考研数学线性代数强化习题-秩

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2、应成比例 (B) 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合(C) 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (D) 中至少有一行(列)的元素全为0 3、设有向量组则该向量组的极大线性无关组是 ( )(A) (B) (C) (D) 4、，则_5、假设是阶方阵,其秩,那么在的个行向量中（ ）（A）必有个行向量线性无关.（B）任意个行向量线性无关.（C）任意个行向量都构成最大线性无关向量组.（D）任何一个行向量都可以由其他个行向量线性表出.6、设向量组（）和向量组（）的秩分别为和，再设向量组（）的秩为，试证明：.二重要公式的运用7、设和均为阶非零矩阵，且有，则（ ）.（A） （B

3、） （C） （D）无法确定8、设，若，则（ ）.（A） （B）3 （C）1或3 （D）无法确定9、已知是3阶非零矩阵，且，那么（ ） （A） （B） （C） （D） 10、设阶矩阵，其秩，那么为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 11、设矩阵，且，设矩阵（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 12、设都是阶非零矩阵,且,则和的秩( )（A）必有一个等于零. （B）都小于. （C）一个小于,一个等于. （D）都等于.14、已知，为三阶非零矩阵，且，则（ ）（A）时， （B）时， （C）时， （D）时，15、若阶矩阵，_.16、设为三阶非零矩阵，且_.17、，_18、设，a=_

4、19、设为5阶矩阵，齐次方程组有两个不成比例的非零解，那么_20、为n阶矩阵，证明：参考答案一对基本概念的考查1、【答案】：（C）【解析】：由可知，故的列向量均为的解.由，可知齐次线性方程组只有零解,即的列向量全为零,故.可知（C）是正确的.由于，可知的列向量组的极大线性无关组中有个向量，故的列向量中存在个线性无关的向量，但不能说的任意个列向量都是线性无关的，故（A）错误.类似地，说明的非零子式的最高阶数为，这意味着中存在阶非零子式，但不能说中任意一个阶子式都不等于零，故（B）错误.由于，故矩阵与矩阵是等价的，故可以通过初等行列变换变成，但仅通过初等行变换则不一定能将变为.例如，令，则，但不能

5、通过初等行变换变为.故（D）错误.综上，唯一正确的选项是（C）.【评注】：关于选项（C）也可以这样分析：由可知，又由于，可知，也即.2、【答案】(C)【解析】本题考查的充分必要条件,而选项(A)、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.因为对矩阵来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.以3阶矩阵为例,若 ,条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有,所以(A)、(B)不满足题意,不可选.若,则,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.这样用排除法可知应选(C)

6、.3、【答案】(B)【解析】这是一道常规题,按一般方法求解即可.方法一：对作初等行变换,并记下每次变换的式子,有现在已经可以看出秩为3,极大线性无关组是.方法二：用列向量作行变换,有每行第1个非0数在第1,2,4列,故是极大线性无关组.故此题应选(B).4、【答案】【解析】因为，所以，又因为，所以5、【答案】：（A）【解析】：的行向量组的极大线性无关组中含有个向量，故的个行向量中必有个行向量线性无关.故选项（A）是正确的. 其余选项的错误之处请考生自行分析.6、【证明】：若和中至少有一个为零，则显然有.若和均大于零，则向量组（）和（）的极大线性无关组中分别含有和个向量.不妨设（）和（）的极大线

7、性无关组分别为和.由于极大线性无关组和原向量组等价，可知：向量组与向量组（）等价.故.二重要公式的运用7、【答案】（A）【解析】：由于，可知.又由于和都不是零矩阵，故，因此和都是不满秩的.当时，由于中阶子式全为，因此为零矩阵，与题设矛盾.故有，再结合可知.因此，故选（A）.8、【答案】（C）【解析】：由 ，得，则，即，得或，且此时均满足，故选（C）.9、【答案】：（C）【解析】：方法一：由，可知. 若，易见，那么，故与均有可能，所以（A）、（B）均不正确. 若，可求出，那么.又因矩阵非零，有，从而必有，故应选（C）.方法二：由于，可知：的列向量是齐次方程组的解. 当时， 的基础解系是. 所以等

8、形式均可以是矩阵，其秩可以是1，也可以是2. 当时，的基础解析是，故.10、【答案】：（A）【解析】： 由于，可知.在本题中，由于，故，故.11、【答案】：（C）【解析】：因，所以可逆.于是.【评注】：可逆，；可逆，.12、【答案】：（B）【解析】：由可知;又,则. 故选（B）.14、【答案】C【解析】B为可逆矩阵时A的秩为1，所以时，15、【答案】：2【分析】：可逆，则.【解析】：方法一：.而 显然.从而可逆，故.方法二：由于的秩为1，可知的特征值为，其中.故的特征值为，故不是的特征值，是可逆的.以下同方法一.【评注】：1）一般地，若.2）假设阶矩阵的秩为，则的个特征值为.16、【答案】：【解析】：方法一：令，则，故，也即的列向量均为齐次线性方程组的解.又由于为非零矩阵，可知不全为零向量，也即有非零解，故，可知，解得.方法二：由于，可知.由于为非零矩阵，则，可知，故有，解得.【评注】：本题方法一与方法二分别对应条件中出现时的两种基本处理方式：一是利用的列向量均为齐次线性方程组的解；二是使用公式.17、【答案】3【解析】，因为是可逆矩阵，所以18、【答案】1【解析】因为，所以，所以a=119