第3章典型机械系统的建模

1、电力电子与电力传动实验室第三章第三章 典型机械系统的建模典型机械系统的建模 机械系统如控制系统地执行机构、飞机舵面传动装机械系统如控制系统地执行机构、飞机舵面传动装置、导弹发射架、飞行模拟器的运动平台等。置、导弹发射架、飞行模拟器的运动平台等。 在建模中，主要将利用牛顿力学定律、拉格朗日函数，在建模中，主要将利用牛顿力学定律、拉格朗日函数，并结合能量守恒原理及有关近似理论等。并结合能量守恒原理及有关近似理论等。3.1 基于力学理论的机械系统建模基于力学理论的机械系统建模 由理论力学可知，空间任意力系平衡的必要和充分条由理论力学可知，空间任意力系平衡的必要和充分条件是：件是： 0)( , 0)(

2、 , 0)(0 , 0 , 0FmFmFmFFFozoyoxzyx空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程电力电子与电力传动实验室 牛顿第二定律得牛顿第二定律得： )2()( .2.2.2222 rrmFrrmFdtzdmFdtydmFdtxdmFdtdvmdtsdmmaFrzyx在极坐标系中有在极坐标系中有在直角坐标系下有在直角坐标系下有牛顿第二定律数学表达式牛顿第二定律数学表达式3.1 基于力学理论的机械系统建模基于力学理论的机械系统建模电力电子与电力传动实验室h2mgF 2mg mg 2mg2mgF a2例例3.1如右图一个转动物体，它的质量为如右图一个转动物体，它的质量为m ,由两

3、根垂直的由两根垂直的绳索（无弹性）挂起，每根绳索的长度为绳索（无弹性）挂起，每根绳索的长度为h，绳索相距为，绳索相距为2a。重心位于通过连接绳索两点的中点的垂线上，假设。重心位于通过连接绳索两点的中点的垂线上，假设物体绕通过重心的垂直轴转一个物体绕通过重心的垂直轴转一个小的角度，然后释放。求摆动周小的角度，然后释放。求摆动周期期T，物体通过重心的垂直轴转的，物体通过重心的垂直轴转的转动惯量转动惯量J。 假设物体绕通过重心的假设物体绕通过重心的垂直轴转一个小的角度垂直轴转一个小的角度时，时，夹角夹角 和夹角和夹角间存在下列关间存在下列关系系: ha 因此因此ha 测量转动惯测量转动惯量实验装置量

4、实验装置 3.1 基于力学理论的机械系统建模基于力学理论的机械系统建模电力电子与电力传动实验室hamgamgJ 2. 或写成或写成:02. JhmgaJ由此求得摆动周期为由此求得摆动周期为JhmgaT22 得到转动惯量得到转动惯量JhmgaTJ22 注意，每根绳索的受力注意，每根绳索的受力F 的垂直分量等于的垂直分量等于mg/2。F 的水平分量的水平分量为为 mg/2。两根绳索的两根绳索的F 的水平分量产生扭的水平分量产生扭矩矩 mga 使物体转动。因此，摆动的运动方程为：使物体转动。因此，摆动的运动方程为：3.1 基于力学理论的机械系统建模基于力学理论的机械系统建模有负号是因为角有负号是因为

5、角加速度方向与转加速度方向与转矩方向相反矩方向相反电力电子与电力传动实验室0 mmgiT例例3.2 如图所示的单摆系统，如图所示的单摆系统，Ti(t) 为输入力矩、为输入力矩、0(t)为输为输出摆角、出摆角、m为小球质量、为小球质量、L为摆长。为摆长。 根据力系平衡建立系统方程：根据力系平衡建立系统方程： (t)mLL(t)mgSin (t)Ti020 当当0很小时很小时:00Sin 非线性系统方程可简化成非线性系统方程可简化成线性系统方程线性系统方程:(t)T(t)mgL (t)mLi 00.23.1 基于力学理论的机械系统建模基于力学理论的机械系统建模电力电子与电力传动实验室 例例3.3

6、设一个弹簧、质量、阻尼设一个弹簧、质量、阻尼系统安装在一个不计质量的小车上，系统安装在一个不计质量的小车上，如下图所示。推导系统数学模型。如下图所示。推导系统数学模型。 假设假设t m , ,旋转角旋转角足够小，于是可以对运动方程做足够小，于是可以对运动方程做线性近似处理。这样，系统水平方向受力之和将为：线性近似处理。这样，系统水平方向受力之和将为：0 )t (umlyM. 其中，其中，u( t )等于施加在小车上的外力，等于施加在小车上的外力，l 是质量到铰是质量到铰接点的距离。铰接点处的转矩之和为：接点的距离。铰接点处的转矩之和为：02 lgmmlyml. 选定两个选定两个2 阶系统的状态

7、变量为：阶系统的状态变量为：), y, y()x,x,x,x(. 4321 将将a、b两式写成状态变量的形式，可得：两式写成状态变量的形式，可得：042 )t (uxmlxM.0342 gxxlx.(a)(b)(c)(d)3.1 基于力学理论的机械系统建模基于力学理论的机械系统建模电力电子与电力传动实验室 为得到为得到1阶微分方程组，解出式阶微分方程组，解出式（d）中的中的 , ,代入代入式（式（c c），并注意到），并注意到M m，则有：，则有：.xl4)t (umgxxM. 32(e) 再解出式（再解出式（c）中的）中的 ，并代入式（，并代入式（d），可得：），可得：2.x034 )t (

8、uMgxxMl. 于是，于是，4 4个个1 1阶微分方程为：阶微分方程为：)t (uMlxlgx,xx)t (uMxMmgx,xx.1 1 34.4332.21 3.1 基于力学理论的机械系统建模基于力学理论的机械系统建模电力电子与电力传动实验室 系统状态方程则为：系统状态方程则为：uBAXX00010000000010l /gM/mgAMl/M/1010B4321xxxxX4321xxxxX3.1 基于力学理论的机械系统建模基于力学理论的机械系统建模电力电子与电力传动实验室3.2 能量法推导运动方程能量法推导运动方程 设力设力 F 作用于作用于 a 至至 b 连接路径中运动的质点连接路径中运

9、动的质点 m 上，上，那么那么 F 所作的功可一般描述为所作的功可一般描述为)(dzFdyFdxFFdsWzybaxba 能量能量 一般情况下，能量可以定义为做功的能力。机一般情况下，能量可以定义为做功的能力。机械系统中能有械系统中能有势能势能和和动能动能两种形式。两种形式。 功率功率是做功的速率，即：是做功的速率，即： dW 表示在表示在dt 时间间隔内所作的功。时间间隔内所作的功。tWPdd 功率功率功、能、功率功、能、功率能量法推导运动方程能量法推导运动方程电力电子与电力传动实验室 例例3.7 如右图表示一个半径为如右图表示一个半径为R、质量为、质量为m的均质圆的均质圆柱体，它可以绕其转

10、轴自由转动并通过一个弹簧与墙壁柱体，它可以绕其转轴自由转动并通过一个弹簧与墙壁连接。假设圆柱体纯滚动而无滑动，求系统的动能和势连接。假设圆柱体纯滚动而无滑动，求系统的动能和势能并导出系统运动方程。能并导出系统运动方程。 圆柱体的动能等于质心移动动能和绕质心转动的动圆柱体的动能等于质心移动动能和绕质心转动的动能之和。能之和。 .2 .22121 JxmT 动动能能 系统由于弹簧变形所产生的势能为系统由于弹簧变形所产生的势能为221kxU 势能势能 系统总能量为系统总能量为2 .2 .2212121kxJxmUT kRx 3.2 能量法推导运动方程能量法推导运动方程电力电子与电力传动实验室 因无滑

11、动的滚动，因此，因无滑动的滚动，因此，x=R。并且注意到转动惯。并且注意到转动惯量量 J 等于等于1/2mR2 ，我们得到，我们得到2 .22143kxxmUT 能量守恒定律，总能量为常数，故：能量守恒定律，总能量为常数，故： 0 23 23dd. xkxxmxkxxxmtUT032 0 23. xmkxkxxm或或也可写成转动运动方程得：也可写成转动运动方程得：032 . mk3.2 能量法推导运动方程能量法推导运动方程电力电子与电力传动实验室3.3 拉格朗日方程（多自由度系统）拉格朗日方程（多自由度系统） 将将x1,x2, xn作为作为n个自由度系统的一套广义坐标，系个自由度系统的一套广义

12、坐标，系统的运动由统的运动由n个微分方程表示，其中广义坐标是因变量，个微分方程表示，其中广义坐标是因变量，时间为自变量。时间为自变量。 系统在任意瞬时的势能：系统在任意瞬时的势能： 系统在同瞬时的动能：系统在同瞬时的动能： 拉格朗日函数定义为拉格朗日函数定义为niQxLxLtiii, 2 , 1 , )(dd . ),(21nxxxV ),(.2.1.nxxxT ),(.2.1.21nnxxxxxxL VTL 令令 是广义坐标的变分，非保守力（外是广义坐标的变分，非保守力（外力和摩擦力等）在广义坐标上的虚功可以写成力和摩擦力等）在广义坐标上的虚功可以写成nxxx ,21 iniixQW 1拉格

13、朗日方程为：拉格朗日方程为：电力电子与电力传动实验室)(dd)(dd)(21212121 )(212121211.2.222.1.2.21.111.212221.222.211212221.222.21111yycfyLyLtyycycyLyLtyykykyMyMVTLyykykVyMyMT ；拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日函数拉格朗日函数 例例 3.8 例例3.4系统如图所示，运用拉格朗日方程建立该系统如图所示，运用拉格朗日方程建立该系统的数学模型。系统的数学模型。1c1M2c2M1y2yf1k2k解解: 选择选择y1，y2为广义坐标系，其系统动能和势能分别为为广义坐标系，其系统动能和势能

14、分别为3.3 拉格朗日方程（多自由度系统）拉格朗日方程（多自由度系统）电力电子与电力传动实验室21222212222121.22122.21.2.222221212.21.21.2111.2.2122.2221.2.21.112211.2110000)()()()()()(:yyYfFkkkkkKcccccCMMMFKYYCYMfykykycycyMykykkycyccyMyycfyykyMyycycyykykyM 其其中中：矩矩阵阵形形式式：转转换换得得由由拉拉格格朗朗日日方方程程得得3.3 拉格朗日方程（多自由度系统）拉格朗日方程（多自由度系统）电力电子与电力传动实验室 例例 3.9 某行

15、星滚动机构中有一质量为某行星滚动机构中有一质量为m，半径为，半径为 r 的的实心圆柱在半径为实心圆柱在半径为R，质量为，质量为M的圆筒内无滑动地滚动。的圆筒内无滑动地滚动。已知圆柱和圆筒对轴心已知圆柱和圆筒对轴心O的转动惯量分别为的转动惯量分别为m(R-r)2 和和 MR2圆柱对轴心圆柱对轴心O的转动惯量为的转动惯量为mr2/2,建立圆筒绕其轴心建立圆筒绕其轴心转动时，该系统运动数学模型。转动时，该系统运动数学模型。 Mg ROA rO3.3 拉格朗日方程（多自由度系统）拉格朗日方程（多自由度系统）电力电子与电力传动实验室 该系统为两自由度系统。取广义坐标分别为圆筒转角该系统为两自由度系统。取

16、广义坐标分别为圆筒转角和圆柱轴心偏离角和圆柱轴心偏离角。由于圆柱与圆筒间的运动是无滑动。由于圆柱与圆筒间的运动是无滑动纯滚动，故在接触点纯滚动，故在接触点A处它们具有相同的线速度处它们具有相同的线速度 系统动能系统动能T为圆柱滚动和圆筒转动为圆柱滚动和圆筒转动所具有的动能所具有的动能:rrRRvA )(. 2.22.2222.22.22)(4)(21241)(212 RrRmrRmMRmrrRmMRT Mg ROA rO3.3 拉格朗日方程（多自由度系统）拉格朗日方程（多自由度系统）电力电子与电力传动实验室 系统的动力为重力，圆筒的势能等于零。系统的动力为重力，圆筒的势能等于零。 则系统的势能

17、为则系统的势能为 cos)(rRmgV 拉格朗日函数得：拉格朗日函数得：cos)()(4)(2122.22.22rRmgRrRmrRmMRVTL 代入拉格朗日方程有代入拉格朗日方程有 0sin2)(30)()2(. gRrRrRmRmM 即为该行星滚动机构的运动数学模型。即为该行星滚动机构的运动数学模型。3.3 拉格朗日方程（多自由度系统）拉格朗日方程（多自由度系统）电力电子与电力传动实验室 例例 3.10 用拉格朗日方程建立图示系统运动的微分用拉格朗日方程建立图示系统运动的微分方程，用方程，用1、2和和x作为广义坐标，以矩阵的形式写出作为广义坐标，以矩阵的形式写出微分方程。微分方程。 解：系统在任意时刻的动能为解：系统在任意时刻的动能为2.22.221.1212121xmIIT 系统在同一时刻的势能为系统在同一时刻的势能为mgxrrkrxkV 22121)22(321)(21 拉格朗日函数为拉格朗日函数为VTL mgxkrkrkrkrkrxkxxmIIL 212222212212122.22.221.11266 2121212121 3.3 拉格朗日方