第十章双线性函数与辛空间

1、第十章 双线性函数与辛空间1、 设V是数域P上的一个三维线性空间，是它的一组基，f是V上的一个线性函数，已知 f (+)=1,f (-2)=-1,f (+)=-3 求f (X+X+X).解 因为f是V上线性函数，所以有 f () f ()=1 f ()-2 f ()=-1 f ()+f ()=-3解此方程组可得 f ()4，f ()7，f ()3于是 f (X+X+X).X f ()X f ()X f () 4 X7 X3 X2、 设V及，同上题，试找出一个线性函数f ,使 f (+)f (-2)=0, f (+)=1解 设f为所求V上的线性函数，则由题设有 f () f

2、()=0 f ()-2 f ()=0 f ()+f ()=1解此方程组可得 f ()1，f ()2，f ()1 于是aV,当a在V的给定基，下的坐标表示为 a= X+X+X时，就有 f (a)=f (X+X+X) = X f ()X f ()X f () =-X+2 X+ X3、 设，是线性空间V的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令 1，2，3 试证：1，2，3是V的一组基，并求它的对偶基。 证： 设 （1，2，3）（，）A 由已知，得 A 因为0，所以1，2，3是V的一组基。 设g1,g2,g3是1，2，3得对偶基，则 （g1,g2,g3）（f1,f2,f3）（A） （f1,f2,f3

3、） 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4.设V是一个线性空间，f1,f2,fs是V中非零向量，试证：V，使 fi()0 (i=1,2,s) 证：对s采用数学归纳法。 当s1时，f10,所以V，使fi()0，即当s1时命题成立。 假设当s=k时命题成立，即V，使fi()=i0 (i=1,2,k) 下面证明s=k+1时命题成立。 若f()0,则命题成立，若f()0，则由f0知，一定V 使f()b,设fi()=di(i=1,2,k),于是总可取数c0，使 ai+cdi0(i=1,2,k) 令，则V，且 fi()=ai+cdi0(i=1,2,k)f()cb0即

4、证。5设1，2，s是线性空间V中得非零向量，试证： fi()0 (i=1,2,s)证：因为V是数域P上得一个线性空间，V是其对偶空间，若取定V中得一个非零向量，则可定义V的一个线性函数如下： (f)=f() (fV)且是V的对偶空间（V)中的一个元素，于是，V到其对偶空间的对偶空间（V)的映射 是一个同构映射，又因为1，2，s是V中的非零向量，所以1，2，s对偶空间V的对偶空间（V)中的非零向量，从而由上题知，fV使f()i(f) 0 (i=1,2,s)即证.6.设VPx,对P(x)=C0+C1x+C2xV,定义 f(p(x)= f(p(x)= f(p(x)=试证f， f， f都是V上线性函数

5、，并找出V的一组基p1(x),p2(x),p3(x),使f， f， f是它的对偶基。证：先证是V上线性函数，即fV，对g(x),h(x) V, kP,由定义有 f（g(x)h(x)） f(g(x)+ f(h(x) f(kg(x)= =k=k f(g(x)即证f。同理可证f， fV。再设p1(x),p2(x),p3(x) 为V的一组基，且f， f， f是它的对偶基。若记 P1(x)= C0+C1x+C2x则由定义可得 f(p(x)=C0+C1+C2=1 f(p(x)=2C0+2C1+ C2=0 f(p(x)=-C0+C1-C2=0 解此方程组得 C0=C1=1,C2=- 故 P1(x)=1+x-

6、 x 同理可得 p2(x)=- + x p3(x)= -+x- x7.设V是个n维线性空间，它得内积为（，），对V中确定得向量，定义V上的一个函数： （）=（，）1） 证明是V上的线性函数2） 证明V到V的映射是V到V的一个同构映射（在这个同构下，欧氏空间可看成自身的对偶空间。）3） 证：1）先证明是V上的线性函数，即V，对1，2V，kP，由定义有： （12）（，12） （，1）（，2） （1）（2） （k1）=（，k1）=k（，1）=k（1） 故是V上的线性函数。2）设，是V的一组标准正交基，且对V由定义 （）（）(i=1,2,n)知 （）（，）于是，是，的对偶基，从而V到V的映射是V与V中

7、两基间的一个双射因此它也是V到V的一个同构映射8设是数域P上N维线性空间V得一个线性变换。1）证明，对V上现行函数f，f仍是V上的线性函数；2）定义V到自身的映射为ff证明是V上的线性变换；3）设，是V的一组基，f， f， f是它的对偶基，并设在，的矩阵为A。证明：在f， f， f下的矩阵为A。证：1）对V，由定义知（f）（）f（）是数域P中唯一确定的元，所以f是V到P的一个映射。又因为，V，kP,有（f）（）f（） f（）（） （f）（）（f）（） （f）（k）f（k）= f（k （） =k f（）=k（f）（）所以f是V上线性函数。2）对fV，有（f）= fV,故是V上的线性变换。3）由题

8、设知 （，）（，）A设（f， f， f）（f， f， f）B其中A=(a),B=(b),且f， f， f是，的对偶基，于是 f（f），所以a= b(i,j=1,2, n),即证在f， f， f下的矩阵为B=A. 9.设V是数域P上的一个线性空间，f， f， f是V上的n个线性函数。 1）证明：下列集合 WVf()=0(1in)是V的一个子空间，W成为线性函数f， f， f的零化子空间； 2）证明：V的任一子空间皆为某些线性函数的零化子空间。 证：1）因为f， f， f是V上的n个线性函数，所以fV(1in)，且f(0)=0(i=1,2, n)，因而0W，即证W非空。又因为，V，P，有 f()f

9、()f()0 (i=1,2, n) f() f()0所以W，W，即证W是V的一个子空间。2）设W是V的任一子空间，且dim（W）m,则当mn时，只要取f为V的零函数，就有 WVV f ()=0所以W是f的零化子空间。当m<n时，不妨设，为W的一组基，将其扩充为V的一组基，并取这组基的对偶基f， f， f的后n-m个线性函数f,f,f,则 W=V=Vf()=0(m+1in)即W是f,f,f的零化子空间，事实上，若令 UVf()=0(m+1in)则对a+a+aW,有 f()= f()= =f()=0因而U，即W U。 反之，b+b+b+b+bU，由f()= f()= =f()=0，可得bb=

10、b=0,因而b+b+b+b+bW，即UW，故UW。10设A是数域P上的一个m极矩阵，定义P上的一个二元函数 f(X,Y)=tr(XAY) (X,YP)1) 证明f(X,Y)是P上的双线性函数；2) 求f(X,Y)在基E,E,E,E,E,E,E,E下的度量矩阵。证：1）先证f(X,Y)是P上的双线性函数，对X,Y,ZP,k,kP由定义有 f (X, kY+ k,Z)=tr(XA(kY+ kZ) = ktr(XAY)+ ktr(XAZ) = k f(X,Y) + k f(Y,Z)因而f(X,Y)是P上的双线性函数。 2）由EAEaE知 f (E, E)=tr(EAE)=tr(aE) =以下设f(X

11、,Y)在基E,E,E,E,E,E,E,E下的度量矩阵为B，则 B=其中，E为n阶单位矩阵。11在P中定义一个双线性函数f(X,Y),对 X（x1,x2,x3,x4）,Y=(y1,y2,y3,y4)P有 f (X,Y)=3x1y2-5x2y1+x3x4-4x4y31)给定P的一组基 （1，2，1，0），（1，1，1，0） （1，2，1，1）， （1，1，0，1）求f (X,Y)在这组基下的度量矩阵；2）另取一组基，且 （，）（，）T其中 T求f (X,Y)在这组基下的度量矩阵。解 1）设f (X,Y)在给定基，下的度量矩阵为A=(a),则 A 其中af (,).3) 设f (X,Y)在给定基，下

12、的度量矩阵为B,则由 （，）（，）T 可得 B=TAT=12.设V是复数域上的线性空间，其维数n>=2,f ()是V上的一个对称双线性函数。 1）证明V中有非零向量使f (，)0 2）如果f ()是非退化的，则必有线性无关的向量，满足 f (，)1 f (，)f (，)0证1）设，为复数域上N维线性空间V的一组基，f ()是V上的对称双线性函数，则f ()关于基，的度量矩阵A为对称矩阵，于是，存在非退化的矩阵T，使 TAT=B若令 （，）（，）T则，也是V的一组基，且f ()关于基，的度量矩阵为B，因此X+ X+X,= Y+ Y+YV,有 f(,)=X Y+ X Y+ +X Y f(,)

13、=X+X+X (0rn)故而当r=0时，对V中任一非零向量，恒有f(,)=0；当r=1时，只要取0，就有f(,)=0；当r2时，只要取i+0，就有f(,)=0；2)如果f ()是非退化的，则f(,)=X Y+ X Y+ +X Y 因而只要取 +，=就有 f(,)=（）（）（）1 f(,)=（）（）0 f(,)=（）（）0即证。13试证：线性空间V上双线性函数f ()是反对称的充要条件是：对任意的V，都有 f()=0证：必要性。因为f ()是反对称的，所以V，恒有 f()=f()故f()=0充分性。因为f ()是双线性函数，所以V，有 f (+,+)=f()=f(,)=0故 f ()f(,)即

14、f ()是反对称的。14设f ()是V上对称或反对称的双线性函数，是V中的两个向量，若f ()0，则称正交，再设K是V的一个真自空间，证明：对K必有 0K+L() 使f(,)0对所有K都成立证明 ：1）先证f ()是对称的双线性函数的情形。 因为K是V的子空间，所以f ()是K上的对称双线性函数，设dim（K）r则f ()关于K的任意一组基的度量矩阵皆为对称矩阵，于是，必存在K的一组基，使f ()在这组基下的度量矩阵为对角矩阵 Ddiag(d,d, d)只要令 且当d=0(1ir)时，就删除d相应的项，则0K+L()，于是对任意K,恒有 f(,)02）再证f ()是反对称双线性函数的情形，首先

15、，若对给定K，若存在K，使f(,)=0,则可令，使得f(，)=1.又因为K+L()是V的子空间，所以f ()也是K+L()上的反对称双线性函数，于是可将，扩充为K+L()的一组基： ，使 故而当s0时，只要取，则对K，恒有f(,)=0;当s=0时，只要取，则由，K=L(，),对K，也有f(,)=0。其次，若对给定的K，及任意K，使f(,)=0,则只要取即可。15设V与f ()同上题，K是V的一个子空间，令 = 1)试证K是V的子空间（K称为K的正交补）； 2）试证：如果KK0,则VKK 证：1）因为K，恒有f(0, )=0,所以0K，即K非空。 另一方面，K，kP, K，有 f(+,)=f(,

16、)+f(,)=0 f(k,)=k f(,)=0故+， kK，从而K是V的子空间。2）由于K和K都是V的子空间，知 K+ KV不妨设K是V的一个真子空间，V,若K，则证毕，若K，则存在 0K+L()，使 f(,)=0 （K）于是K。又因为 k (K,kP)显然K 0,否则 K K0从而0，这是不可能的。因此有 K+ K故V K+ K。即证。16设V，K同上题，并设f(,)限制，试证： VK+ K的充要条件是f(,)在V上是非退化的.证：必要性。设VK+ K，且f(,) 0 （K）下证0，设+，K，K，则K，有 0f(,)f(+,)f(,)f(,) f(,)由于f(,)在K上是非退化的，故0，从而

17、K同理，K，由f(,)0可得（K），但K K0因而得知0。充分性：设K K，若0，则只要将扩充为一组基，由于K，因而必有 于是，K，皆有f(,)0，这与f(,)限制在K上非退化矛盾，所以0，也就是K K0由此即证V= K+ K.17.设f(,)是N维线性空间V上的非退化对称双线性函数，对V中的一个元素定义V中的一个元素： （）f(,)（V）试证： 1）V到V的映射 是一个同构映射。 2）对V的每组基，有V的唯一的一组基，使f(,)4） 如果V是复数域上的N维线性空间，则有一组基，使 (i=1,2n)证：1）因为f(,)是N维线性空间V上的非退化对称双线性函数，所以存在V的一组基，使 f (,)

18、=再由V的定义作，V，设有线性关系 k+k+k=0则00（）（k+k+k）（） k（）k（）+k（）kf (,)+k f (,)+k f (,)=kd (i=1,2n)但d0(i=1,2n)，故 k=0(i=1,2n)这意味着，线性无关，因而，为V的一组基，故V到V的映射是一个双映射。另一方面，V，kP,有 （）（）f (,)f (,)f (,) （）（） (k)（）= f (k,)=k f (,)=k（）故V到V的映射是一个同构映射。 2）设V中的线性函数f,f,f是V的基，的对偶基，于是存在V的唯一一个向量组，,，使 （）f(,）= f (） (V,i=1,2,n) 且 （）f(,）=f（

19、）=另一方面，设有线性关系 k+ k +k=0则 0f (k+ k +k)() = kf(,)+k f(,)+k f(,) =k (i=1,2,n)故k=0(i=1,2,n)。这意味着，,线性无关，因而，,为V的一组基。只要令，即证。3）因为V是复数域上·1的N维线性空间，f(,)是N维线性空间V上的非退化对称双线性函数，所以存在V的一组基，使f(,)在这组基下的度量矩阵为单位矩阵。再由2即可知 (i=1,2n)18设V是对于非退化对称双线性函数f(,)N维准欧氏空间，V的一组基，如果满足 f (,)=1 (i=1,2p) f (,)=-1 (i=p+1,p+2, ,n) f (,)=0 (ij)则称为V的一组正交基。如果V上的线性变幻满足 f(),()=f(,) (,V)则为V的一个准正交变换。试证：1） 准正交变换是可逆的，且逆变换也是准正交变换；2） 准正交变换的乘积也是准正交变换3） 准正交变换的特征值等于1或1；4） 准正交变换在正交积上的矩阵A满足 A A证： 1）因为f(,)是非退化的对称双线性函数，所以存在V的