第4章_被控过程的数学模型1

1、 第第4 4章章 被控过程的数学模型被控过程的数学模型1 1）掌握被控过程机理建模的方法与步骤；掌握被控过程机理建模的方法与步骤； 2 2）熟悉被控过程的自衡和非自衡特性；熟悉被控过程的自衡和非自衡特性； 3 3）熟悉单容过程和多容过程的阶跃响应曲线及解析表熟悉单容过程和多容过程的阶跃响应曲线及解析表达式；达式； 4 4）重点掌握被控过程基于阶跃响应的建模步骤、作图重点掌握被控过程基于阶跃响应的建模步骤、作图方法和数据处理；方法和数据处理； 5 5）熟悉被控过程的一次完成最小二乘建模方法，学会熟悉被控过程的一次完成最小二乘建模方法，学会用用MATLAB语言编写算法程序。语言编写算法程序。 6

2、6）熟悉被控过程的递推最小二乘建模方法，学会用熟悉被控过程的递推最小二乘建模方法，学会用MATLAB语言编写算法程序。语言编写算法程序。 给定值给定值被控量被控量干扰干扰f 控制器控制器 变送器变送器执行器执行器被控对象被控对象+e实测值实测值 前几章的讨论中，我们已知变送器和执行器的前几章的讨论中，我们已知变送器和执行器的特性是比例关系、控制器的特性由控制规律决定。特性是比例关系、控制器的特性由控制规律决定。本章讨论被控对象的特性。本章讨论被控对象的特性。被控对象被控对象X r i (s)X c i (s)4.14.1 过程建模的基本概念过程建模的基本概念4.1.1 4.1.1 被控过程的数

3、学模型及其作用被控过程的数学模型及其作用 被控过程的数学模型是指过程的输入变量与输出变量之间定量被控过程的数学模型是指过程的输入变量与输出变量之间定量关系的描述关系的描述其中：其中：过程的输入变量至输出变量的信号联系称为通道过程的输入变量至输出变量的信号联系称为通道控制作用至输出变量的信号联系称为控制通道控制作用至输出变量的信号联系称为控制通道干扰作用至输出变量的信号联系称为干扰通道干扰作用至输出变量的信号联系称为干扰通道过程的输出为控制通道与干扰通道的输出之和过程的输出为控制通道与干扰通道的输出之和 被控对象：需要控制的设备、机械或生产过程。被控对象：需要控制的设备、机械或生产过程。输入量：

4、输入量：控制变量各种各样的干扰变量控制变量各种各样的干扰变量输出量：被控变量输出量：被控变量对象的数学模型：稳对象的数学模型：稳( (静静) )态数学模型和动态数学模型。态数学模型和动态数学模型。 稳态数学模型稳态数学模型描述对象的输入量与输出量之间描述对象的输入量与输出量之间的稳态关系的稳态关系 动态数学模型动态数学模型描述对象在输入量改变以后输出描述对象在输入量改变以后输出量的变化情况。量的变化情况。稳态数学模型是动态数学模型在对象达到平衡时的特例。稳态数学模型是动态数学模型在对象达到平衡时的特例。过程的数学模型静态数学模型静态数学模型动态数学模型动态数学模型数学模型的表示方法：数学模型的

5、表示方法：参量模型：通过数学方程式表示参量模型：通过数学方程式表示常用的描述形式：微分方程、传递函数、差分方程等常用的描述形式：微分方程、传递函数、差分方程等参量模型的微分方程的一般表达式：参量模型的微分方程的一般表达式：( )(1)()11010( )( )( )( )( )( )( )nnmnmytayta y ta y tb xtb x tb x ty(t)y(t)表示输出量，表示输出量，x(t)x(t)表示输入量，通常输出量的阶次表示输入量，通常输出量的阶次不低于输入量的阶次不低于输入量的阶次(nm)(nm) 通常通常n=1n=1，称该对象为一阶对象模型；，称该对象为一阶对象模型；n=

6、2n=2，称二阶对象模型。，称二阶对象模型。 非参量模型：非参量模型：采用曲线、表格等形式表示。采用曲线、表格等形式表示。例如例如“阶跃响阶跃响应曲线、脉冲响应曲线等。应曲线、脉冲响应曲线等。优点：形象、清晰、定性。优点：形象、清晰、定性。缺点：直接利用来分析系统较困难（必要时须进行数学处缺点：直接利用来分析系统较困难（必要时须进行数学处理获得参量模型）。理获得参量模型）。 有些被控过程还存在多个输入控制变量与多个输出变有些被控过程还存在多个输入控制变量与多个输出变量，且每个输入控制变量除了影响量，且每个输入控制变量除了影响“自己的自己的”输出变量之外，输出变量之外，还会影响其他的输出变量，这

7、种被控过程通常称为多变量耦还会影响其他的输出变量，这种被控过程通常称为多变量耦合过程。此外，被控过程还有线性与非线性、集中参数与分合过程。此外，被控过程还有线性与非线性、集中参数与分布参数之分。布参数之分。 为简单起见，本章仅讨论单输入单输出、集中参数、为简单起见，本章仅讨论单输入单输出、集中参数、线性过程的数学模型及其建模的基本方法。线性过程的数学模型及其建模的基本方法。指所描述的系统中各物理量仅依赖于时间而指所描述的系统中各物理量仅依赖于时间而不依赖于空间位置不依赖于空间位置,用常微分方程描述用常微分方程描述.v数学模型的作用及要求数学模型的作用及要求 1. 1. 作用作用 被控过程的数学

8、模型在过程控制中具有极其重要的作用，被控过程的数学模型在过程控制中具有极其重要的作用，归纳起来主要有以下几点：归纳起来主要有以下几点： （1 1）控制系统设计的基础）控制系统设计的基础 全面、深入地掌握被控过程的数学模型是控制系统设全面、深入地掌握被控过程的数学模型是控制系统设计的基础。如在确定控制方案时，被控变量及检测点的选计的基础。如在确定控制方案时，被控变量及检测点的选择、控制择、控制( (操作操作) )变量的确定、控制规律的确定等都离不开变量的确定、控制规律的确定等都离不开被控过程的数学模型。被控过程的数学模型。（2 2）控制器参数确定的重要依据）控制器参数确定的重要依据 过程控制系统

9、一旦投入运行后，如何整定调节器的参过程控制系统一旦投入运行后，如何整定调节器的参数，必须以被控过程的数学模型为重要依据。尤其是当对数，必须以被控过程的数学模型为重要依据。尤其是当对生产过程进行最优控制时，如果没有充分掌握被控过程的生产过程进行最优控制时，如果没有充分掌握被控过程的数学模型，就无法实现最优化设计。数学模型，就无法实现最优化设计。（3 3）仿真或研究、开发新型控制策略的必要条件）仿真或研究、开发新型控制策略的必要条件 在用计算机仿真或研究、开发新型控制策略时，其前在用计算机仿真或研究、开发新型控制策略时，其前提条件是必须知道被控过程的数学模型，如补偿控制、推理提条件是必须知道被控过

10、程的数学模型，如补偿控制、推理控制、最优控制、自适应控制等都是在已知被控过程数学模控制、最优控制、自适应控制等都是在已知被控过程数学模型的基础上进行的。型的基础上进行的。（4 4）设计与操作生产工艺及设备时的指导）设计与操作生产工艺及设备时的指导 通过对生产工艺过程及相关设备数学模型的分析或仿通过对生产工艺过程及相关设备数学模型的分析或仿真，可以事先确定或预测有关因素对整个被控过程特性的影真，可以事先确定或预测有关因素对整个被控过程特性的影响，从而为生产工艺及设备的设计与操作提供指导，以便提响，从而为生产工艺及设备的设计与操作提供指导，以便提出正确的解决办法等。出正确的解决办法等。（5 5）工

11、业过程故障检测与诊断系统的设计指导）工业过程故障检测与诊断系统的设计指导 利用数学模型可以及时发现工业过程中控制系统的故障利用数学模型可以及时发现工业过程中控制系统的故障及其原因，并提供正确的解决途径。及其原因，并提供正确的解决途径。2. 2. 要求要求（1 1）尽量简单：）尽量简单：若复杂，则规律随之复杂，工程若复杂，则规律随之复杂，工程难以实施。难以实施。（2 2）正确可靠：）正确可靠：若误差较大，就可能导致分析中若误差较大，就可能导致分析中的错误结论。的错误结论。 因此，过程控制中实际应用的数学模型，传因此，过程控制中实际应用的数学模型，传递函数的阶次一般不高于三阶。有时宁可用具有递函数

12、的阶次一般不高于三阶。有时宁可用具有时滞的二阶形式也不采用三阶形式。时滞的二阶形式也不采用三阶形式。 最常用的是带有时滞的一阶惯性传递函数。最常用的是带有时滞的一阶惯性传递函数。4.1.2 被控过程的特性 被控过程的数学模型，依据过程特性的不同而有所不同，一般可分为有自衡特性与无自衡特性、单容特性与多容特性、有自衡特性与无自衡特性、单容特性与多容特性、振荡与非振荡特性等。振荡与非振荡特性等。 此外，一般的被控过程，都伴随有不同程度的非线性特性和时变特性等，当过程输出在平衡状态附近小范围内变化时，可以将其线性化；在一个特定的时刻，当过程的参数变化很慢时，可以近似认为是时不变的。 这样，其输入其输

13、入/ /输出关系既可以用常系数微分方程或传递输出关系既可以用常系数微分方程或传递函数表示，也可以用差分方程或脉冲传递函数表示。函数表示，也可以用差分方程或脉冲传递函数表示。1 1有自衡特性和无自衡特性有自衡特性和无自衡特性 当原来处于平衡状态的过程出现干扰时，其输出量在当原来处于平衡状态的过程出现干扰时，其输出量在无人或无控制装置的干预下，能够自动恢复到原来或新的无人或无控制装置的干预下，能够自动恢复到原来或新的平衡状态，则称该过程具有自衡特性，否则，该过程则被平衡状态，则称该过程具有自衡特性，否则，该过程则被认为无自衡特性。具有自衡特性的过程及其响应曲线如图认为无自衡特性。具有自衡特性的过程

14、及其响应曲线如图4-24-2所示。所示。 在图在图42a42a所示的水所示的水箱水位系统中，最初的箱水位系统中，最初的进水量等于出水量，过进水量等于出水量，过程处于平衡状态。当进程处于平衡状态。当进水量阶跃增加后，进水水量阶跃增加后，进水量大于出水量，平衡量大于出水量，平衡状态被打破，水位上状态被打破，水位上升。升。随着水位的不断升高，出水阀前的静压也随之增加，使出水量也随着水位的不断升高，出水阀前的静压也随之增加，使出水量也不断增加，最终导致出水量等于进水量，水位趋于新的稳态值。不断增加，最终导致出水量等于进水量，水位趋于新的稳态值。这种无需外加任何控制作用、能够自发地趋于新的平衡状态的过程

15、，称为有自衡特性过程，其阶跃响应曲线如图4-2b所示。如果将出水阀改成如图如果将出水阀改成如图43a43a所所示的抽水示的抽水泵，由于抽水泵的泵，由于抽水泵的出水量不随水位的变化而变出水量不随水位的变化而变化，因此水箱水位要么一直化，因此水箱水位要么一直上升上升( (进水量大于出水量时进水量大于出水量时) )，要么一直下降要么一直下降( (进水量小于进水量小于出水量时出水量时) )，最终导致溢出，最终导致溢出或抽干，无法达到新的平衡或抽干，无法达到新的平衡状态，此时的水位过程就称状态，此时的水位过程就称为无自衡特性过程。其阶跃为无自衡特性过程。其阶跃响应曲线如图响应曲线如图43b43b所示。所

16、示。0qiq绝大多数对象都有自衡能力，一般而言有自衡能力的系统比无自衡能力的系统容易控制。 工业生产过程一般都具有储存物料或能量的能力，其储存工业生产过程一般都具有储存物料或能量的能力，其储存能力的大小称为容量。能力的大小称为容量。 所谓单容过程是指只有一个储存容积的过程。当被控过程所谓单容过程是指只有一个储存容积的过程。当被控过程由多个容积组成时，则称为多容过程。由多个容积组成时，则称为多容过程。 单容或多容过程若具有自衡特性时，其传递函数的典型形式有： 1)一阶惯性环节为 2)二阶惯性环节为 3)一阶惯性环节纯滞后环节为 4)二阶惯性环节纯滞后环节为)1Ts(K) s (G) 1sT)(1

17、sT(K) s (G21) 1Ts(K) s (Ges- 在过程控制中，许多高阶系统都可以用一阶惯性在过程控制中，许多高阶系统都可以用一阶惯性+ +纯滞后纯滞后环节进行近似，以简化分析与综合过程。环节进行近似，以简化分析与综合过程。Ts1) s (G1)ss(TT1) s (G21es1)ss(TT1) s (G21esTs1) s (G单容或多容过程若为无自衡特性，其传递函数的典型形式有：1)一阶环节为 2)二阶环节为3)一阶环节纯滞后环节为4)二阶环节纯滞后环节为3 3振荡与非振荡过程的特性振荡与非振荡过程的特性在阶跃输入作用下，输出会出现多种形式。图中，在阶跃输入作用下，输出会出现多种形

18、式。图中，a)a)、b)b)和和c)c)为振荡过程，为振荡过程，d)d)和和e)e)为非振荡过程。为非振荡过程。 衰减振荡的传递函数为衰减振荡的传递函数为 2 2( )(21)sKeG sT sTs(01 ) 4 4具有反向特性的过程具有反向特性的过程对过程施加一阶跃输入信号，若在开始一段时间内，过程对过程施加一阶跃输入信号，若在开始一段时间内，过程的输出先降后升或先升后降，即出现相反的变化方向，则的输出先降后升或先升后降，即出现相反的变化方向，则称其为具有反向特性的被控过程。称其为具有反向特性的被控过程。 在锅炉燃烧-给水系统中，锅炉汽包水位的变化过程即为典型的具有反向特性的过程。 现将其工

19、作机理说明如下：当供给锅炉的冷水量有一个阶跃增加当供给锅炉的冷水量有一个阶跃增加而在燃料供热与蒸汽负荷均不变的条而在燃料供热与蒸汽负荷均不变的条件下，一方面，汽包内水的沸腾会突件下，一方面，汽包内水的沸腾会突然减弱，蒸发率降低。由于汽包中的然减弱，蒸发率降低。由于汽包中的水位是由上升的气泡流托起的，锅炉水位是由上升的气泡流托起的，锅炉蒸发率的降低将导致部分汽泡的溃灭，蒸发率的降低将导致部分汽泡的溃灭，于是汽包中的水位下降，其响应呈反于是汽包中的水位下降，其响应呈反向一阶惯性特性，如图向一阶惯性特性，如图4-5b中虚线中虚线1所示，其传递函数为所示，其传递函数为1sTK11) s (G另一方面，

20、由于进水量大于蒸汽负荷量，又使水位逐渐上升，其响应呈现出正向积分特性，如图45b中虚线2所示，其传递函数为sK) s (G2若将虚线若将虚线1 1和和2 2叠加后得实线叠加后得实线3 3，则总的传递函数为，则总的传递函数为由上式可见，当由上式可见，当K K2 2T T1 1KKK1 1时为响应中、后期，水位呈现正向特性，时为响应中、后期，水位呈现正向特性，整个过程的响应特性如图中实线整个过程的响应特性如图中实线3 3所示。所示。1)ss(Ts )KTK(1) s (G12112112KsTKsK111sTK4.1.3 过程建模方法 建立被控过程数学模型的方法主要有三种：一是机理演绎法；二是试验

21、辨识法；三 是 机 理 演 绎 与 试 验 辨 识 相 结 合 的 混 合 法 。1 1机理演绎法机理演绎法 机理演绎法又称解析法。它是根据被控过程的内部机理，运用已知的静态或动态平衡关系，如物料平衡关系、能量平衡关系、动量平衡关系、相-相平衡关系以及某些物性方程、设备特性方程、物理化学定律等，用数学解析的方法求取被控过程的数学模型。用机理演绎法获得的过程模型又称为解析模型。 所谓静态平衡关系所谓静态平衡关系是指在单位时间内进入被控过程的物是指在单位时间内进入被控过程的物料或能量应等于单位时间内从被控过程流出的物料或能量；料或能量应等于单位时间内从被控过程流出的物料或能量； 所谓动态平衡关系所

22、谓动态平衡关系是指单位时间内进入被控过程的物料是指单位时间内进入被控过程的物料或能量与单位时间内流出被控过程的物料或能量之差应等于或能量与单位时间内流出被控过程的物料或能量之差应等于被控过程内物料或能量储存量的变化率。被控过程内物料或能量储存量的变化率。 机理建模的最大优点是在过程控制系统尚未设计之前即机理建模的最大优点是在过程控制系统尚未设计之前即可推导其数学模型，这对过程控制系统的方案论证与设计工可推导其数学模型，这对过程控制系统的方案论证与设计工作是比较有利的。作是比较有利的。 但是，许多工业过程的内在机理十分复杂，加上人们对但是，许多工业过程的内在机理十分复杂，加上人们对过程的变化机理

23、又很难完全了解，单凭机理演绎法则难以求过程的变化机理又很难完全了解，单凭机理演绎法则难以求出合适的数学模型。在这种情况下，可以借助试验辨识法求出合适的数学模型。在这种情况下，可以借助试验辨识法求取过程的数学模型。取过程的数学模型。 2 2试验辨识法试验辨识法 试验辨识法又称系统辨识与参数估计法。试验辨识法又称系统辨识与参数估计法。过程辨识：过程辨识： 根据测试数据确定模型结构（包括形式、方程阶次及时滞根据测试数据确定模型结构（包括形式、方程阶次及时滞情况等）。情况等）。参数估计：参数估计： 在已定模型结构的基础上，再由测试数据确定模型的参数。在已定模型结构的基础上，再由测试数据确定模型的参数。

24、 该方法的主要思路：该方法的主要思路： 先给被控过程人为地施加一个输入作用，然后记录过先给被控过程人为地施加一个输入作用，然后记录过程的输出变化量，得到一系列试验数据或曲线，最后再根程的输出变化量，得到一系列试验数据或曲线，最后再根据输入据输入- -输出试验数据确定其模型的结构输出试验数据确定其模型的结构( (包括模型形式、包括模型形式、阶次与纯滞后时间等阶次与纯滞后时间等) )与模型的参数。与模型的参数。 这种运用过程的输入这种运用过程的输入- -输出试验数据确定其模型结构输出试验数据确定其模型结构与参数的方法，通常称为试验辨识法。与参数的方法，通常称为试验辨识法。 该方法的主要特点：将被研

25、究的过程视为该方法的主要特点：将被研究的过程视为“黑箱黑箱”而而完全由外部的输入完全由外部的输入- -输出特性构建数学模型。这对于一些输出特性构建数学模型。这对于一些内部机理比较复杂的过程而言，该方法要比机理建模相对内部机理比较复杂的过程而言，该方法要比机理建模相对容易。容易。3 3混合法混合法 混合法是将机理演绎法与试验辨识法相互交替使用的一混合法是将机理演绎法与试验辨识法相互交替使用的一种方法。种方法。 通常采用两种方式：一是对被控过程中已经比较了解通常采用两种方式：一是对被控过程中已经比较了解且经过实践检验相对成熟的部分先采用机理演绎法推导其数且经过实践检验相对成熟的部分先采用机理演绎法

26、推导其数学模型，而对那些不十分清楚或不确定的部分再采用试验辨学模型，而对那些不十分清楚或不确定的部分再采用试验辨识法求其数学模型。该方法能够大大减少试验辨识法的难度识法求其数学模型。该方法能够大大减少试验辨识法的难度和工作量，适用于多级被控过程；和工作量，适用于多级被控过程； 另一种方法是先通过机理分析确定模型的结构形式，另一种方法是先通过机理分析确定模型的结构形式，再根据试验数据确定模型中的各个参数。这种方法实际上是再根据试验数据确定模型中的各个参数。这种方法实际上是机理建模与参数估计两者的结合。机理建模与参数估计两者的结合。 4.2 解析法建立过程的数学模型4.2.1 4.2.1 解析法建

27、模的一般步骤解析法建模的一般步骤 解析法建模的一般步骤为： 1)明确过程的输出变量、输入变量和其他中间变量。 2)依据过程的内在机理和有关定理、定律以及公式列写静态方程或动态方程。 3)消去中间变量，求取输入、输出变量的关系方程。 4)将其简化成控制要求的某种形式，如高阶微分(差分)方程或传递函数(脉冲传递函数)等。4.2.2单容过程的解析法建模单容过程的解析法建模 下面通过几个典型示例说明单容过程解析法建模的步骤下面通过几个典型示例说明单容过程解析法建模的步骤与方法。与方法。补充：补充：1 1）液阻）液阻 回顾电阻的定义回顾电阻的定义 电阻定义为单位电流变化所需的电压。电阻定义为单位电流变化

28、所需的电压。 与电阻定义类似与电阻定义类似 液阻定义：液阻定义： 流过单位流量所需的压力差。流过单位流量所需的压力差。 IURQHQHQPRQPR对于水：对于水： 其中：其中：=1 流过单位流量所需的液位变化量。流过单位流量所需的液位变化量。2 2）液容）液容 回顾电容的定义回顾电容的定义 产生单位电压所需电荷的多少。产生单位电压所需电荷的多少。 与电容定义类似，液容：与电容定义类似，液容： 产生单位压力变化所需被储液体的变化量。产生单位压力变化所需被储液体的变化量。 对于水：对于水：=1 =1 A A为容器截面积。为容器截面积。VQCPVCAHHA1HVPVC1 1）无时延）无时延 【例【例

29、4 41 1】某单容液位过程如图某单容液位过程如图4 42 2所示。所示。 该过程中，贮罐中的液位高度该过程中，贮罐中的液位高度h h为被控量，液体体积流量为被控量，液体体积流量Q Q1 1为被控过程的输入量。为被控过程的输入量。Q Q1 1的大小通过阀门的大小通过阀门1 1的开度来改变。的开度来改变。体积流量体积流量Q Q2 2为流出量，它取决于为流出量，它取决于用户需要，其大小可以通过阀门用户需要，其大小可以通过阀门2 2的开度来改变。试列写的开度来改变。试列写h h与与Q Q1 1之间之间的数学表达式。的数学表达式。图图4-2 单容液位过程单容液位过程1、有自衡、有自衡解：根据动态物料平

30、衡关系，即在单位时间内贮罐的液体流入量与单位时间内贮罐的液体流出量之差，应等于贮罐中贮存量的变化率，故有表示成增量形式则为式中 ： Q1 ,Q2,h分别为偏离某平衡状态Q10,Q20,h0的增量； A贮罐的截面积，假设为常量。 dtdhAQQ21dthdAQQ21假设Q2与h近似成线性正比关系，与阀门2处的液阻成反比关系，则22RhQ122QRhdthdAR则单容液位被控过程的微分方程增量表示形式。拉式变换：R2AsH(s)+H(s)=R2Q1(s)写成传递函数：一般形式：一般形式：AsRRsQsHsG2211)()()(11)()()(221TsKCsRRsQsHsGT过程的时间常数，过程的时间常数，T=R2C; K过程的放大系数，过程的放大系数，K=R2C过程的容量系数，过程的容量系数，C=Au容量容量C 含义：含义：生产设备和传输管路都具有一定的储蓄物质或能量的能力。被生产设备和传输管路都具有一定的储蓄物质或能量的能力。被控对象储存能力的大小，称为控对象储存能力的大小，称为容量容量或或容量系数容量系数。 其意义是：其意义是：引起单位被控量变化时，被控过程储存量变化的大小。引