第2.1节条件概率、全概率公式与贝叶斯公式

1、一、条件概率一、条件概率二、全概率公式二、全概率公式三、贝叶斯公式三、贝叶斯公式第第2.12.1节节 条件概率条件概率 全概率公式全概率公式与贝叶斯公式与贝叶斯公式 将一枚硬币抛掷两次将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反观察其出现正反两方面的情况两方面的情况,设事件设事件 A为为 “至少有一次为正至少有一次为正面面”,事件事件B为为“两次掷出同一面两次掷出同一面”. 现在来求已现在来求已知事件知事件A 已经发生的条件下事件已经发生的条件下事件 B 发生的概率发生的概率.分析分析 , , , .HHHTTHTT .2142)( BP事件事件A 已经发生的条件下事件已经发生的条件下事件B 发生的概

2、率发生的概率,记为记为),(ABP31)( ABP则则).(BP 4341 )()(APABP . , 为反面为反面为正面为正面设设TH1. 引例引例一、条件概率一、条件概率,TTHHBTHHTHHA (,),()0,()(|)()(|).PBP BAP ABP A BP BP A BBA 设设是是一一个个概概率率空空间间且且则则对对任任意意的的记记称称为为在在事事件件发发生生的的条条件件下下事事2 2件件发发义义生生的的条条F FF FF F定定2 2. .1 1. .件件概概率率1 1 ABAB 说明说明 若事件若事件B已发生已发生,则为则为使使A也发生也发生,试验结果必须是既试验结果必须

3、是既在在B中又在中又在A中的样本点中的样本点,即此即此点必属于点必属于AB.由于我们已经知由于我们已经知道道B发生发生,故故B变成了新的样本变成了新的样本空间空间.);()()()( ) 3(212121BAAPBAPBAPBAAP ).(1)( )4(BAPBAP 则有则有件件是两两不相容的事是两两不相容的事设设可加可列性可加可列性, , , ,: )5(21BB11().iiiiPA BP A B3. 性质性质(1) :()0;P A B 负负非非性性 (|)1,(|)0PBPB 规规同同时时；(2)范(2)范性性 2)从加入条件后改变了的情况去算从加入条件后改变了的情况去算 4. 条件概

4、率的计算条件概率的计算1) 用定义计算用定义计算:,)()()|(BPABPBAPP(B)0 掷骰子掷骰子例：例：A=掷出掷出2点点， B=掷出偶数点掷出偶数点P(A|B）=31B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间所含样本点总数所含样本点总数在缩减样本空间在缩减样本空间中中A所含样本点所含样本点个数个数例例1 1 掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点,问问“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”的概率是多少的概率是多少? 解法解法1: )()()|(BPABPBAP解法解法2: 2163)|(BAP解解: 设设A=掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10

5、B=第一颗掷出第一颗掷出6点点应用定义应用定义在在B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间中计算中计算21366363121211211122()() ()() ().nnnnnP A AAP A P A AP A A AAP AA AA则则有有且且, 0)(121 nAAAP, 2,21 nnAAAn个个事事件件为为设设推推广广则则有有且且为为事事件件设设, 0)(, ABPCBA()( ) () ().P ABCP A P B A P C AB).()()(, 0)(APABPABPAP 则则有有设设5. 5. 乘法定理乘法定理例例2 一盒子装有一盒子装有4 只产品只产品,其中有其中有3

6、 只一等品只一等品,1只只二等品二等品.从中取产品两次从中取产品两次,每次任取一只每次任取一只,作不放回作不放回抽样抽样.设事件设事件A为为“第一次取到的是一等品第一次取到的是一等品” ,事件事件B 为为“第二次取到的是一等品第二次取到的是一等品”,试求条件概试求条件概 P(B|A).解解.4;3, 2, 1,号号为为二二等等品品为为一一等等品品将将产产品品编编号号则则试试验验的的样样本本空空间间为为号号产产品品第第号号第第二二次次分分别别取取到到第第表表示示第第一一次次以以,),(j、i、ji),3 , 4(),2 , 4(),1 , 4(, )4 , 2(),3 , 2(),1 , 2()

7、,4 , 1 (),3 , 1 (),2 , 1(),4 , 3(),2 , 3(),1 , 3(),4 , 2(),3 , 2(),1 , 2(),4 , 1(),3 , 1(),2 , 1( A),2 , 3(),1 , 3(),3 , 2(),1 , 2(),3 , 1(),2 , 1( AB由条件概率的公式得由条件概率的公式得)()()(APABPABP 129126 .32 例例3 某种动物由出生算起活某种动物由出生算起活20岁以上的概率为岁以上的概率为0.8, 活到活到25岁以上的概率为岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个如果现在有一个20岁的这种动物岁的这种动物, 问它能活到问

8、它能活到25岁以上的概率是岁以上的概率是多少多少? 设设 A 表示表示“ 能活能活 20 岁以上岁以上 ” 的事件的事件; B 表表示示 “ 能活能活 25 岁以上岁以上”的事件的事件,则有则有, 8 . 0)( AP因因为为.)()()(APABPABP , 4 . 0)( BP),()(BPABP .218 . 04 . 0 )()()(APABPABP 所所以以解解例例4 五个阄五个阄, 其中两个阄内写着其中两个阄内写着“有有”字字, 三个阄内不写字三个阄内不写字 , 五人依次抓取五人依次抓取,问各人抓到问各人抓到“有有”字阄的概率是否相字阄的概率是否相同同?解解. 5 , 4 , 3

9、, 2 , 1 i则有则有,52)(1 AP)()(22APAP)(112AAAP 抓阄是否与次序有关抓阄是否与次序有关? ,的的事事件件人人抓抓到到有有字字阄阄第第表表示示设设iAi33312121212()()()P AP AP A A AA AA AA A 12 31 2 312 31 2 3()()()()P A A AP A A AP A A AP A A A=+42534152 ,52 )()()()(121121AAPAPAAPAP )(2121AAAAP )()(2121AAPAAP )()()(213121AAAPAAPAP )()()(213121AAAPAAPAP 121

10、312() () ()0P AP AAP AA A+324253314253314352 ,52 依此类推依此类推.52)()(54 APAP故抓阄与次序无关故抓阄与次序无关.波利亚罐模波利亚罐模型型121( 652.,-pbrcnnnn n例例 ）罐罐中中有有只只黑黑球球, , 只只红红球球 每每次次自自袋袋中中任任取取一一只只球球 观观察察其其颜颜色色然然后后放放回回 并并再再放放入入 只只与与所所取取出出的的那那只只球球同同色色的的球球 若若在在袋袋中中连连续续取取球球次次 试试求求前前面面 次次摸摸出出黑黑球球，后后面面次次摸摸出出红红球球的的概概率率. .例例5 5 解解1(1,2,

11、)iAini设设为为事事件件第第 次次取取到到黑黑球球11(1,2, )jAjnnnj为为事事件件第第 次次取取到到红红球球因此所求概率为因此所求概率为11(1)22(1)bncbbcbcbr brc brcbrnc此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.121211211122()() ()() ().nnnnnP A AAP A P A AP A A AAP AA AA211(1)(1)(1)rncrrcbrn c brncbrnc 当当c=0时，对应有放回模型，当时，对应有放回模型，当c=-1时，对应不放时，对应不放回模型，此模型是一般摸球模

12、型回模型，此模型是一般摸球模型例例6 设某光学仪器厂制造的透镜设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时第一次落下时打破的概率为打破的概率为1/2,若第一次落下未打破若第一次落下未打破, 第二次落第二次落下打破的概率为下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破若前两次落下未打破, 第三第三次落下打破的概率为次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未试求透镜落下三次而未打破的概率打破的概率.解解以以B 表示事件表示事件“透镜落下三次而未打破透镜落下三次而未打破”.,321AAAB 因因为为)()(321AAAPBP 所所以以121312() () ()P A P A A P A A A)

13、211)(1071)(1091( .2003 ,)3 , 2 , 1(次次落落下下打打破破透透镜镜第第表表示示事事件件以以iiAi 1. 样本空间的分割样本空间的分割1A2A3A1nAnA二、全概率公式二、全概率公式121212,(1), ,1,2,;(2),.nijnnEA AAEA Aij i jnAAAA AA 定定义义设设为为试试验验 的的样样本本空空间间为为的的一一组组事事件件 若若，则则称称， 为为样样本本空空间间的的一一个个分分割割2. 全概率公全概率公式式全概率公式全概率公式1211221,),()(|) ()(|) ()(|) ()() (|)nnniiiPBA AAP BP

14、 B A P AP B A P AP B AP AP A P B A 设设( (为为一一概概率率空空间间, ,为为的的一一义义个个分分割割 则则F FF F定定ijA A 由由()()ijBABA 12()()()()nP BP BAP BAP BA证明证明12.nBABABA图示图示B1A2A3A1nAnA化整为零化整为零各个击破各个击破12()nBBBAAA 1122( )() (|)() (|)() (|)nnP BP A P B AP A P B AP A P B A说明说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题复杂事件的概率计

15、算问题,分解为若干个简单事件分解为若干个简单事件的概率计算问题的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终最后应用概率的可加性求出最终结果结果.B1A2A3A1nAnA例例7 有一批同一型号的产品有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生已知其中由一厂生产的占产的占 30% , 二厂生产的占二厂生产的占 50% , 三厂生产的占三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少少?设事件设事件 A 为为“任取一件为次品任取一件为次品”,. 3 , 2 , 1, i

16、iBi厂厂的的产产品品任任取取一一件件为为为为事事件件123,BBB 解解. 3 , 2 , 1, jiBBji由全概率公式得由全概率公式得, 2 . 0)(, 5 . 0)(, 3 . 0)(321 BPBPBP30%20%50%2%1%1%112233( )() ()() ()() ().P AP B P ABP B P ABP B P AB.013. 02 . 001. 05 . 001. 03 . 002. 0 ,01. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 BAPBAPBAP112233( )() ()() ()() ()P AP B P ABP B P ABP B P AB

17、故故例例8 8:送检的两批灯管在运输中各打碎一支，若每批送检的两批灯管在运输中各打碎一支，若每批10支，而第一批中有支，而第一批中有1支次品，第二批有两支次品，现支次品，第二批有两支次品，现在从剩下的灯管中任取一支，问抽得次品的概率是在从剩下的灯管中任取一支，问抽得次品的概率是多少？多少？ (,AAB解解解解法法一一）设设灯灯管管来来自自第第一一批批灯灯管管来来自自第第二二批批 ，任任取取一一支支，抽抽的的次次品品1911(|)01010910P B A 21822(|)10910910P B A 3( )( ) (|)( ) (|)20P BP A P B AP A P B A( )9 18

18、P A ( )9 18P A AAB考考虑虑打打碎碎的的是是次次品品还还是是正正品品两两种种情情形形：1234 (,AAAAB解解解解法法二二）设设两两批批打打碎碎的的都都是是次次品品两两批批打打碎碎的的分分别别是是次次品品、正正品品 ，两两批批打打碎碎的的分分别别是是正正品品、次次品品 ，两两批批打打碎碎的的都都是是正正品品 ，任任取取一一支支，抽抽的的次次品品1234281872(),(),(),()100100100100P AP AP AP A123122(|),(|),(|),181818P B AP B AP B A413()() (|)20iiiP BP A P B A43(|)

19、,18P B A1A2A3A4AB说明说明 由例由例8可以看出，同一个题目，都用到了可以看出，同一个题目，都用到了全全概率公式，但方法各异。主要原因是在对样本空概率公式，但方法各异。主要原因是在对样本空间进行了不同的分割，导致了同一题目，不同解间进行了不同的分割，导致了同一题目，不同解法的结果法的结果三、贝叶斯公式三、贝叶斯公式称此为称此为贝叶斯公式贝叶斯公式.贝叶斯资料贝叶斯资料121,),(|) ()(|),1,2, ,.(|) ()niiijjjPBA AAP B A P AP ABinP B A P A 设设( (为为一一概概率率空空间间, ,为为的的一一个个分分割割 则则义义定定F

20、FF F证明证明()(|) ()()( )( )iiiiP BAP B A P AP A BP BP B1,2, ,.in证毕证毕1() (|)() (|)iiiiiP A P B AP A P B A;,)1(.,05. 080. 015. 003. 001. 002. 0321:.概率概率求它是次品的求它是次品的元件元件在仓库中随机地取一只在仓库中随机地取一只无区别的标志无区别的标志且且仓库中是均匀混合的仓库中是均匀混合的设这三家工厂的产品在设这三家工厂的产品在提供元件的份额提供元件的份额次品率次品率元件制造厂元件制造厂的数据的数据根据以往的记录有以下根据以往的记录有以下件制造厂提供的件制

21、造厂提供的的元件是由三家元的元件是由三家元某电子设备制造厂所用某电子设备制造厂所用例例9.,)2(试求这些概率试求这些概率别是多少别是多少三家工厂生产的概率分三家工厂生产的概率分需求出此次品出由需求出此次品出由为分析此次品出自何厂为分析此次品出自何厂次品次品若已知取到的是若已知取到的是元件元件在仓库中随机地取一只在仓库中随机地取一只解解,取到的是一只次品取到的是一只次品表示表示设设 A.家家工工厂厂提提供供的的所所取取到到的的产产品品是是由由第第表表示示i)3 , 2 , 1( iBi,的一个划分的一个划分是样本空间是样本空间则则321BBB,05. 0)(,80. 0)(,15. 0)(32

22、1 BPBPBP且且.03. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 BAPBAPBAP(1) 由由全概率公式得全概率公式得)()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP .0125. 0 (2) 由由贝叶斯公式得贝叶斯公式得)()()()(111APBPBAPABP 0125. 015. 002. 0 .24. 0 ,64. 0)()()()(222 APBPBAPABP.12. 0)()()()(333 APBPBAPABP.2 家家工工厂厂的的可可能能性性最最大大故故这这只只次次品品来来自自第第?,.95,.55,98,概概率率是是多多少少机机器器调调整

23、整得得良良好好的的时时早早上上第第一一件件产产品品是是合合格格试试求求已已知知某某日日机机器器调调整整良良好好的的概概率率为为时时每每天天早早上上机机器器开开动动其其合合格格率率为为种种故故障障时时而而当当机机器器发发生生某某产产品品的的合合格格率率为为良良好好时时当当机机器器调调整整得得明明对对以以往往数数据据分分析析结结果果表表%解解.产产品品合合格格为为事事件件设设 A.机器调整良好机器调整良好为事件为事件B则有则有,55. 0)(,98. 0)( BAPBAP例例1010,05. 0)(,95. 0)( BPBP 由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公式得所求概率为)()()()()()(

24、)(BPBAPBPBAPBPBAPABP 05. 055. 095. 098. 095. 098. 0 .97. 0 .97. 0,整良好的概率为整良好的概率为此时机器调此时机器调是合格品时是合格品时即当生产出第一件产品即当生产出第一件产品上题中概率上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的是由以往的数据分析得到的, 叫叫做做先验概率先验概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做叫做后验概率后验概率.先验概率与后验概率先验概率与后验概率( 705,()0.95()0.90()0.0004,().pACP A CP A CP CP C A例例

25、 ） 假假定定用用血血清清甲甲胎胎球球蛋蛋白白法法诊诊断断癌癌症症，表表示示事事件件 试试验验反反应应为为阳阳性性以以表表示示事事件件 被被诊诊断断者者患患有有癌癌症症则则有有，设设自自然然人人群群患患癌癌的的概概率率试试求求例例1 10 0解解()0. 95,()1()0. 1,P A CP A CP A C=-=因为( )0.004,( )0.996,P CP C由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公式得所求概率为( ) ()()( ) ()( ) ()P C P A CP C AP C P A CP C P A C0.0038.即平均即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有个具有阳性反应的

26、人中大约只有38人人患有癌症患有癌症.说明说明 后验概率的大小受到先验概率大小的影响。后验概率的大小受到先验概率大小的影响。先验概率的取得可以通过以前的经验所得，或者先验概率的取得可以通过以前的经验所得，或者由有经验的专家给出。由有经验的专家给出。例例11(p72例例6）为了判断一个字母是）为了判断一个字母是C还是还是O，通常，通常采用先抽取它的某一个特征采用先抽取它的某一个特征X，然后再根据这些特，然后再根据这些特征作出判决征作出判决贝叶斯决策贝叶斯决策12,ACAO设设检检验验的的字字母母为为检检验验的的字字母母为为1212(),()(|)(|)P AP AP X AP X A为为这这两两

27、个个事事件件的的先先验验概概率率，经经过过试试验验测测定定与与由贝叶斯公式可得由贝叶斯公式可得21() (|)(|)() (|)iiiiiiP A P X AP AXP A P X A因此谁的后验概率大，谁发生的可能性就大因此谁的后验概率大，谁发生的可能性就大1.条件概率条件概率)()()(APABPABP 全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式小结小结1122( )() ()() ()() ()nnP AP B P ABP B P ABP B P AB1() ()(),1,2, .() ()iiinjjjP B P A BP B AinP BP A B()( ) ()P ABP A P B

28、 A乘法定理乘法定理.)()(,)(,)(,.,)(,)(大大比比一一般般来来说说中中基基本本事事件件数数中中基基本本事事件件数数中中基基本本事事件件数数中中基基本本事事件件数数则则用用古古典典概概率率公公式式发发生生的的概概率率计计算算中中表表示示在在缩缩小小的的样样本本空空间间而而的的概概率率发发生生计计算算中中表表示示在在样样本本空空间间ABPABPABABPABABPBABPABABPAA .)()( . 2的的区区别别与与积积事事件件概概率率条条件件概概率率ABPBAP贝叶斯资料贝叶斯资料Thomas BayesBorn: 1702 in London, EnglandDied: 1

29、7 April 1761 in Tunbridge Wells, Kent, England例例1 设袋中有设袋中有4只白球只白球, 2只红球只红球 , (1) 无放回随机无放回随机地抽取两次地抽取两次, 每次取一球每次取一球, 求在两次抽取中至多抽求在两次抽取中至多抽到一个红球的概率到一个红球的概率? (2) 若无放回的抽取若无放回的抽取 3次次, 每每次抽取一球次抽取一球, 求求 (a) 第一次是白球的情况下第一次是白球的情况下, 第二第二次与第三次均是白球的概率次与第三次均是白球的概率? (b) 第一次与第二第一次与第二次均是白球的情况下次均是白球的情况下 , 第三次是白球的概率第三次是白球的概率?备份题备份题解解.)1(21二二次次抽抽取取到到红红球球第第为为第第一一次次抽抽取取到到红红球球为为事事件件红红球球个