1()()(1010

8、1 , kkktPPttBPtp常用常用Bezier曲线的矩阵表示曲线的矩阵表示 100111110 tPpttP矩阵表示为：矩阵表示为：显然，一次显然，一次Bezier曲线是连接起点曲线是连接起点P0 和终点和终点P1 的直线段的直线段（2）二次）二次Bezier曲线曲线(n=2，k0，1，2) 001201222102202,)(2)2( 0,1t )1(2)1( )()(PtPPtPPPPtPttPttBPtpkkk 1000102212112102tPPPtttP 矩阵表示为：矩阵表示为：显然，二次显然，二次Bezier曲线是曲线是P0 、 P1和终点和终点P2 的抛物线的抛物线相应的

9、基函数为相应的基函数为22,222,122,02221tBttBttB 同时我们有：同时我们有： 022120211212411210412112012120PPPPPPPPPPPPPPPP 0PPmP1P2P（3）三次）三次Bezier曲线曲线(n=3，k0，1，2，3)33 , 323 , 213 , 103 , 033221203303 ,)()()()( 0,1t )1 (3)1 (3)1 ( )()(PtBPtBPtBPtBPtPttPttPttBPtpkkk 33,323,223, 133,0)()1(3)()1(3)()1()(ttBtttBtttBttB 其中四个其中四个Bez

10、ier基函数：基函数：图 8-6 三 次 Bezier曲 线 四 个 Bezier基 函 数0tB0,3(t)B3,3(t)B1,3(t)B2,3(t)三次三次Bzier曲线四个曲线四个Bezier基函数基函数任何三次任何三次Bzier曲线都是这曲线都是这4条曲线的线性组合条曲线的线性组合 程序演示：程序演示：Bernstein基函数基函数 bebeGMTPPPPttttp 0,1t 00010033036313311)(321023矩阵形式表示为：矩阵形式表示为：可知，三次可知，三次Bezier曲线是一条以曲线是一条以P0为起点、以为起点、以P3为终为终点的自由曲线。点的自由曲线。三次三次B

11、ezier曲线举例曲线举例已知已知4控制顶点坐标分别为：控制顶点坐标分别为：P0(1,1),P1(2,3),P2(4,3),P3(3,1)分别计算当分别计算当t=0，0.15，0.35，0.5，0.65，1 时，曲时，曲线上点的坐标值，并用光滑曲线连接该线上点的坐标值，并用光滑曲线连接该6点。点。先计算先计算t=0.5时，曲线上点的坐标时，曲线上点的坐标P(0.5)。 x= , y= Bernstein基函数的性质基函数的性质1正性正性2端点性质端点性质 ; 1, 2 , 1),1 , 0(01 , 00)(,nitttBni otherwiseniBotherwiseiBnini0)(1)1

12、(0)0(1)0(,3. 权性（规范性）权性（规范性） 由二项式定理可知：由二项式定理可知：)1 , 0(1)(0, ttBnini ninininiinnittttCtB00,1)1()1()(4. 对称性对称性 因为因为 )()(,tBtBninni )1()1( )1()1(1 )(,)(,tBttCttCtBniiniinininninnnin 5. 递推性。递推性。 即高一次的即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次基函数可由两个低一次的的Bernstein调和函数线性组合而成。因为，调和函数线性组合而成。因为，),.,1 , 0( ),()()1()(1, 11,nittB

13、tBttBninini )()()1()1()1()1()1()()1()(1, 11,)1()1(111)1(1111,ttBtBttttCttCtttCCttCtBniniiniininiininiinininiinni 6. 导函数导函数 7. 最大值。最大值。 在在 处达到最大值。处达到最大值。;, 1 , 0 ),()()(1,1, 1,nitBtBntBninini 8. 升阶公式升阶公式 9. 积分积分)(11)()11()()(11)()()11()()1(1, 11,1, 1,1,tBnitBnitBtBnittBtBnitBtninininininini 10,11)(nt

14、Bni Bezier曲线的性质曲线的性质1) 端点性质端点性质a）端点位置矢量：把）端点位置矢量：把t=0和和1代入数学公式中，则有：代入数学公式中，则有： 0,11,000, )0()0()0( )0()0(PBPBPBPBPpnnnnnnknkk nnnnnnnknkkPBPBPBPBPp )1()1()1( )1()1(,11,000, 令令T表示参数矩阵，表示参数矩阵，Mb表示常数矩阵，表示常数矩阵，Gb表示位置矢表示位置矢量矩阵。量矩阵。 即：即：P(t)=TMbGb 那么那么 nnnnPPnnPPPnnP 00001111!1010!1!0上述结果说明，曲线经过起点和终点。也就是说

15、上述结果说明，曲线经过起点和终点。也就是说 Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。终点重合。b b) 端点切矢量：端点切矢量：)()()1 ()!) 1(!)!1()1 ()!1() 1()!1()!1()1)()1 ()!( !)(1,1, 1)1()1()1(111,tBtBnttknknnttknknnttknttkknkntBnknkknkknkkknknknk 1 , 0)1()!( !)1()(, tttininttCtBiniiniinni对上面的表达式关于参数对上面的表达式关于参数t求导：求导：在起始点，在起始

16、点，t=0， 时，时，P(0)=n(P1-P0)，在终止点，在终止点，t=1， 时，时，P(1)=n(Pn-Pn-1)， niniiinnnnnnnininiitBPPntBPPtBPPtBPPntBtBPntP11, 111, 111, 1121,001101,1, 1)()()()()()()()()()()(1)0(1,0 nB1)1(1, 1 nnB 三次三次Bezier曲线段在起始点和终止点处的一阶导数为：曲线段在起始点和终止点处的一阶导数为：)(3)1()(3)0(2301PPpPPp 说明说明Bezier曲线在始点和终点处的切线方向与特曲线在始点和终点处的切线方向与特征多边形的第

17、一条边及最后一条边的走向一致征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致端点处切线长度等于特征多边形首、末边长的端点处切线长度等于特征多边形首、末边长的n倍。倍。工程上所使用的曲线一般次数不大于工程上所使用的曲线一般次数不大于3。 c）二阶导数）二阶导数上式表明：上式表明：2阶导矢只与相邻的阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，个顶点有关，事实上，r阶导矢只与阶导矢只与(r+1)个相邻点有关，与更远点无关。个相邻点有关，与更远点无关。 三次三次Bezier曲线段在起始点和终止点处的二阶导数为：曲线段在起始点和终止点处的二阶导数为：)()(1() 1 ()()(1()0(1120112nnnnPPP

18、PnnpPPPPnnp )2(6) 1 ()2(6)0(321210PPPpPPPp )()2()1()(2,1202tBPPPnntPniiinii 当当t=0时，时，当当t=1时，时，将将 、 及及 、 代入曲率式代入曲率式 ，可以得到可以得到Bezier曲线在端点的曲率分别为：曲线在端点的曲率分别为：)0(P)0(P)1(P)1(P3)()()()(tPtPtPtk 3011201)()(1)0(PPPPPPnnk 31121)()(1)1( nnnnnnPPPPPPnnkd）k阶导函数的差分表示阶导函数的差分表示n次次Bezier曲线的曲线的k阶导数可用差分公式为：阶导数可用差分公式为

19、： 其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定义：其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定义：例如：例如：1 , 0)()!(!)(0, ttBPknntPknikniikkikikikPPP111 iiPP 0iiiiiPPPPP 10101iiiiiiPPPPPP 1211122若保持原全部顶点的若保持原全部顶点的位置不变，只是把位置不变，只是把次序颠倒过来，即次序颠倒过来，即由控制顶点由控制顶点 构造出的新构造出的新Bezier曲线，曲线，与原与原Bezier曲线形状相同，走向相反。因为：曲线形状相同，走向相反。因为：这个性质说明这个性质说明Bezier曲线在起点处有什么几何性

20、质，在曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。终点处也有相同的性质。),.,1 , 0( ,*niPPini niniininininnininiinniittBPtBPtBPtBPtC0,0,00,*1 , 0),1()1()()()(*2）对称性）对称性3）凸包性）凸包性由于由于 ，且，且 ，这一结果说明当这一结果说明当t在在0，1区间变化时，对某一个区间变化时，对某一个t值，值，P(t)是特征多边形各顶点的加权平均，权因子依次是特征多边形各顶点的加权平均，权因子依次是是 。 ninitB0,1)(), 1 , 0, 10( 1)(0,nittBni )(,tBniP(t)是多

21、边形各顶点是多边形各顶点1，2，n的加权平均。的加权平均。0)1()!( !)(, knknkttknkntB1)1()1()!( !)(00, nknknknknkttttknkntB 在几何图形上有两重含义：在几何图形上有两重含义： Bezier曲线曲线P(t)随着其控制多边形的变化而变化随着其控制多边形的变化而变化Bezier曲线曲线P(t)在在 中，各点是控制点中，各点是控制点Pi的凸的凸线性组合，即曲线落在线性组合，即曲线落在Pi构成的凸包之中。构成的凸包之中。凸包是指包含所有顶点的最小凸多边形。凸包是指包含所有顶点的最小凸多边形。1 , 0 t图3.1.9 Bezier曲线的凸包性

22、凸包凸包凸包B 样条曲线样条曲线Bezier曲线的有缺点曲线的有缺点一是控制多边形的顶点个数决定了一是控制多边形的顶点个数决定了Bezier曲线曲线的阶次的阶次二是不能作局部修改二是不能作局部修改三是三是Bezier曲线的凸包性较强曲线的凸包性较强 四是四是Bezier曲线或曲面的拼接比较复杂曲线或曲面的拼接比较复杂1972年，年，Gordon、Riesenfeld等人发展了等人发展了1946年年Schoenberg提出的样条方法提出的样条方法 , 提出了提出了B B样条方法，在保留样条方法，在保留Bezier方法全部优点的方法全部优点的同时，克服了同时，克服了Bezier方法的弱点。方法的弱

23、点。1B样条曲线的数学表达式样条曲线的数学表达式 若给定若给定N=m+n+1个顶点，个顶点，则第则第i段段n次等距离分割的次等距离分割的B样条曲线函数为：样条曲线函数为： B样条的递推定义和性质样条的递推定义和性质 其中其中n表示表示B样条的次数，样条的次数，m为最大段号，为最大段号，t为节点，为节点，i为为B样条的段号。样条的段号。 是第是第i段曲线控制多边形的段曲线控制多边形的n+1个顶点个顶点(分段混合函数分段混合函数) )!( !1010)()1(!1)(01,jnjnCnltjlntCntFjnnlnjjnjnl ，nltFPtQninllini, 1 , 0)()(0, ), 1

24、, 0(nlPli B样条的递推定义和性质样条的递推定义和性质B样条曲线的方程定义为：样条曲线的方程定义为： 是控制多边形的顶点是控制多边形的顶点 Fi，k(t) (i=0，1，.，k) 称为称为k阶（阶（k-1次次)B样条基函数样条基函数 B样条基函数是一个称为节点矢量的非递减的参数样条基函数是一个称为节点矢量的非递减的参数t的序列所决定的的序列所决定的n阶分段多项式，也即为阶分段多项式，也即为k阶（阶（k-1次次)多项式样条。多项式样条。 nikiitFPtP0,)()(), 1 , 0(kiPi B样条有多种等价定义，在理论上较多地采用截尾幂函数的差商定义。样条有多种等价定义，在理论上较

25、多地采用截尾幂函数的差商定义。 de Boor-Cox递推定义递推定义并约定并约定 该递推公式表明：欲确定第该递推公式表明：欲确定第i个个k阶阶B样条样条Fi,k(t)，需要用到，需要用到ti,ti+1,.,ti+k共共k+1个节点，称区间个节点，称区间ti,ti+k为为Fi,k(t)的支承区间。曲线方程中，的支承区间。曲线方程中，n+1个控制顶个控制顶点点Pi(i=0,1,.,n)，要用到，要用到n+1个个k阶阶B样条样条Fi,k(t)。它们支撑区间的并集定。它们支撑区间的并集定义了这一组义了这一组B样条基的节点矢量样条基的节点矢量T=t0,t1,.,tn+k。 几个问题几个问题 Other

26、wisetxttFiii01)(11 ,)()()(1, 111,1,tFtttttFtttttFkiikikikiikiiki 000 knknnnkktttttttt ,11110B样条基函数样条基函数对于二次对于二次B样条，我们有样条，我们有 2212,22212,12212!2!32!2!32!3!3212023!212,01221221tFttFttttjtCFjjj 二次二次B样条可以写成如下形式：样条可以写成如下形式： 2121222 , 212 , 12 , 00110221211iiiiiiiPPPttPtFPtFPtFtP3） 三次三次B样条曲线样条曲线 对于三次对于三次B

27、样条曲线，样条曲线，n=3,k=0,1,2,3。特征。特征多边形只有多边形只有P0 P1 P2 P3四个控制点。四个控制点。有有 3613,323613,223613,123613,01333463133tFtttFttFtttF 所以有所以有 10014103030363133161132102333, 323, 213, 103, 0 tPPPPtttPtFPtFPtFPtFtPsisGTMtP )(1）局部控制）局部控制B样条的基函数是一个分段函数，其重要特征是样条的基函数是一个分段函数，其重要特征是在参数变化范围内，每个基函数在在参数变化范围内，每个基函数在tk到到tk+m的子区的子区间内函数值不为零，在其余区间内均为零间内函数值不为零，在其余区间内均为零，通常，通常也将该特征称为也将该特征称为局部控制。3B 样条曲线的性质样条曲线的性质k 阶阶B样条曲线上参数为样条曲线上参数为 的一点至多的一点至多与与k个控制顶点个控制顶点 有关，与其有关，与其它控制顶点无关；移动该曲线的第它控制顶点无关；移动该曲线的第i个控制顶点个控制顶点Pi至多影响到定义在区间至多影响到定义在区间 上那部分曲线上那部分曲线的形状，对曲线的其余