非正弦周期函数分解为傅里叶级数学习教案

1、会计学1非正弦周期函数分解为傅里叶级数非正弦周期函数分解为傅里叶级数第一页，编辑于星期三：四点 五十七分。)sin()cos( )2sin()2cos( )sin()cos(2)(11121211110tkbtkatbtatbtaatfkk二、傅里叶级数的两种形式1、第一种形式第1页/共35页第二页，编辑于星期三：四点 五十七分。TkdttktfTa01)cos()(22011)()cos()(1tdtktf系数的计算公式第2页/共35页第三页，编辑于星期三：四点 五十七分。TkdttktfTb01)sin()(22011)()sin()(1tdtktf第3页/共35页第四页，编辑于星期三：四

2、点 五十七分。)cos( )2cos( )cos(2)(12121110kkmmmtkAtAtAAtf2、第二种形式A0/2称为周期函数的恒定分量（或直流分量）；A1mcos(1t+1)称为1次谐波（或基波分量），其周期或频率与原周期函数相同；其他各项统称为高次谐波，即2次、3次、4次、第4页/共35页第五页，编辑于星期三：四点 五十七分。3、两种形式系数之间的关系第一种形式第二种形式A0=a022kkkmbaAak=Akmcoskbk=- Akmsink)arctan(kkkab第5页/共35页第六页，编辑于星期三：四点 五十七分。4、傅里叶分解式的数学、电气意义+-傅氏分解A0 /2u1u

3、2+-u(t)u(t)分解后的电源相当于无限个电压源串联对于电路分析应用的方法是叠加定理第6页/共35页第七页，编辑于星期三：四点 五十七分。三、f(t)的频谱傅里叶级数虽然详尽而又准确地表达了周期函数分解的结果，但不很直观。为了表示一个周期函数分解为傅氏级数后包含哪些频率分量以及各分量所占“比重”，用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率的高低顺序把它们依次排列起来，得到的图形称为f(t)的频谱。第7页/共35页第八页，编辑于星期三：四点 五十七分。1、幅度频谱各次谐波的振幅用相应线段依次排列。2、相位频谱把各次谐波的初相用相应线段依次排列。OAkmk14131211第8页/共35页第九

4、页，编辑于星期三：四点 五十七分。例：求周期性矩形信号的傅里叶级数展开式及其频谱Of(t)t1tEm-Em2T2T解：f(t)在第一个周期内的表达式为f(t) =Em-Em20Tt TtT2第9页/共35页第十页，编辑于星期三：四点 五十七分。根据公式计算系数0Of(t)t1tEm-Em2T2T第10页/共35页第十一页，编辑于星期三：四点 五十七分。2011)()cos()(1tdtktfakOf(t)t1tEm-Em2T2T )()cos()()cos(1211011tdtkEtdtkEmm011)()cos(2tdtkEm=0第11页/共35页第十二页，编辑于星期三：四点 五十七分。20

5、11)()sin()(1tdtktfbk )()sin()()sin(1211011tdtkEtdtkEmm011)()sin(2tdtkEm01)cos(12tkkEm)cos(1 2kkEm当k为偶数时：cos(k)=1bk=0当k为奇数时：cos(k)=0第12页/共35页第十三页，编辑于星期三：四点 五十七分。由此求得)5sin(51)3sin(31)sin(4)(111tttEmtf一次谐波第13页/共35页第十四页，编辑于星期三：四点 五十七分。)5sin(51)3sin(31)sin(4)(111tttEmtf三次谐波基波+三次谐波第14页/共35页第十五页，编辑于星期三：四点

6、五十七分。)5sin(51)3sin(31)sin(4)(111tttEmtfOf(t)Em-Em1t第15页/共35页第十六页，编辑于星期三：四点 五十七分。Of(t)Em-Em1t取到11次谐波时合成的曲线比较两个图可见，谐波项数取得越多，合成曲线就越接近于原来的波形。第16页/共35页第十七页，编辑于星期三：四点 五十七分。Of(t)t1tEm-Em2T2T)5sin(51)3sin(31)sin(4)(111tttEmtff(t) =Em-Em20Tt TtT2令Em=1，1t=/2f(t) =1第17页/共35页第十八页，编辑于星期三：四点 五十七分。)5sin(51)3sin(31

7、)sin(4)(111tttEmtf7151311471513114正如计算e 的值! 212nxxxenx令x=1得!1! 2111nef(t) = 1=第18页/共35页第十九页，编辑于星期三：四点 五十七分。矩形信号f(t)的频谱)5sin(51)3sin(31)sin(4)(111tttEmtfOAkmk17151311第19页/共35页第二十页，编辑于星期三：四点 五十七分。3、频谱与非正弦信号特征的关系波形越接近正弦波，谐波成分越少；波形突变点越小，频谱变化越大。f(t)=10cos(314t+30)OAkmk11第20页/共35页第二十一页，编辑于星期三：四点 五十七分。1、偶函

8、数f(t)=f(-t) 纵轴对称的性质f(t)Otf(t)Ot四、非正弦函数波形特征与展开式的系数之间的关系第21页/共35页第二十二页，编辑于星期三：四点 五十七分。可以证明：bk=01、偶函数纵轴对称的性质f(t) = f(-t)展开式中只含有余弦项分量和直流分量第22页/共35页第二十三页，编辑于星期三：四点 五十七分。=0第23页/共35页第二十四页，编辑于星期三：四点 五十七分。f(t) = -f(-t)原点对称的性质f(t)Otf(t)Ot2、奇函数第24页/共35页第二十五页，编辑于星期三：四点 五十七分。可以证明：ak=0原点对称的性质f(t) = -f(-t)2、奇函数展开式

9、中只含有正弦项分量第25页/共35页第二十六页，编辑于星期三：四点 五十七分。f(t)=-f(t+T/2)镜对称的性质Of(t)tT2T3、奇谐波函数第26页/共35页第二十七页，编辑于星期三：四点 五十七分。镜对称的性质f(t) = - f(t+T/2)3、奇谐波函数可以证明：a2k =b2k =0f(t)=展开式中只含有奇次谐波分量第27页/共35页第二十八页，编辑于星期三：四点 五十七分。f(t)Ot判断下面波形的展开式特点f(t)是奇函数展开式中只含有正弦分量f(t)又是奇谐波函数展开式中只含有奇次谐波f(t)=第28页/共35页第二十九页，编辑于星期三：四点 五十七分。系数Akm与计

10、时起点无关（但k是有关的），这是因为构成非正弦周期函数的各次谐波的振幅以及各次谐波对该函数波形的相对位置总是一定的，并不会因计时起点的变动而变动；因此，计时起点的变动只能使各次谐波的初相作相应地改变。由于系数ak和bk与初相k有关，所以它们也随计时起点的改变而改变。4、系数和计时起点的关系（1）第29页/共35页第三十页，编辑于星期三：四点 五十七分。由于系数ak和bk与计时起点的选择有关，所以函数是否为奇函数或偶函数可能与计时起点的选择有关。但是，函数是否为奇谐波函数却与计时起点无关。因此适当选择计时起点有时会使函数的分解简化。4、系数和计时起点的关系（2）第30页/共35页第三十一页，编辑于星期三：四点 五十七分。例：已知某信号半周期的波形，在下列不同条件下画出整个周期的波形Of(t)t1、只含有余弦分量2、只含有正弦分量3、只含有奇次谐波分量第31页/共35页第三十二页，编辑于星期三：四点 五十七分。Of(t)t1、只含有余弦分量f(t