吉林大学流体力学3

1、描述液体运动的两种方法描述液体运动的两种方法1.1.拉格朗日法拉格朗日法 2.2.欧拉法欧拉法 是着眼于整个流场不同位置上的流体质点的流是着眼于整个流场不同位置上的流体质点的流动参数随时间的变化。它不关心个别质点的运动历动参数随时间的变化。它不关心个别质点的运动历程，而是研究经过每个空间点处，流体质点运动参程，而是研究经过每个空间点处，流体质点运动参数随时间数随时间t t的变化情况，因此又称流场法。的变化情况，因此又称流场法。xzyO M （a，b，c）（t0）（x，y，z）t( , , , )( , , , )( , , , )xx a b c tyy a b c tzz a b c t为某

2、一质点的运动轨迹线方程。为某一质点的运动轨迹线方程。若给定若给定a a，b b，c c，则，则( , , , )( , , , )( , , , )xyzxx a b c tuttyy a b c tuttzz a b c tutt液体质点在任意时刻的速度。液体质点在任意时刻的速度。(对速度求导可得到质点加速度的表达式）对速度求导可得到质点加速度的表达式）(a,b ,c,t)被称为拉格朗日变数被称为拉格朗日变数xzyO M （x，y，z）t时刻它着眼于研究表征流场内它着眼于研究表征流场内流体运动特性的各种物理流体运动特性的各种物理量的矢量场和标量场，如量的矢量场和标量场，如速度场、压强场、密度

3、场速度场、压强场、密度场等，并将这些物理量表示等，并将这些物理量表示为坐标和时间的函数。为坐标和时间的函数。ttztytxtzyxttztytxtzyxttztytxtzyxzzzyyyxxx),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(如速度场：如速度场： ),(tzyxpp 压强场：压强场：),(tzyx密度场：密度场： tdtdzzdtdyydtdxxdtdaxxxxxx加速度的加速度的x方向分量为方向分量为zyxdtdzdtdydtdx,由于由于zyxtazyxtazyxtazzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx则则 应当注意到的是：速度是坐标和时间

4、的函数，同时应当注意到的是：速度是坐标和时间的函数，同时 运动质点的坐标也是随时间变化的，即坐标运动质点的坐标也是随时间变化的，即坐标 x,y,z x,y,z 本身也是时间的函数，因此用欧拉法表示某质点的本身也是时间的函数，因此用欧拉法表示某质点的 加速度实际上是一个对复合函数求导的问题，必须加速度实际上是一个对复合函数求导的问题，必须 按照复合函数求导法则进行求导。按照复合函数求导法则进行求导。a如用加速度矢量如用加速度矢量和速度矢量和速度矢量来表示，则有来表示，则有)(takzjyix式中：式中： ijkxyz分别为分别为坐标轴上的单位矢量。坐标轴上的单位矢量。加速度组成加速度组成t )(

5、当地加速度当地加速度 迁移加速度迁移加速度 哈米尔顿算子哈米尔顿算子用欧拉方法求流体质点其他物理量时间变化率的一般式子为用欧拉方法求流体质点其他物理量时间变化率的一般式子为NtNdtdN)(dtdt ）（ 式中：式中：全导数全导数当地导数当地导数迁移导数迁移导数)(tdtd例如对密度例如对密度例：已知平面流场速度分布为：例：已知平面流场速度分布为： 求流场中加速度的表达式及在原点处的表达式。求流场中加速度的表达式及在原点处的表达式。yxtvx2ytxvy 2解解zyxtazyxtazyxtazzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxxzyxtazyxtazyxtazzzyzxzzyzyyy

6、xyyxzxyxxxx则则25222txytxtyxtxax23222tytytxyxtyay000yxa3.2 3.2 流动分类流动分类1 1 按流体性质：理想流体的流动和粘性流体的流动按流体性质：理想流体的流动和粘性流体的流动 ； 不可压缩流体的流动和可压缩流体的流动等；不可压缩流体的流动和可压缩流体的流动等；2 2 按运动状态：定常流动和非定常流动；按运动状态：定常流动和非定常流动； 有旋流动和无旋流动；有旋流动和无旋流动； 层流流动和紊流流动；层流流动和紊流流动； 亚声速流动和超声速流动等；亚声速流动和超声速流动等；3 3按照流动空间的坐标变量数目：一维流动；按照流动空间的坐标变量数目

7、：一维流动； 二维流动；二维流动； 三维流动。三维流动。 定常流动速度表达式定常流动速度表达式),(),(),(zyxzyxppzyx3.2.2 3.2.2 一维流动、二维流动与三维流动一维流动、二维流动与三维流动一维流动：一维流动： 流动参数是一个坐标的函数；流动参数是一个坐标的函数；二维流动：二维流动： 流动参数是两个坐标的函数；流动参数是两个坐标的函数；三维流动：三维流动： 流动参数是三个坐标的函数。流动参数是三个坐标的函数。对于工程实际问题，在满足精度要求的情况下，将对于工程实际问题，在满足精度要求的情况下，将三维流动三维流动简化为二维、甚至一维流动简化为二维、甚至一维流动可以使得求解

8、过程尽可能简化。可以使得求解过程尽可能简化。 三维流动三维流动二维流动二维流动二维流动二维流动一维流动一维流动在不可压缩流体中在不可压缩流体中流线皆为平行直线的流动流线皆为平行直线的流动为均匀流。为均匀流。不满足均匀流条件的流动就是非均匀流。不满足均匀流条件的流动就是非均匀流。 均匀流具有下列性质：均匀流具有下列性质：1）各质点的流速相互平行，）各质点的流速相互平行，有效断面为一平面有效断面为一平面；2）位于）位于同一流线上的各个质点速度相等同一流线上的各个质点速度相等；3）沿流程各）沿流程各有效断面上流速分布相同有效断面上流速分布相同，但同一有效，但同一有效断面上各点的流速并不相等；断面上各

9、点的流速并不相等；4）各质点的）各质点的迁移加速度皆为零迁移加速度皆为零，如流动是均匀的、如流动是均匀的、定常流动，那么各质点的加速度为零定常流动，那么各质点的加速度为零；5）有效断面上压强分布规律与静止流体相同；有效断面上压强分布规律与静止流体相同；特别地，对于重力场中不可压缩流体，过流断面上满足特别地，对于重力场中不可压缩流体，过流断面上满足cgpzOOdndApp+dp积分得：积分得：11CgPZ）（zdzz 22CgPZ）（在均匀流，与流线正交的在均匀流，与流线正交的n n方向上无加速度，所以有方向上无加速度，所以有0nF即：即：0cos)(gdAdndAdpppdA0 gdzdpCg

10、pz详细论证请参看教材详细论证请参看教材P643.2.4 缓变流和急变流缓变流和急变流流线不是严格平行，但流线之间夹角很小，或流线的曲率流线不是严格平行，但流线之间夹角很小，或流线的曲率半径很大，或两者皆有，这种流动称为缓变流，其有效断面半径很大，或两者皆有，这种流动称为缓变流，其有效断面称为缓变流断面。称为缓变流断面。那种流线不平行，加速度较大的流动称为急变流。那种流线不平行，加速度较大的流动称为急变流。在缓变流断面上可以认为流线近似平行，有效断面为一平面，在缓变流断面上可以认为流线近似平行，有效断面为一平面，压强分布近似与静止流体相同。压强分布近似与静止流体相同。（即也近似满足：（即也近似

11、满足： 条件是：质量力只有重力，不可压缩流体）条件是：质量力只有重力，不可压缩流体） CgpZ均匀流、急变流和缓变流均匀流、急变流和缓变流均匀流均匀流急变流急变流缓变流缓变流急变流急变流均匀流、急变流和缓变流均匀流、急变流和缓变流3.3 3.3 用欧拉法描述流体运动的基本概念用欧拉法描述流体运动的基本概念 3.3.1 流线流线 3.3.2 3.3.2 流管、流束、和有效断面流管、流束、和有效断面3.3.3 3.3.3 流量流量3.3.4 3.3.4 平均流速平均流速 3.3.1 3.3.1 迹线和流线迹线和流线迹线迹线是指某液体质点在运动过程中，不同时刻所流是指某液体质点在运动过程中，不同时刻

12、所流经的空间点所连成的线。（拉格朗日法描述流体的概念）经的空间点所连成的线。（拉格朗日法描述流体的概念） 流线流线流场中的瞬时光滑曲线，曲线上各点的切线方向流场中的瞬时光滑曲线，曲线上各点的切线方向与该点的瞬时速度方向一致与该点的瞬时速度方向一致.流线与迹线流线与迹线),(),(),(tzyxdtzyxdtzyxdzzyyxxxyxytgddyyxyddzzyyxxddd推广到三维空间推广到三维空间流线微分方程流线微分方程流线微分方程流线微分方程流线微分方程流线微分方程由流线定义可推出流线的微分方程：空间点的速度与流线相由流线定义可推出流线的微分方程：空间点的速度与流线相切，即空间点的速度矢量

13、切，即空间点的速度矢量 与流线上微元弧矢量与流线上微元弧矢量 的矢的矢量积为零量积为零 。 即：即： 所以：所以： 0 sdvvsd0)()(kdxvdyvjdzvdxvidyvdzvkdzjdyidxkvjvivsdvyxxzzyzyx000dxvdyvdzvdxvdyvdzvyxxzzy即：即：zyxvdzvdyvdx流线微分方程流线微分方程（1 1）定常流动中流线不随时间变化，而且流体质点的）定常流动中流线不随时间变化，而且流体质点的轨迹与流线重合。轨迹与流线重合。（2 2）实际流场中除）实际流场中除驻点驻点或或奇点奇点外，流线不能相交，不外，流线不能相交，不能突然转折。（速度为能突然转

14、折。（速度为0 0的点称为驻点，速度为无穷大的点称为驻点，速度为无穷大的点称为奇点，奇点是一种抽象的理论模型。）的点称为奇点，奇点是一种抽象的理论模型。）流线的性质流线的性质解：解：流线方程流线方程tydytxdx例：已知平面非定常流的流速例：已知平面非定常流的流速 分量是：分量是：txvxtyvy求：流线与迹线方程求：流线与迹线方程若若t为常量，积分可得流线方程为常量，积分可得流线方程其中其中t为变量，积分可得迹线方程为变量，积分可得迹线方程Ctytx迹线微分方程迹线微分方程dttydytxdx11tBeytAextt3.3.23.3.2 流管、流束、和有效断面流管、流束、和有效断面流管流管

15、：在流场中任意取出一个有流体从中通过的封闭曲线，：在流场中任意取出一个有流体从中通过的封闭曲线， 过封闭曲线上的每个点作适当长度的流线，这无数流过封闭曲线上的每个点作适当长度的流线，这无数流 线围成一个线围成一个管状假想表面管状假想表面，称为，称为流管流管。流束流束：流管内部的全部流体称为：流管内部的全部流体称为流束流束。总流总流：如果封闭曲线取在管道内壁周线上，则流束就是充满管如果封闭曲线取在管道内壁周线上，则流束就是充满管 道内部的全部流体，称为道内部的全部流体，称为总流总流微元流束微元流束：如果封闭曲线取得极小，甚至缩为一点，则极限近：如果封闭曲线取得极小，甚至缩为一点，则极限近 于一条

16、流线的流束叫作于一条流线的流束叫作微元流束微元流束。有效断面有效断面：截取流管或流束的端面，使它与流束上各点的速度：截取流管或流束的端面，使它与流束上各点的速度 方向互相垂直，这种与速度方向互相垂直的端面称方向互相垂直，这种与速度方向互相垂直的端面称 为为有效断面有效断面或过流断面或过流断面。流管、微元流束、总流和有效断面流管、微元流束、总流和有效断面流管流管由流线构成的一个由流线构成的一个封闭的、假象的管状曲面封闭的、假象的管状曲面dA微元流束微元流束dA取得很小，取得很小，甚至接近于一点。甚至接近于一点。总流总流如果封闭曲线取在如果封闭曲线取在管道内壁周线上，则流束就管道内壁周线上，则流束

17、就是充满管道内部的全部流体，是充满管道内部的全部流体，称为总流，它是由无数多个称为总流，它是由无数多个微元流束组成。微元流束组成。有效断面有效断面与微与微小流束或总流的流小流束或总流的流线成正交的横断面线成正交的横断面 有效断面的有效断面的形状形状可以可以是平面也可以是曲面。是平面也可以是曲面。流束流束流管内部全流管内部全部液体称为流束。部液体称为流束。Example3.3.3 3.3.3 流量流量流量流量单位时间内通过某一有效断面的液体体积、单位时间内通过某一有效断面的液体体积、质量分别称为该有效断面的体积流量、质量流量，常质量分别称为该有效断面的体积流量、质量流量，常用单位分别为用单位分别

18、为m m3 3/ /s s、kg/skg/s，以符号，以符号q qv v、q qm m表示。表示。vdAmdqvdAAmvdAq质量流量为：质量流量为：AVvdAq体积流量为：体积流量为：VdqvdA在工程计算中，为了简化问题而引入的概念。所谓在工程计算中，为了简化问题而引入的概念。所谓平均流速是指流经有效断面的体积流量与断面有效平均流速是指流经有效断面的体积流量与断面有效面积之商，即面积之商，即3.3.4 3.3.4 平均流速平均流速qVA1A222AqVv11AqVv21VV 思考题思考题1、什么是流线、迹线？它们有何区别？、什么是流线、迹线？它们有何区别？2、在什么流动中，流线与迹线重合

19、。、在什么流动中，流线与迹线重合。 3、定常流动是、定常流动是（ ） A、流动随时间按一定规律变化；、流动随时间按一定规律变化； B、流场中任意空间点的运动要素不随时间变化；、流场中任意空间点的运动要素不随时间变化；C、各过流断面的速度分布相同；、各过流断面的速度分布相同； D、各过流断面的压强相同。、各过流断面的压强相同。 4、下面各项不符合均匀流特性的有、下面各项不符合均匀流特性的有（ ） A、各质点的流速相互平行，有效断面为一平面；、各质点的流速相互平行，有效断面为一平面；B、同一有效断面上各点的流速相等；、同一有效断面上各点的流速相等；C、同一流线上的各个质点速度相等、同一流线上的各个

20、质点速度相等 ； D、有效断面上压强分布规律与静止流体相同。、有效断面上压强分布规律与静止流体相同。E、各质点的迁移加速度皆为零、各质点的迁移加速度皆为零 3.4 3.4 系统与控制体系统与控制体 系统系统：一：一团确定的流体质点的集合团确定的流体质点的集合 。 系统的边界面在流体系统的边界面在流体的运动过程中不断发生变化。的运动过程中不断发生变化。 控制体：在研究流体流动时选定的一固定不变的空间体积控制体：在研究流体流动时选定的一固定不变的空间体积。它是为了研究问题方便而取定的。边界面它是为了研究问题方便而取定的。边界面S S称为称为控制面。控制面。 输运公式输运公式（不要求）（不要求）Ad

21、vdVtdtdNCVCS系统内部的系统内部的N的时间变化率等于控制体内的的时间变化率等于控制体内的N的时间变化率加上的时间变化率加上单位时间内通过控制面单位时间内通过控制面N的净通量。的净通量。单位质量流体所具有的这种物理量单位质量流体所具有的这种物理量。 对定常流动来说：对定常流动来说：0CVdVt输运公式变为：输运公式变为：）流流入入（流流出出AdvdtdNCS2211AVAV21VVqq 壶口瀑布是我国著名的第二大瀑布。两百多米宽的黄河河面，壶口瀑布是我国著名的第二大瀑布。两百多米宽的黄河河面，突然紧缩为突然紧缩为5050米左右，跌入米左右，跌入3030多米的壶形峡谷。入壶之水，奔多米的

22、壶形峡谷。入壶之水，奔腾咆哮，势如奔马，浪声震天，声闻十里。腾咆哮，势如奔马，浪声震天，声闻十里。 “黄河之水天上来黄河之水天上来”之惊心动魄的景观。之惊心动魄的景观。 即：即：3.6 3.6 实际不可压缩流体的运动微分方程式实际不可压缩流体的运动微分方程式纳维纳维- -斯托克斯（斯托克斯（N-SN-S）方程）方程zyxtdtdzpfzyxtdtdypfzyxtdtdxpfzzzyzxzzzzyzyyyxyyyyxzxyxxxxxx111222左端：第一项为真实质量力项；左端：第一项为真实质量力项； 如果是理想流体，如果是理想流体，0公式左端的第三项为零，为理想流体运动公式左端的第三项为零，为

23、理想流体运动微分方程或通称欧拉运动方程式。微分方程或通称欧拉运动方程式。如果是平衡流体，相对于坐标系来说如果是平衡流体，相对于坐标系来说0 公式公式左端的第三项及右端均为零，左端的第三项及右端均为零，即可转化为欧拉平衡方程式。即可转化为欧拉平衡方程式。第二顶为平均压强项；第二顶为平均压强项；第三顶为粘性力项；第三顶为粘性力项；右端：为惯性力项。右端：为惯性力项。dtdvzzpzdtdvyypydtdvxxpxzyxafafaf1113.8 伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其应用zyxtdtdzpfzyxtdtdypfzyxtdtdxpfzzzyzxzzzzyzyyyxyyyyxzxyxxxx

24、xx111222由纳维由纳维-斯托克斯方程：斯托克斯方程：得：得：理想流体运动微分方程的理想流体运动微分方程的综合表达式综合表达式dtdvzzpzdtdvyypydtdvxxpxzyxafafaf111dzdzdzfdydydyfdxdxdxfdtdvzpzdtdvypydtdvxpxzyx111三式相加得：三式相加得：dzdydxdzdydxdzfdyfdxfdtdvdtdvdtdvzpypxpzyxzyx)(12 2理想流体微元流束伯努利方程理想流体微元流束伯努利方程几点假设：几点假设： gfffzyx, 00，4、不可压缩流体。、不可压缩流体。1、质量力只有重力；、质量力只有重力；2、定

25、常流动；、定常流动；dpdzdydxzpypxp3、在流线上；、在流线上；Cdzdydxdtdvdtdvdtdvzyx221dvdvvdvvdvvzzyyxx3、应用条件、应用条件 1）质量力只有重力；）质量力只有重力； 2）定常流；）定常流； 3）沿流线；）沿流线； 4）c 利方程利方程理想流体微元流束伯努理想流体微元流束伯努czgvgp22积分得：积分得：022212gdvgdpdpdzdvgdz方程变为：方程变为：伯努利方程的物理意义及几何意义伯努利方程的物理意义及几何意义2211221222pupuZZgggg001Z2Z12位置水头位置水头压强水头压强水头流速水头流速水头测压管水头测

26、压管水头总水头总水头单位位能单位位能单位压能单位压能单位动能单位动能单位势能单位势能单位总机械能单位总机械能表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，微小流束内不同过表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，微小流束内不同过水断面上，单位重量液体所具有的机械能保持相等（守恒）。水断面上，单位重量液体所具有的机械能保持相等（守恒）。理想流体伯努利方程实质上就是能量转换与守恒定律在流体力理想流体伯努利方程实质上就是能量转换与守恒定律在流体力学中的具体表达式。学中的具体表达式。3.8.2 3.8.2 伯努利方程在工程实际中的应用伯努利方程在工程实际中的应用1皮托管：测河水流速：皮托管：测河水流速：h1应用理

27、想流体微元流束伯努利方程，取应用理想流体微元流束伯努利方程，取A点和点和B点列伯点列伯努利方程：努利方程：解：解：h1gvgpzgvgpz2222222111取基准在流线上，取基准在流线上， z1=z2=0，则，则122022ghpvgvgpgvgpABBBAAghvhhgpB2)(12. 用水银比压计与皮托管相联，测定管径用水银比压计与皮托管相联，测定管径D=100mm的管轴的管轴线上水的速度线上水的速度u。当。当 时，流量是多少？时，流量是多少？mmh6012解：以解：以O-O轴线为基准，列轴线为基准，列1，2两点伯努利方程两点伯努利方程gPgugP221212得得)(212PPu确定压强

28、差：确定压强差：2211PghhgghPHghgppHg12带入得：带入得：smhguHG/85. 32皮托皮托- -静压管静压管静压管包围着皮托管，静压管包围着皮托管，在驻点之后适当距离在驻点之后适当距离的外壁上沿圆周转几的外壁上沿圆周转几个小孔，称为静压孔，个小孔，称为静压孔，将静压孔的通路和皮将静压孔的通路和皮托管的通路分别连接托管的通路分别连接于差压计的两端，差于差压计的两端，差压计给出总压和静压压计给出总压和静压的差值。的差值。1. 实际液体恒定流微小流束的能量方程式实际液体恒定流微小流束的能量方程式2211221222pupuZZggggwhwh单位重量液体从单位重量液体从1 1点

29、到点到2 2点所损失的能量，称为点所损失的能量，称为水头损失。水头损失。001Z2Z12wh3.10 粘性流体总流的伯努利方程粘性流体总流的伯努利方程2.实际不可压缩粘性液体恒定总流的能量方程式实际不可压缩粘性液体恒定总流的能量方程式 将构成总流的所有微小流束的能量方程式叠加起来，将构成总流的所有微小流束的能量方程式叠加起来，即为总流的能量方程式。即为总流的能量方程式。22112212()()22wQQpupuZgdQZhgdQgggg22112212()()22wQQQQQpupuZgdQgdQZgdQgdQhgdQgggg()QpZgdQg均匀流或渐变流过水断面上()pZCg()QpZg

30、dQg()pZgQg22QugdQgdQudA32Agu dAg33Au dAV A动能修正系数,1.051.132gV Ag22VgQgwQhgdQ取平均的hwwQhgdQwhgQ11()pZgQg2112VgQg22()pZgQg2222VgQgwhgQVu，2211 12221222wpVpVZZhgggg粘性流体总流的伯努利方程使用条件粘性流体总流的伯努利方程使用条件1.质量力只有重力；质量力只有重力；2.定常流动定常流动3.断面必须是均匀流断面或缓变流断面，（中间可以断面必须是均匀流断面或缓变流断面，（中间可以有急变流断面）。有急变流断面）。4.不可压缩流体。不可压缩流体。3.粘性流

31、体总流的伯努利方程的意义粘性流体总流的伯努利方程的意义（物理意义和几何意义）（物理意义和几何意义）几何意义几何意义-总流水头线总流水头线物理意义物理意义-流体在流动过程中势能、动能、压能可以相互转流体在流动过程中势能、动能、压能可以相互转换并伴有能量损失（换并伴有能量损失（克服粘性阻力所做的功克服粘性阻力所做的功 热能热能）。）。原则：实际总水头线总原则：实际总水头线总是逐渐降低的。是逐渐降低的。2.串联管路水头线的绘制串联管路水头线的绘制1.水头线绘制；水头线绘制；总水头线的绘制总水头线的绘制总水头损失包括沿程损失和局部损失。沿程损失是沿流体流动总水头损失包括沿程损失和局部损失。沿程损失是沿

32、流体流动路程都有的损失，它正比于管路长度和流体速度的平方。局部路程都有的损失，它正比于管路长度和流体速度的平方。局部损失出现在管路急变或局部装置处（一次性的损失）。损失出现在管路急变或局部装置处（一次性的损失）。测压管水头线测压管水头线管径相同测压管水头线管径相同测压管水头线斜率相等。斜率相等。总水头线总水头线流速水头流速水头总水头总水头淹没出流情况淹没出流情况问题问题问题问题：水平放置的渐扩管如图所示，如忽略水头损失，断：水平放置的渐扩管如图所示，如忽略水头损失，断面形心点的压强有以下关系：面形心点的压强有以下关系： A.P1P2； B.P1=P2 ； C.P1P2； D.不定。不定。 判断

33、：判断：运动水流的测压管水头线可以沿程上升，也可以沿运动水流的测压管水头线可以沿程上升，也可以沿程下降。程下降。 C 问题问题：实际流体在等直管道中流动，在过流断面：实际流体在等直管道中流动，在过流断面1，2上上有有A，B，C点，则下面关系式成立的是：点，则下面关系式成立的是：A.BBAApzpz B. CCAApzpzC.CCBBpzpz D. CCAApzpzB 1.无粘性流体流动的总水头线为水平线；无粘性流体流动的总水头线为水平线； 2.粘性流体流动的总水头线恒为下降曲线；粘性流体流动的总水头线恒为下降曲线；3.测压管水头线可升、可降、可水平。测压管水头线可升、可降、可水平。4.总水头线

34、和测压管水头线之间的距离为相应段的速度水头。总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段的速度水头。WgVgpgVgphzez2221222221113、有能量输入（输出）的伯努利方程、有能量输入（输出）的伯努利方程e：单位重量流体输入（：单位重量流体输入（+）或输出（）或输出（-）的能量。）的能量。流体流经水泵或风机等能将机械能转换成流体液压能的装置流体流经水泵或风机等能将机械能转换成流体液压能的装置将获得能量，此时将获得能量，此时e取正值；取正值；流体流经液压马达或水轮机等能将液体液压能转换为机械能流体流经液压马达或水轮机等能将液体液压能转换为机械能的装置将失去能量，此时的装置将失去能量，此时

35、e取负值。取负值。应用伯努力方程注意事项应用伯努力方程注意事项1、选已知量多的断面、选已知量多的断面（1）宽大自由面）宽大自由面V=0,p=0,z往往已知；往往已知；（2）管路通大气的出口；）管路通大气的出口；（3）选设有测压装置的断面。）选设有测压装置的断面。2、基准、基准z可任选，以方便为准。可任选，以方便为准。3、压强基准应统一，建议用计示压强、压强基准应统一，建议用计示压强4、管路流动、管路流动 =15、用法定单位：、用法定单位：m、kg、s等等文丘里管，多用于管道中流量的测量，它由收缩段和扩张文丘里管，多用于管道中流量的测量，它由收缩段和扩张段组成，两段接合处称为喉部。段组成，两段接

36、合处称为喉部。zh12h已知：已知： D D，d, d, h h，1 1，求：流量求：流量h在在1、2断面列伯努利方程，断面列伯努利方程，以较低断面为基准。以较低断面为基准。hggzppghzhgpghhp）（121121)()( （2）将（将（2 2）代入（）代入（1 1）整理得：）整理得：求求 p1、p2 间的压强关系：间的压强关系： gVgpzgVgp22222211（1）gVVh221221（3）zh12h22214,4dqVDqVvvvqAVAV2211根据连续性方程有：根据连续性方程有：即：即：带入（带入（3）整理得：）整理得：.假如已知条件中加入流量系数假如已知条件中加入流量系数

37、C Cq q，则流量为：则流量为：理理实实vqvqCqzh12h若是将管水平放置，则若是将管水平放置，则U U形管中水银柱高度差是形管中水银柱高度差是否改变否改变, ,为什么？为什么？注意到：对同一文丘里流量计，流量不变时，因对应段面积注意到：对同一文丘里流量计，流量不变时，因对应段面积不变，因此，对应位置速度不变。不变，因此，对应位置速度不变。思考题思考题取取1-1，2-2断面列伯努利方程（忽略损失）：断面列伯努利方程（忽略损失）：gVgpzgVgpz2222222111移相整理得：移相整理得：（考虑到对应段速度相等）（考虑到对应段速度相等）CzzgppgVV）（212121222倾斜放置时

38、：倾斜放置时：，hgzpp)(21带入，得带入，得hzzgppgVV）（212121222zzz21(a)水平放置时：水平放置时：，hpp)(2121zz带入，得带入，得hzzgppgVV）（212121222(b)综合综合(a)、(b)两式，有：两式，有：hhhh文丘里管流量计文丘里管流量计U形管中水银柱高度差与放置角度无关。形管中水银柱高度差与放置角度无关。3、虹吸管、虹吸管如图所示水池中放置虹吸管，已知虹吸管的管径远小于如图所示水池中放置虹吸管，已知虹吸管的管径远小于水池直径，水池直径，A、B点水位高度差为点水位高度差为h, 求流量。求流量。ghdqghVV24222gVgpzgVgpz

39、2222222111取取1-1,2-2断面列伯努利方程：断面列伯努利方程：gVh2000022解：解：4 4、集流器、集流器已知：已知： 求求 。 D、hVqD解：列解：列1、2断面的伯努利方程：断面的伯努利方程：gVgpzgVgpz2222222111已知：已知：000111Vpz，02z集流管内的气体各点压强相同，有：集流管内的气体各点压强相同，有：02ghpghp2带入整理得：带入整理得：gVgh2022ghV22所以，流量为：所以，流量为：ghDghDAVqV222241D原题：原题：1.实际流体伯努利方程的物理意义；实际流体伯努利方程的物理意义； 2.用伯努利方程证明用伯努利方程证明

40、B截面有真空度；截面有真空度； 3.当流量增加时，当流量增加时，h如何变化？如何变化？D解：解：1（略）（略）2.选选A、B断面列伯努利方程：断面列伯努利方程：gVgpzgVgpzBBBAAA2222即：即：gVgpBB202022BBVp因此，因此，B截面存在真空度。截面存在真空度。3.因为流量和因为流量和h 存在如下关系为：存在如下关系为：ghAghAAVqV222所以，所以， hqVlz4. 用一虹吸管将水从水库引入灌渠，设虹吸管越过坝顶用一虹吸管将水从水库引入灌渠，设虹吸管越过坝顶时，最高截面的垂直高度时，最高截面的垂直高度z=6m，出口截面低于水库中，出口截面低于水库中水面的距离水面

41、的距离l=3m,若每小时需要引水若每小时需要引水100m3,求虹吸管的求虹吸管的直径直径d,判断虹吸管是否能正常吸水。判断虹吸管是否能正常吸水。lz123123解解: (1)列列1、2断面的伯努利方程：断面的伯努利方程：gVgpzgVgpz2222222111以以2截面为基准面，得：截面为基准面，得：gVl222smglV/67. 722224VdVAqV又：又：mVqdV0679. 067. 714. 33600100442有：有：对于等截面管道、不可压缩流体对于等截面管道、不可压缩流体(2)以以2截面为基准面，截面为基准面，列列2、3断面的伯努利方程：断面的伯努利方程：03gzpgVgpz

42、gVgpz2223332222因此：因此：gVgpzgV222332203gpzlz123123所以：所以：最高点截面存在真空度，可以吸水。最高点截面存在真空度，可以吸水。2、应用总流的伯努利方程时，两截面之间、应用总流的伯努利方程时，两截面之间_ 。 (A) 必须都是急变流必须都是急变流 (B) 必须都是缓变流必须都是缓变流 (C) 不能出现急变流不能出现急变流 (D) 可以出现急变流可以出现急变流 3、伯努利方程中，压强标准可任意选取，可采用相对压强、伯努利方程中，压强标准可任意选取，可采用相对压强也可采用绝对压强。对同一问题亦可采用不同标准。也可采用绝对压强。对同一问题亦可采用不同标准。

43、1、在总流的伯努利方程中的速度、在总流的伯努利方程中的速度v是是_速度。速度。 (A) 某点某点 (B) 截面平均截面平均 (C) 截面形心处截面形心处 (D) 截面上最大截面上最大 QuestionsBD错错3.9 3.9 沿流线主法线方向压强和速度的变化沿流线主法线方向压强和速度的变化1. 1. 速度：速度：rC在弯曲流线主法线方向上，速度随距曲率中心距离的减小而在弯曲流线主法线方向上，速度随距曲率中心距离的减小而增加，所以在弯曲管道中，内侧的速度高，外侧的速度低增加，所以在弯曲管道中，内侧的速度高，外侧的速度低 。2 压强压强在弯曲流线主法线方向上压强随距曲率在弯曲流线主法线方向上压强随

44、距曲率中心的距离的增加而增加，所以在弯曲中心的距离的增加而增加，所以在弯曲管道中的流动，内侧的压强小，外侧的管道中的流动，内侧的压强小，外侧的压强大。压强大。 在直线流动条件下，沿垂直于流线方向的在直线流动条件下，沿垂直于流线方向的压强分布服从于静力学基本方程式。压强分布服从于静力学基本方程式。gpzgpz2211详细证明见教材详细证明见教材P83843.11 动量方程与动量矩方程动量方程与动量矩方程引述：引述：连续方程、伯努利方程可以解决诸如流量、流速、过流断连续方程、伯努利方程可以解决诸如流量、流速、过流断面面积、压强等实际问题。但工程上往往还需要计算流体面面积、压强等实际问题。但工程上往

45、往还需要计算流体与固体的相互作用力，这就需要动量定理。与固体的相互作用力，这就需要动量定理。动量定理动量定理我们知道，运动着的物体是具有动量的。动量用我们知道，运动着的物体是具有动量的。动量用 表示表示,是一个矢量。对物体施加外力会造成物体动量的改变。是一个矢量。对物体施加外力会造成物体动量的改变。vm动量定理：作用在研究物体上全部外力的矢量和等于物体动动量定理：作用在研究物体上全部外力的矢量和等于物体动量的变化率，即：量的变化率，即：,tvmFdtvmdFt时，时，当当0动量定理是一个普遍适用的表达式，流体自然也遵循这样动量定理是一个普遍适用的表达式，流体自然也遵循这样的定律，但由于流体自身

46、特殊的物理属性，我们需要针对的定律，但由于流体自身特殊的物理属性，我们需要针对流体的更为具体的表达式。流体的更为具体的表达式。3.11.2 一元不可压缩流体定常流动量方程式一元不可压缩流体定常流动量方程式依据动量方程：依据动量方程：,tvmF 11 2221 2 1)(KKKKvm动量变化：动量变化：0 时刻，动量时刻，动量K1-2 t时刻，动量时刻，动量K1 -2 K2-2K2-2 ：tt时刻由时刻由2 2面流出流面流出流体具有的动量；体具有的动量；K1-1K1-1 ： tt时刻由时刻由1 1面流入流面流入流体具有的动量。体具有的动量。F12111222)(AAvdAvtvdAvtvmtdA

47、vdm11v1t11221122t时刻t+t时刻dA1v1v2dA211dmu dtdA因此因此,动量方程可表示为：动量方程可表示为：12121112221112220)(lim)(AAAAtvdAvvdAvtvdAvvdAvtdtvmdF以过流断面平均流速表示以过流断面平均流速表示)(111222VAVVAVF12一元不可压缩流体、定常流动量方程式一元不可压缩流体、定常流动量方程式)(11112222VAVVAVFVVAvvdAA称为动量修正系数称为动量修正系数（一般管道流动中（一般管道流动中 取取1）对于定常流动来说：对于定常流动来说：1122AVAVqv动量方程可表示为：动量方程可表示为

48、：)(12VVqFV写成分量形式：写成分量形式：)()()(121212zzVzyyVyxxVxVVqFVVqFVVqF动量方程的应用动量方程的应用1、在计算中只涉及到管道中某两个截面上的流动参数，而不、在计算中只涉及到管道中某两个截面上的流动参数，而不必考虑控制体内部的流动状态；必考虑控制体内部的流动状态；2、动量方程是一个矢量方程，所以应用其投影方程比较方便，、动量方程是一个矢量方程，所以应用其投影方程比较方便，合理地选择坐标系往往会使问题得到简化；合理地选择坐标系往往会使问题得到简化；3、使用时要合理的选择控制体；、使用时要合理的选择控制体；4、完整地表达出作用在系统上的外力，注意流动方

49、向和投影、完整地表达出作用在系统上的外力，注意流动方向和投影的正负；的正负；5、应用动量方程进行计算时，可忽略：、应用动量方程进行计算时，可忽略：1、重力；、重力；2、摩擦力；、摩擦力；3、大气压；、大气压；v解：选取图中坐标方向、分离体。解：选取图中坐标方向、分离体。设壁面对流体的作用力为设壁面对流体的作用力为R，如图，如图所示。所示。应用动量方程：应用动量方程：)(12XXVXVVqF其中：其中：，带入得：，带入得：，（方向向左），（方向向左），VVVRFXXXX120RXyxVVqRVqRvxvx0RF冲冲所以射流冲击力：所以射流冲击力：VdxyXR1Vq2Vq射流冲击在与水平面成射流冲

50、击在与水平面成 的壁面上，已知：的壁面上，已知：，dV求求 1.射流冲击力射流冲击力; 2.各为多少？各为多少？和和21VVqq选如图所示分离体，坐标系。设壁面对流体的作用力为选如图所示分离体，坐标系。设壁面对流体的作用力为RX，RY，有有RY =0。，带带入入得得：，其其中中：VdqVVVRFVXXXX4sin0212应用动量方程：应用动量方程：)(12XXVXVVqFsin4)(2212VdVVqRXXVXsin422VdRX射流冲击力：射流冲击力：XXRF2.在在0-0，1-1断面上列伯努利断面上列伯努利方程：方程：00221111,VqV22,VqVVqgVgV200200212VVV

51、V21;同同理理：可可得得，沿沿Y方向列动量方程：方向列动量方程：212211Y0cos)VVVaVqVqVqFVVV，（化简为：化简为：) 1.(cos21aqqqVVV联立连续方程：联立连续方程：)2.(21VVVqqqVVVVqaqqaq2cos12cos121图示：射流冲击叶片。图示：射流冲击叶片。，密密度度，流流出出角角，流流量量已已知知：速速度度VqV求：射流冲击力，并讨论当求：射流冲击力，并讨论当 取何值时，射流冲击力最大。取何值时，射流冲击力最大。解：取图中所示的分离体，坐标系。解：取图中所示的分离体，坐标系。设叶片对射流的作用力为设叶片对射流的作用力为R，方向如，方向如图，沿

52、图，沿X向列动量方程：向列动量方程：)(12XXVXVVqFRFX1VyV2VxR由前例题知由前例题知:V21VVcos180Vcos2VVX）（V1XV带入动量方程，得：带入动量方程，得：）cos1 ( VqRV射流冲击力射流冲击力F与与R大小相等，方向相反。大小相等，方向相反。2.讨论：当讨论：当 射流冲击力最大。射流冲击力最大。时时，180uVqV，已知：密度为已知：密度为 的液流冲击小车，液流速度为的液流冲击小车，液流速度为V，流量为，流量为qV,小车以速度小车以速度u向前行驶，求液流对小车的冲击力。向前行驶，求液流对小车的冲击力。若将参照系选在地面，则流动非定常流动。若将参照系选在地

53、面，则流动非定常流动。这是一个相对运动的问题。为保证流动为定常流，应将坐标这是一个相对运动的问题。为保证流动为定常流，应将坐标系选在运动体上，即选在小车上。此时，可假象小车不动，系选在运动体上，即选在小车上。此时，可假象小车不动，液流以速度液流以速度 冲击小车。冲击小车。 uVVr思考：此时液流相对小车的流量是否是思考：此时液流相对小车的流量是否是qv?Vrq设相对流量为设相对流量为AVqV而：而：AVqrVr则则：VrVrqVVq所以有：所以有：R设小车对对液流的作用力为设小车对对液流的作用力为R,列列X方向的动量方程。方向的动量方程。xy)(12XXVXVVqF)(0uVqVuVRV即：即

54、：VqVuVR2）（RF所以射流冲击力：所以射流冲击力：有相对运动的射流冲击力问题有相对运动的射流冲击力问题1.针对相对运动的问题，应将参照坐标系选在运动体上；针对相对运动的问题，应将参照坐标系选在运动体上；2.相对运动要有相对流量；相对运动要有相对流量；如图：小车在外力作用下，以匀速如图：小车在外力作用下，以匀速u向左行进。密度向左行进。密度为为 的液流以速度以速度的液流以速度以速度v(向右），流量向右），流量 冲击冲击小车，求外力小车，求外力F所做的功率。所做的功率。VqFVqV，u解，将参照系选在小车上，解，将参照系选在小车上，选择如图分离体。设小车对选择如图分离体。设小车对液流的作用力

55、为液流的作用力为R.沿沿x方向列动量方程：方向列动量方程：)(12XXVXVVqFu，带入得，带入得，其中：其中：RFVVuqVVuVVrXX; 021)sin)(0(VuqVVuRVsin2VqVVuR）（ 则液流对小车的冲击力：则液流对小车的冲击力：RF以小车为研究对象，小车受到液流的作用力以小车为研究对象，小车受到液流的作用力 可分解可分解 为水为水平力平力 和铅垂力和铅垂力 ；FHFVF；与与地地面面的的支支持持力力相相平平衡衡相相平平衡衡，与与驱驱动动力力VHFFFsinFFFuP所以外力所做的功：所以外力所做的功：FHFVFu 例题例题22如图所示液流流经不等径弯管如图所示液流流经

56、不等径弯管, ,130PqdDV，角角度度为为，已已知知：，求弯管所受的力。求弯管所受的力。DdP1qV解：取如图所示坐标系，选解：取如图所示坐标系，选分离体，设弯管对液流的作分离体，设弯管对液流的作用力如图所示，则用力如图所示，则P230cos2211ApRApFxx2221224430sindqVDqVRApFvvyy，在在1-1，2-2断面列伯努利方程：（忽略重力、摩擦力）断面列伯努利方程：（忽略重力、摩擦力）gVgpgVgp222222112p带入动量方程的分量形式：带入动量方程的分量形式：)(12XXVXVVqF)30cos(30cos122211VVqApRApVx.XR)(12Y

57、YVYVVqF)030sin(30sin222VqRApVyYYXXRFRF力力因此，弯管所受的作用因此，弯管所受的作用.YR求图示弯头受力（直角弯头）求图示弯头受力（直角弯头），已已知知：Vddd32111AP22AP取图示分离体，分离体内液体受力分别为弯管对液体的作取图示分离体，分离体内液体受力分别为弯管对液体的作用力用力2211APAPRRYX，均未知。均未知。，目前，目前，2121PPVV11AP22AP32211VAAVAV由连续性方程知：由连续性方程知：？21VV必须算出数，每步都有分。必须算出数，每步都有分。在在1-1，3-3断面上列伯努利方程：断面上列伯努利方程：gVgVgp2

58、223211?1p在在1-1，2-2断面上列伯努利方程：断面上列伯努利方程：gVgVgp2223222?2p11AP22AP列列X、Y方向的动量方程：方向的动量方程：)(12XXVXVVqF即：即：)0(222VqApRVX)(12YYVYVVqF即：即：)0(111YVqApRV？XRYRFRFYXX，所以，弯头所收的力：所以，弯头所收的力：？YR例题例题3：水枪喷嘴出口直径：水枪喷嘴出口直径 水枪工作水枪工作水量水量 用喷嘴射流来冲毁铸型芯砂。用喷嘴射流来冲毁铸型芯砂。 mm15mm710dd，l/min016Vq试确定：（试确定：（1）球形阀座受水枪的拉力）球形阀座受水枪的拉力T； （2

59、）射流对砂型的冲击压强）射流对砂型的冲击压强P解：选喷嘴部分为分离体，建图中所示解：选喷嘴部分为分离体，建图中所示坐标系。设喷嘴对液体的作用力为坐标系。设喷嘴对液体的作用力为R，列动量方程。列动量方程。)(10VVqFVXx1y0R1F10)/( 1 .15101514. 3601016044623211smdqVVRApRFFX111其其中中：121110200044AVdAVVdV又又根根据据连连续续性性方方程程：)/(5 .69120210smVddV所所以以，要求，需要知道要求，需要知道1=？How?x1y0R1F10取取1-1，0-0有效断面，以轴线为基准线有效断面，以轴线为基准线列

60、伯努利方程。列伯努利方程。gVgVgp2220211)/(102312)(2421201mNgvvV则，则，带入动量方程，带入动量方程，)(10111VVqRApRFFVX)262 NR（求得，求得，因此，水流对喷嘴的冲击力与因此，水流对喷嘴的冲击力与R大小相等，方向相反，并通过大小相等，方向相反，并通过螺栓，水枪球形阀传给阀座，因此阀座受力大小螺栓，水枪球形阀传给阀座，因此阀座受力大小T=262N，方，方向向右。向向右。选图示分离体，坐标系。这是个简单求射选图示分离体，坐标系。这是个简单求射流冲击力的问题，列动量方程：流冲击力的问题，列动量方程：R1yx)(12XXVXVVqF01210VV