时间序列分析

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1、监测数据的时间序列分监测数据的时间序列分析方法简介析方法简介冯国双冯国双主要内容主要内容p1、时间序列简介、时间序列简介p2、常用时间序列分析、常用时间序列分析模型模型p3、平稳时间序列分析、平稳时间序列分析p4、非平稳时间序列分析、非平稳时间序列分析p5、季节性时间序列分析、季节性时间序列分析p6、多元时间序列的分布滞后模型多元时间序列的分布滞后模型p7、干预时间序列分析、干预时间序列分析时间序列时间序列p从统计学上讲,时间序列就是将某一指标在不同时间从统计学上讲,时间序列就是将某一指标在不同时间上的不同数值,按时间的先后顺序排列而成的数列。上的不同数值,按时间的先后顺序排列而成的数列。月份

2、月份手足口报告发病率手足口报告发病率1月0.782月0.763月6.144月24.715月53.776月67.737月47.268月19.379月15.2810月9.8811月9.1112月3.96年年 份份国内生产总值国内生产总值(亿元亿元)19901991199219931994199519961997199818547.921617.826638.134634.446759.458478.167884.674772.479552.8p时间序列的分类:时间序列的分类:p1、平稳时间序列、平稳时间序列p2、非平稳时间序列:、非平稳时间序列:p(1)确定性趋势)确定性趋势p(2)随机趋势)随机

3、趋势时间序列时间序列p1、平稳时间序列、平稳时间序列p各时间点的各时间点的均值、方差均值、方差为一常数为一常数p任意两个时间点的任意两个时间点的协方差协方差相等相等p根据均值根据均值、方差为常数的性质,平稳序列的时序、方差为常数的性质,平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动,而且波动的波动,而且波动的范围无范围无明显趋势及无季节性特明显趋势及无季节性特征征时间序列时间序列时间序列时间序列p2、非平稳时间序列、非平稳时间序列p(1)确定性趋势)确定性趋势p关于时间关于时间t的一种确定的趋势的一种确定的趋势p(2)随机趋势)随机趋势p

4、可能只是方差变动造成的非平稳趋势可能只是方差变动造成的非平稳趋势p2、非平稳时间序列、非平稳时间序列p确定性趋势中,对趋势的偏离是纯随机的确定性趋势中,对趋势的偏离是纯随机的p随机性趋势中,随机成分影响着其长期变动随机性趋势中,随机成分影响着其长期变动时间序列时间序列时间序列分析时间序列分析时间序列时间序列平稳性平稳性检验检验平稳性平稳性时间序列时间序列非平稳性非平稳性时间序列时间序列纯随机纯随机性检验性检验白噪声序列白噪声序列(纯随机序列纯随机序列)平稳非白噪声序列平稳非白噪声序列无规律可循,无规律可循,分析结束分析结束ARMA模型模型1.确定性分析确定性分析2.随机性分析(随机性分析(AR

5、IMA模型)模型)p平稳性检验方法:平稳性检验方法:p(1)时序图:)时序图:p均值均值、方差方差不变不变平稳时间序列分析平稳时间序列分析p(2)自相关图)自相关图(ACF)和偏自相关图和偏自相关图(PACF):p自相关函数反映了当前序列与滞后自相关函数反映了当前序列与滞后k阶序列的相阶序列的相关性,如关性,如Yt与与Yt-1 、Yt-2的相关性的相关性p偏自相关是校正中间的序列偏自相关是校正中间的序列后后,当前,当前序列与滞后序列与滞后k阶序列的相关性阶序列的相关性,如,如Yt与与Yt-3 的偏相关性,相当的偏相关性,相当于校正了于校正了Yt-1 、Yt-2的影响的影响平稳时间序列分析平稳时

6、间序列分析p(2)自相关图和偏自相关图:)自相关图和偏自相关图:p平稳序列通常具有短期相关性平稳序列通常具有短期相关性。p随着延迟期数的增加,平稳序列的自相关系数会很快地衰随着延迟期数的增加,平稳序列的自相关系数会很快地衰减向零减向零。若时间序列的自相关函数若时间序列的自相关函数在延迟期数在延迟期数k3时都落入时都落入置信置信区间内,区间内,且逐渐趋于零,则该时间序列且逐渐趋于零,则该时间序列具有平稳性;具有平稳性;若时间序列的自相关函数更多地落在置信区间外面,若时间序列的自相关函数更多地落在置信区间外面,则该时间序列就不具有平稳性则该时间序列就不具有平稳性。平稳时间序列分析平稳时间序列分析平

7、稳时间序列分析平稳时间序列分析p自自相关图:相关图:平稳时间序列分析平稳时间序列分析p(3)单位根检验)单位根检验p随机过程随机过程p非平稳过程非平稳过程平稳时间序列分析平稳时间序列分析p对于序列对于序列p如果如果=1=1,为非平稳序列,为非平稳序列p在左右两侧同时减去在左右两侧同时减去 ,p如果如果=0=0,则判定,则判定Yt为非平稳为非平稳平稳时间序列分析平稳时间序列分析p常用的单位根检验方法:常用的单位根检验方法:pADF(augmented Dickey-Fuller)检验检验p如果序列平稳,则:如果序列平稳,则:p如果序列非平稳,则如果序列非平稳,则p ,等价于,等价于=0=0平稳时

8、间序列分析平稳时间序列分析pADF(augmented Dickey-Fuller)检验)检验p原假设为:原假设为:pH0: =0=0,即存在一个单位根,或者说时间序列是非,即存在一个单位根,或者说时间序列是非平稳的平稳的p对立假设为:对立假设为:pH1: 00,即时间序列是平稳的,或者有可能有一个即时间序列是平稳的,或者有可能有一个确定的趋势确定的趋势平稳时间序列分析平稳时间序列分析pADF检验主要有三种类型的检验:检验主要有三种类型的检验:平稳时间序列分析平稳时间序列分析p纯随机性检验:纯随机性检验:p也称白噪声(也称白噪声(white noise)检验)检验p检验序列是否为纯随机序列检验

9、序列是否为纯随机序列p纯纯随机序列意味着没有任何值得提取的信息,因而没有任随机序列意味着没有任何值得提取的信息,因而没有任何分析的价值,只有非随机序列才进行后续的分析何分析的价值,只有非随机序列才进行后续的分析pBartlett证明,如果一个序列是纯随机的,则该序列的延证明,如果一个序列是纯随机的,则该序列的延迟非零期的样本自相关系数近似服从均值为迟非零期的样本自相关系数近似服从均值为0、方差为序、方差为序列观察期数倒数的正态分布列观察期数倒数的正态分布平稳时间序列分析平稳时间序列分析p纯纯随机性序列随机性序列平稳时间序列分析平稳时间序列分析p纯随机性检验:纯随机性检验:p纯随机性的纯随机性的

10、检验检验常用常用Box和和Ljung推导的推导的LB统计量:统计量:p式中,式中,n为序列观测期数;为序列观测期数;m为指定延迟期数。为指定延迟期数。p原假设为:序列相互独立,即纯随机序列原假设为:序列相互独立,即纯随机序列p对立假设为:延迟期数小于或等于对立假设为:延迟期数小于或等于m期的序列之间有相关期的序列之间有相关性,即非纯随机序列性,即非纯随机序列p当当P=0.05,拒绝纯随机性的假设,认为序列非纯随机,拒绝纯随机性的假设,认为序列非纯随机mkkknnnLB12)2(平稳时间序列分析平稳时间序列分析p纯随机性检验通常只检验短期的延迟的统计量即可,因为纯随机性检验通常只检验短期的延迟的

11、统计量即可,因为平稳序列具有短期相关性,如果序列存在相关关系,通常平稳序列具有短期相关性,如果序列存在相关关系,通常只存在与短期序列值之间。只存在与短期序列值之间。p因此,如果一个平稳序列显示出短期相关性,则该序列一因此,如果一个平稳序列显示出短期相关性,则该序列一定不是白噪声(纯随机)序列。定不是白噪声(纯随机)序列。p例如,观察了例如,观察了120个月的序列值,通常只检验短期延迟即个月的序列值,通常只检验短期延迟即可,如延迟可,如延迟6阶、阶、12阶等。无需对所有的延迟阶等。无需对所有的延迟119阶进行检阶进行检验。验。p例例1:某医院:某医院1-54周的病例数序列周的病例数序列平稳时间序

12、列分析平稳时间序列分析weekcases112122117731293412555115061210713188123091339101341111235121327平稳时间序列分析平稳时间序列分析p平稳性检验平稳性检验pproc arima;pidentify var=y stationarity=(adf=3);prun;单位根检验,单位根检验,指定指定3阶的检验阶的检验指定分析变量指定分析变量p平稳性检验:时序图平稳性检验:时序图平稳时间序列分析平稳时间序列分析p平稳性检验:自平稳性检验:自相关图与偏自相关图相关图与偏自相关图p延迟延迟2阶后,自相关系数全部落入阶后,自相关系数全部落入2

13、倍标准差范围倍标准差范围之内之内平稳时间序列分析平稳时间序列分析平稳时间序列分析平稳时间序列分析p平稳性检验平稳性检验:单位根检验:单位根检验p在滞后在滞后1阶处阶处P0.05,提示为具有非零均值的平稳序列,提示为具有非零均值的平稳序列,而且具有而且具有1阶自相关阶自相关p随机性随机性检验检验:p序列延迟序列延迟6阶、阶、12阶后阶后,P值均小于值均小于0.05,因而我们有因而我们有很大的很大的把握认为把握认为该序列为该序列为非非随机序列。随机序列。平稳时间序列分析平稳时间序列分析p平稳性和随机性检验结果提示:平稳性和随机性检验结果提示:p该序列不仅可以视为平稳的,而且还蕴含着值得该序列不仅可

14、以视为平稳的,而且还蕴含着值得我们提取的相关信息我们提取的相关信息。p因而因而可可通过通过建立模型来拟合该序列的发展,以期建立模型来拟合该序列的发展,以期对对该序列该序列提取提取出有用的信息。出有用的信息。平稳时间序列分析平稳时间序列分析p平稳时间序列分析的常用模型:平稳时间序列分析的常用模型:pARMA模型(模型(Auto Regression Moving Average model,自回归滑动平均模型)是最常用的拟合平稳,自回归滑动平均模型)是最常用的拟合平稳时间序列的模型时间序列的模型。p它它主要有三种类型主要有三种类型:pAR模型(模型(Auto Regression model,自

15、回归模型,自回归模型)pMA模型(模型(Moving Average model,移动平均模型,移动平均模型)pARMA模型模型平稳时间序列分析平稳时间序列分析p(1)对于时间序列)对于时间序列xt,AR模型具有如下结构模型具有如下结构:p该模型表示,该模型表示,t时刻的观察值与前时刻的观察值与前p个时刻的观察值个时刻的观察值呈线性呈线性关系关系。由于是与自身历史数据的回归,故称为自回归,与。由于是与自身历史数据的回归,故称为自回归,与前前p个时刻的观察值的回归称为个时刻的观察值的回归称为p阶自回归,记为阶自回归,记为AR(p)。p模型中序列模型中序列t表示不能由前表示不能由前k个时刻的观察值

16、所解释的部分个时刻的观察值所解释的部分,是回归模型的残差,称为残差序列,又称白噪声,是回归模型的残差,称为残差序列,又称白噪声(white noise)序列。并假定:序列。并假定:t作为随机序列,在不同时刻互不作为随机序列,在不同时刻互不关联,关联,t与前时刻的时序观察值不相关。与前时刻的时序观察值不相关。平稳时间序列分析平稳时间序列分析tptptttxxxx2211p(2)对于时间序列对于时间序列xt,MA模型具有如下结构:模型具有如下结构:p其中其中,ut表示随机扰动序列,又称白噪声序列,它们是表示随机扰动序列,又称白噪声序列,它们是独立且均服从正态分布独立且均服从正态分布。p该该模型表示

17、序列模型表示序列xt在在t时刻的取值与前时刻的取值与前q个个时刻的观察值时刻的观察值无关,但跟前无关,但跟前q个个随机随机误差项呈误差项呈线性关系,线性关系,等同于一个常等同于一个常数项加上现在和过去误差项的一个移动平均值,因此数项加上现在和过去误差项的一个移动平均值,因此称为称为q阶阶移动移动平均平均模型,记为模型,记为MA(q)。平稳时间序列分析平稳时间序列分析qtqttttuuuux2211p(3)对于时间序列)对于时间序列xt,如果在,如果在AR模型中,残差序列模型中,残差序列et不不符合随机性,或存在自相关性,则可以用符合随机性,或存在自相关性,则可以用ARMA模型来描模型来描述,即

18、述,即:p模型中,等式右边实际上是模型中,等式右边实际上是AR模型与模型与MA模型的组合,称模型的组合,称为为p阶自回归阶自回归-q阶滑动平均模型,记为阶滑动平均模型,记为ARMA(p,q)。平稳时间序列分析平稳时间序列分析qtqttttptptttuuuuxxxx22112211平平稳稳非非白白噪噪声声序序列列计计算算样样本本相相关关系系数数模型模型识别识别参数参数估计估计模型模型检验检验模模型型优优化化序序列列预预测测YN平稳时间序列分析平稳时间序列分析ARMA模型的分析步骤:模型的分析步骤:p模型识别模型识别p也称为模型定阶,这一过程主要是根据自相关系数和也称为模型定阶,这一过程主要是根

19、据自相关系数和偏自相关系数确定偏自相关系数确定ARMA(p,q)中的自相关阶数中的自相关阶数p和移动和移动平均阶数平均阶数q。其基本原则为:。其基本原则为:平稳时间序列分析平稳时间序列分析模型模型自相关系数自相关系数偏自相关系数偏自相关系数AR(p)拖尾拖尾P阶截尾阶截尾MA(q)q阶截尾阶截尾拖尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾拖尾拖尾p截尾:截尾:如果样本如果样本(偏偏)自相关系数在最初的自相关系数在最初的d阶明显大于两阶明显大于两倍标准差范围倍标准差范围,而后几乎,而后几乎95的自相关系数都落在的自相关系数都落在2倍标倍标准差的范围以内准差的范围以内,而且通常由非零自相关系数衰减为小值而且

20、通常由非零自相关系数衰减为小值波动的过程非常突然波动的过程非常突然。这时,。这时,通常视为通常视为(偏偏)自相关系数截自相关系数截尾。截尾阶数为尾。截尾阶数为d。p拖拖尾:如果有超过尾:如果有超过5%的样本相关系数落入的样本相关系数落入2倍标准差范围倍标准差范围之外,或者由显著非零的相关系数衰减为小值的波动过程之外,或者由显著非零的相关系数衰减为小值的波动过程比较缓慢或非常连续,通常视为非截尾。比较缓慢或非常连续,通常视为非截尾。平稳时间序列分析平稳时间序列分析p自自相关系数相关系数 偏自相关系数偏自相关系数p自相关系数拖尾,偏自相关系数截尾,可考虑自相关系数拖尾,偏自相关系数截尾,可考虑AR

21、(1)平稳时间序列分析平稳时间序列分析p自自相关系数截尾,偏自相关系数拖尾,可考虑相关系数截尾,偏自相关系数拖尾,可考虑MA(1)平稳时间序列分析平稳时间序列分析p模型识别模型识别p如果图形难以判断,可采用评价指标选择:如果图形难以判断,可采用评价指标选择:pAIC(Akaike Information Criterion)pSBC( Schwartz Bayesian Criterion )pBIC( Bayesian Information Criterion)p判断判断准则:准则:p指标指标值值越小,表示模型拟合越优越小,表示模型拟合越优平稳时间序列分析平稳时间序列分析p模型模型检验检验

22、p一个好的拟合模型应该能够提取观察值序列中几乎所有的一个好的拟合模型应该能够提取观察值序列中几乎所有的样本相关信息样本相关信息,即残差序列应该为白噪声序列,即残差序列应该为白噪声序列p原假设:残差序列为白噪声序列原假设:残差序列为白噪声序列p备择假设备择假设:残差序列为非白噪声序列残差序列为非白噪声序列平稳时间序列分析平稳时间序列分析平稳时间序列分析平稳时间序列分析p模型识别模型识别pproc arima;pidentify var=y minic p=(0:3) q=(0:3);prun;指定指定p和和q在在0-3阶之间选择阶之间选择要求给出要求给出p和和q 9种组合的最小种组合的最小评价指

23、标值评价指标值p例例1(续):模型识别(续):模型识别 自相关图自相关图 偏自相关图偏自相关图平稳时间序列分析平稳时间序列分析p例例1(续):模型(续):模型识别识别p提示可选择提示可选择AR(1)模型模型平稳时间序列分析平稳时间序列分析平稳时间序列分析平稳时间序列分析p模型估计与检验模型估计与检验pproc arima;pidentify var=y minic p=(0:3) q=(0:3);pestimate p=1;prun;指定估计指定估计AR(1)模型模型pAR(1)模型参数估计及检验模型参数估计及检验平稳时间序列分析平稳时间序列分析平稳时间序列分析平稳时间序列分析p残差检验:残差

24、检验:滞后滞后6阶、阶、12阶、阶、18阶后,残差均无统计学意义,提阶后,残差均无统计学意义,提示拟合效果较好示拟合效果较好平稳时间序列分析平稳时间序列分析pAR(1)模型的残差分布模型的残差分布p模型预测模型预测pproc arima plots=forecast(all);pidentify var=y minic p=(0:3) q=(0:3);pestimate p=1;pforecast lead=6;prun;平稳时间序列分析平稳时间序列分析绘制预测图,绘制预测图,包含原序列和包含原序列和预测序列预测序列指定预测的期指定预测的期数,预测以后数,预测以后的的6个个周周p模型预测模型预

25、测平稳时间序列分析平稳时间序列分析p常用模型:常用模型:ARIMA(autoregressive integrated moving average),简记为),简记为ARIMA(p,d,q)pp、q含义同含义同ARMA(p,q)pd表示表示d阶差分阶差分p例如,经例如,经1阶差分后序列变得平稳,可拟合阶差分后序列变得平稳,可拟合ARIMA(p,1,q)模型模型p一阶差分一阶差分p二阶差分二阶差分p非非平稳时间序列分析平稳时间序列分析 xt xt xt 1 xt xt xt 2ARIMA模型建模步骤模型建模步骤观观察察值值序序列列差分差分运算运算Y平稳性平稳性检验检验NY分分析析结结束束白噪声白噪声检验检验N拟合拟合ARMA模型模型非平稳时间序列分析非平稳时间序列分析p例例2:某市:某市1990-2013年某病发病率年某病发病率非平稳时间序列非平稳时间序列分析分析日期发病率199010.7264199111.15063199211.73654199312.50964199412.82414199512.52792199611.89887199711.02243199810.60895199911.8274200011.43883非平稳时间序列分析非平稳时间序

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