第二章_机电系统的数学模型

1、机电工程学院机电工程学院机械类专业技术基础课20201313年年9 9月月机电系统控制基础机电系统控制基础哈尔滨工业大学 机电工程学院课程目录第第6 6章章 机电控制系统的设计与校正机电控制系统的设计与校正第第1 1章章 绪绪 论论第第3 3章章 系统的时域分析法系统的时域分析法第第2 2章章 系统的数学模型系统的数学模型第第4 4章章 系统的频域分析法系统的频域分析法第第5 5章章 稳定性及稳态误差分析稳定性及稳态误差分析第第7 7章章 计算机控制系统计算机控制系统哈尔滨工业大学 机电工程学院第2章 系统的数学模型教学内容哈尔滨工业大学 机电工程学院教学内容哈尔滨工业大学 机电工程学院实际控

2、制系统实际系统的组成框图建立各组成工作框的数学模型系统稳定性系统稳态性系统动态性找出改进系统的有效方法应用分析研究 系统建模搞清系统的工作原理引言稳稳准准快快哈尔滨工业大学 机电工程学院 为什么要建立系统的数学模型？ 什么是数学模型？ 如何建立数学模型（建模方法）？2.1 控制系统数学模型的概念 哈尔滨工业大学 机电工程学院研究与分析一个系统，首先要定性地了解系统的工作原理及其特性。但是，如果想对系统进行控制，或系统在运行过程中出现故障，或者要进一步改善系统的性能，那么，仅仅了解工作原理和特性是完全不够的。我们还要定量地描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与动态性能之间的关系。这就需要建立

3、系统的数学模型。为什么建立系统的数学模型为什么建立系统的数学模型Why？对系统从定性的认识上升到定量的精确分析与设计的需要。2.1 控制系统数学模型的概念 哈尔滨工业大学 机电工程学院什么是数学模型什么是数学模型What？ 系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在的关系。对于同一系统，可以建立多种形式的数学模型。如微分方程、传递函数、时间响应函数、频率特性及状态空间模型等。2.1 控制系统数学模型的概念 哈尔滨工业大学 机电工程学院数学模型数学模型微分方程传递函数频率特性时域复数域频域时间响应B

4、ode图Nyquist图2.1 控制系统数学模型的概念 哈尔滨工业大学 机电工程学院分析法：根据系统和元件所遵循的有关定律来推导出数学表达式。实验法：人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应通过数据整理，拟合出比较接近实际系统的数学表达式。 简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。 任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。如何建立数学模型（建模方法）（如何建立数学模型（建模方法）（How）例如：牛顿运动定律、欧姆定律、克希荷夫定律；虎克定律；流体力学。2.1 控制系统

5、数学模型的概念 哈尔滨工业大学 机电工程学院2.2 系统的微分方程系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院一、系统的微分方程概念及分类一、系统的微分方程概念及分类微分方程：在时域中描述系统（或元件）动态特性的数学模型。利用微分方程可求得其他形式的数学模型，因此是利用微分方程可求得其他形式的数学模型，因此是最基本的数学模型。最基本的数学模型。线性系统线性系统非线性系统非线性系统系统系统线性定常系统线性定常系统线性时变系统线性时变系统2.2 系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院线性系统线性系统系统的数学模型能用线性微分方程描述。微分方程的系数为常数微分方程的某一（些）系数随时间的变化。线性

6、时变系统：线性定常系统：)()()()(12txtytyktyk )()()()()()(12txtytytktytk 线性系统特点：可以运用叠加原理。即系统在有多个输入量同时作用于系统时，可以逐个输入，求出对应的输出，然后把各个输出进行叠加，即为系统的总输出。2.2 系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院线性系统线性系统叠加原理叠加原理: :线性线性是指系统满足是指系统满足叠加原理叠加原理，即：，即：)()()(2121xfxfxxf 可加性：可加性：)()(xfxf 齐次性：齐次性：)()()(2121xfxfxxf或：或：2.2 系统的微分方程A实际的物理系统都不可能是线性系统。但是

7、，通过近似处理和合理简化，大量的物理系统都可在足够准确的意义下和一定的范围内视为线性系统进行分析。哈尔滨工业大学 机电工程学院用非线性微分方程描述的系统称非线性系统，它不用非线性微分方程描述的系统称非线性系统，它不能使用叠加原理。能使用叠加原理。221212222112)()()()()()();()()()(但但是是txtxtytytxtytxtytxty 非线性系统非线性系统为解决非线性带来的问题通常采用局部线性化为解决非线性带来的问题通常采用局部线性化2.2 系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院a)建立物理模型（包括力学模型、电学模型等），确定系统或元件的输入量和输出量；b)按照信

8、号的传递顺序，根据各元件或环节所遵循的有关定律建立各元件或环节的微分方程；c)消去中间变量，得到描述系统输入量和输出量之间关系的微分方程；d)整理为标准式，将与输出量有关的各项放在方程的左侧，与输入量有关的各项放在方程的右侧，各阶导数项按降幂排列。 二、系统微分方程的建立步骤2.2 系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院2.2 系统的微分方程对线性定常系统，其微分方程的一般形式如下：对线性定常系统，其微分方程的一般形式如下：)()(.)()()()(.)()(0111101111trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn哈尔

9、滨工业大学 机电工程学院A任何机械系统的数学模型都可以用牛顿定律来建立。A机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可以用质量、弹性和阻尼三个要素来描述。A惯性和刚度较大的构件可以忽略其弹性，简化为质量块；惯性小，柔度大的构件可以简化为弹簧。A质量弹簧阻尼系统是常见的对机械系统的抽象。2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院 考虑如图所示的质量弹簧系统，考虑如图所示的质量弹簧系统，滑动表面与质量块之间的摩擦力滑动表面与质量块之间的摩擦力设为粘性阻尼模型，分析在外力设为粘性阻尼模型，分析在外力f(t)作用下模型的输出作用下模型的输出y的变化规的变化规律。律。质量质量弹簧弹簧阻尼系统

10、阻尼系统2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院质量弹簧阻尼系统各部分基本物理规律： 质量（块）质量（块）由牛顿运动定律：由牛顿运动定律：2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院 弹簧弹簧由胡克定律：由胡克定律：2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院 粘性阻尼（粘性阻尼（液压、气压活塞推杆液压、气压活塞推杆）2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院 以弹簧平衡时系统的位置为初始平衡点，由牛顿第二定律牛顿第二定律建立力平衡方程：)()()()(22tKydttdybtfdttdyM2.2.2 机械系统的微分方程MgtftK

11、ydttdybdttdyM)()()()(2220002( )( )( )( )dy tdy tMbKy tf tdtdt进行坐标变换：进行坐标变换：哈尔滨工业大学 机电工程学院 图为组合机床动力滑台铣平面时的情况，当切削力f(t)变化时，滑台可能产生振动，从而降低被加工工件的表面质量和精度。试建立切削力f(t)与滑台质量块位移y(t)之间的动力学模型。实例实例: 机械平移系统机械平移系统2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院解：首先将动力滑台连同铣刀抽象成质量弹簧阻尼系统的力学模型。根据牛顿第二定律 将输出变量项写在等号的左边，将输入变量项写在等号的右边，并将各阶导数项按

12、降幂排列，得 22d)(d)(d)(d)(ttymtkyttyBtf)()(d)(dd)(d22tftkyttyBttym2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院机械转动系统机械转动系统K K i i( (t t) ) o o( (t t) )0 00 0T TK K( (t t) )T TB B( (t t) )B B粘性液体粘性液体齿轮齿轮J JJ J 旋转体转动惯量；旋转体转动惯量；K K 扭转刚度系数；扭转刚度系数；B B 粘性阻尼系数粘性阻尼系数柔性轴柔性轴2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院实例实例: 机械转动系统机械转动系统 如下图示定轴转

13、动系统，旋转体的转动惯量等效为J，转动轴所受的摩擦设为粘性摩擦，阻尼系数为B，转动轴连接刚度为K，等效模型如图(b)所示。 若驱动力矩为T，则根据转矩平衡方程，有：KdtdBdtdJT222.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院 考虑图示转动系统， 为输入力矩 ，试列写以 为输出变量的微分方程。22实例实例: 机械转动系统机械转动系统2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院以角位移隔离两个惯性体，（输出设两个变量分别为 ， 列写力矩平衡方程为：2111122121221222222)()(dtdBKdtdJdtdBKdtdJ12212221221222212

14、1323122142421KKdtdBdtdJdtdKBKBdtdBBKJKJdtdBJBJdtdJJ1?2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院2.2.2 机械系统的微分方程机械系统中基本物理量的折算 图(a)为丝杠螺母传动机构，(b)为齿轮齿条传动机构，(c)为同步齿形带传动机构，求三种传动方式下，负载m折算到驱动电机轴上的等效转动惯量J实例实例:电机驱动进给装置哈尔滨工业大学 机电工程学院电机驱动进给装置等效系统J电动机等效转动惯量按等功原理，工作台等直线运动部件质量m的等效转动惯量为：22LmJL 丝杠螺距，即丝杠每转一周工作台移动的直线距离。2.2.2 机械系统的微

15、分方程工作台m丝杠L电动机哈尔滨工业大学 机电工程学院Lv2 22LLLLL22mdddTtmm2 dt22dt2dt LdvTt2mLdt2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院2.2.2 机械系统的微分方程解：对图2-4(b)和(c)所示的情况，设齿轮或皮带轮的分度圆半径为r，负载m可以看作一个质点绕齿轮或带轮转动，则负载折算到电机轴上的等效转动惯量为2mrJ 哈尔滨工业大学 机电工程学院 齿轮传动装置 z1T11T22z2齿轮副假设齿轮传动中无功率损耗，且忽略齿轮转动惯量、啮合间隙与变形，则：2112211221rrzzTTT1、T2：转矩1、2：角位移1、2：角速度z

16、1、z2：齿数r1、r2：齿轮分度圆半径2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院T1z1T22z2J1D1J2D2T1集中参数齿轮副模型：J1、J2 ：齿轮（包括轴）的转动惯量D1、D2：啮合齿轮、支承粘性阻尼系数T ：输入转矩2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院齿轮1：)()()()(1112121tTdttdDdttdJtT齿轮2：dttdDdttdJtT)()()(2222222)()(),()(12122211tzzttTzztT利用：有：dttdDzzdttdJzztT)()()(12221212222112.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工

17、业大学 机电工程学院dttdDdttdJtTII)()()(1212式中：22211JzzJJI 等效折算到输入端的转动惯量其中，动惯量折算到齿轮1一侧的等效转动惯量为齿轮2 一侧的转2221Jzz2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院22211DzzDDI 等效折算到输入端的粘性阻尼系数等效折算到输入端的粘性阻尼系数显然，利用显然，利用 ，齿轮，齿轮2 一一12211221zzTT侧的转矩、转速和角位移同样可等效折算到侧的转矩、转速和角位移同样可等效折算到齿轮齿轮1一侧。一侧。其中，其中，性阻尼系数折算到齿轮性阻尼系数折算到齿轮1一侧的等效一侧的等效粘性阻尼系数粘性阻尼系

18、数为齿轮为齿轮2 一侧的粘一侧的粘2221Dzz2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院考虑扭转弹性变形效应时，齿轮2一侧的扭转刚度系数等效到齿轮1一侧时，刚度系数也应乘以221zz。即若K1、K2 分别为齿轮1 和2的扭转刚度系数，则齿轮1 一侧的等效刚度KI为：22211111KzzKKI2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院 当折合到主动轴上时，从动轴上的转动惯量和阻尼系数都要除以传动比的平方，负载转矩除以传动比。因此，减速传动时，相当于电动机带的负载变小了，也可以说电动机带负载的力矩增大了。 反之，当折合到从动轴上时，主动轴上的转动惯量和阻尼系数都

19、要乘以传动比的平方，输入转矩乘以传动比。结论：2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院 机床进给传动链2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院m(t)为工作台位移xo(t)折算到I轴上的等效当量转角：空载时，I轴转矩平衡方程为：0)()()()(22txtKdttdDdttdJimmm其中，xi(t)为I轴输入转角；)(21)(21txLi itomL为丝杠螺距2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院 分别为工作台及各轴折算到I轴上的等效总转动惯量、等效总粘性阻尼系数及等效总刚度系数。2.2.2 机械系统的微分方程2222331111232

20、24242zzzzzLJJJJmzz zz z CLzzzzC2243212KCJ,)11()(1)(1132341222121?KKzzzzKzzKKKK221哈尔滨工业大学 机电工程学院根据上述关系，可求得系统微分方程为：2.2.2 机械系统的微分方程ioooXKzzzzLXKdtdXCdtXdJ)(2(432122哈尔滨工业大学 机电工程学院非线性微分方程的线性化控制系统中非线性问控制系统中非线性问题普遍存在，理论和题普遍存在，理论和分析方法又不成熟，分析方法又不成熟，怎么办？怎么办？在一定条件下，将非在一定条件下，将非线性问题通过线性问线性问题通过线性问题求解方法来处理，题求解方法来处

21、理，可有效解决！可有效解决！哈尔滨工业大学 机电工程学院 系统通常都有一个预定工作点，即系统处于某一平衡位置。对于自动调节系统或随动系统，只要系统的工作状态稍微偏离此平衡位置，整个系统就会立即作出反应，并力图恢复原来的平衡位置。系统各变量偏离预定工作点的偏差一般很小。因此，只要作为非线性函数的各变量在预定工作点有导数或偏导数存在，那么就可在预定工作点处将系统的这一非线性函数以其自变量的偏差形式展开成Taylor级数。若偏差很小，则级数中此偏差的高次项可以忽略，只剩一次项，最后获得系统的线性函数。非线性微分方程的线性化哈尔滨工业大学 机电工程学院 泰勒级数展开法 函数y=f(x)在其平衡点（x0

22、, y0）附近的泰勒级数展开式为： 3003320022000)()(!31)()(!21 )()()()(xxxxdxxfdxxxxdxxfdxxxxdxxdfxfxfy略去含有增量x=x-x0的高次项，则：)()()(000 xxxxdxxdfxfy0)(xxdxxdfK或：y - y0 = K (x-x0)=K x，其中： 上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程; y0 = f (x0)称为系统的静态方程.非线性微分方程的线性化哈尔滨工业大学 机电工程学院对多变量系统，如：y = f (x1, x2)，同样可采用泰勒级数展开获得线性化的增量方程。 )()(),(2022101120

23、10202101202101xxxfxxxfxxfyxxxxxxxx22110 xKxKyyy增量方程：),(20100 xxfy 静态方程：2021012021012211,xxxxxxxxxfKxfK其中：非线性微分方程的线性化哈尔滨工业大学 机电工程学院 滑动线性化切线法 0 xy=f(x)y0 x0 xyy非线性关系线性化A线性化增量增量方程为：y y =xtg切线法是泰勒级数法的特例。非线性微分方程的线性化哈尔滨工业大学 机电工程学院实例实例液压伺服机构液压伺服机构负载负载m的动力学方程的动力学方程：流量连续性方程流量连续性方程：系统分析：系统分析：根据液体流经微小缝隙的流量特性，流

24、量根据液体流经微小缝隙的流量特性，流量q q、压力、压力p p以及阀口以及阀口x x是非线性关系：是非线性关系：非线性微分方程的线性化哈尔滨工业大学 机电工程学院小偏差线性化分析：小偏差线性化分析：1)1)在工作点在工作点（x x0 0, ,y y0 0) )邻域进行小偏差线性化：邻域进行小偏差线性化：00000000,pppqxxxqpxqpxqppxxppxx2)2)假定偏差很小，略去偏差的高阶项，并取增量关系：假定偏差很小，略去偏差的高阶项，并取增量关系：pKxKqcq3)3)取坐标原点为工作点，略去增量符号：取坐标原点为工作点，略去增量符号：qxKKpqc1代入动力学方程：代入动力学方

25、程：qcqK xK p非线性微分方程的线性化哈尔滨工业大学 机电工程学院小偏差线性化要点：小偏差线性化要点：A明确系统工作点；本例q,x,p在预定工作点值均为零。A变量偏离工作点位置应足够小；A本质非线性函数不能线性化；A线性化后的方程是以增量为基础的增量方程。非线性微分方程的线性化哈尔滨工业大学 机电工程学院A任何电气系统的数学模型都可以用克希霍夫电流和电压定律来建立。A电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。A电路分析主要对象：感抗、电压、电流A电气系统建模：列写各元件的感抗、电压与电流之间关系2.2.4 电气系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院电容：电压电容：电压=电流的积分，电容

26、值的倒数是常系数电流的积分，电容值的倒数是常系数电感：电压电感：电压=电流的微分，电感值是常系数电流的微分，电感值是常系数2.2.4 电气系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院克希霍夫电流定律：流进节点的电流之和，等于流出同 一节点的电流之和 。克希霍夫电压定律：在任意瞬间，在电路中任意环路的 电压的代数和等于零，或者可以描 述为：沿某一环路的电压降之和， 等于沿该环路的电压升高之和。04321vvvvEEv1v2v3v4i1i2i3123iii2.2.4 电气系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院 把代入，并进行整理得：把代入，并进行整理得：解：解：(1)确定输入输出量确定输入输出量

27、iuouLRCi这是一个线性定常二阶微分方程。这是一个线性定常二阶微分方程。(2)列写微分方程列写微分方程(3)消去中间变量消去中间变量实例： 建立图所示的LRC电路的数学模型。 2.2.4 电气系统的微分方程)()()()(22tututudtdRCtudtdLCioooiuidtCRidtdiL101uidtC哈尔滨工业大学 机电工程学院实例：实例：电枢控制直流电动机的微分方程电枢控制直流电动机的微分方程 试列写下图所示电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压 为输入量，电动机转速 为输出量。图中 、 分别是电枢电路的电阻和电感， 是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通为常值。2.2

28、.5 机电系统的微分方程aRaLauaiaEM_fi负载mmfJm)(Vtua)(tm)(srad)(aR)(HLacM电枢控制直流电动机原理图 哈尔滨工业大学 机电工程学院2.2.5 机电系统的微分方程(1) 电枢回路电压平衡方程：aaaaaaEtiRdttdiLtu)()()(2) 电磁转矩方程：)()(tiCtMamm(3) 电动机轴上的转矩平衡方程： )()()()(tMtMtfdttdJcmmmmm整理得： )()()()()()()()(22tMRdttdMLtuCtCCfRdttdJRfLdttdJLcacaammemmammamammaaRaLauaiaEM_fi负载mmfJm

29、哈尔滨工业大学 机电工程学院2.2.5 机电系统的微分方程aL在工程应用中，由于电枢电路电感 较小，通常忽略不计，因而上式可简化为：)()()()(12tuKtMKtdttdTacmmm)(emmamamCCfRJRT)(1emmamCCfRCK)(2emmaaCCfRRK式中是电动机机电时间常数(s)，是电动机传递系数。如果电枢电阻 和电动机的转动惯量 都很小而忽略不计时，式(2-25)还可进一步简化为：)()(tutCame此时，电动机可作为测速发电机使用。 哈尔滨工业大学 机电工程学院本讲小结本讲小结A了解系统数学模型的表现形式；了解系统数学模型的表现形式；A掌握微分方程的列写方法；掌握

30、微分方程的列写方法；A掌握机械系统微分方程的建立；掌握机械系统微分方程的建立；A掌握电气系统微分方程的建立。掌握电气系统微分方程的建立。作业：作业：教材：教材： 2.22.52.2 系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院2.3 系统的传递函数系统的传递函数教学内容哈尔滨工业大学 机电工程学院补充：拉氏变换教学内容哈尔滨工业大学 机电工程学院1、Laplace变换的定义变换的定义 dtetfsFst0记为记为 tfLsF称称F(s)为为f(t)的的Laplace变换（简称拉氏变换）变换（简称拉氏变换）。其中其中s=+ j为复数。为复数。若一个时间函数若一个时间函数 f（t），称为，称为原函数

31、原函数，经过下式计算转，经过下式计算转换为换为象函数象函数F (s)：哈尔滨工业大学 机电工程学院1、Laplace变换的定义变换的定义 若已知若已知F(s)，求原函数，求原函数f(t)，则称为，则称为Laplace反（逆）变换反（逆）变换（简称拉氏反（逆）变换）（简称拉氏反（逆）变换），即，即 dsesFjtfstjj21记为记为 sFLtf1显然，若显然，若F(s)F(s)是是f(t)f(t)的拉氏变换，则的拉氏变换，则f(t)f(t)是是F(s)F(s)的拉的拉氏反变换。氏反变换。 哈尔滨工业大学 机电工程学院 （1）当）当t 0时，时，f (t)= 0； （2）f(t)只有有限个间断点

32、，且能找到适当的只有有限个间断点，且能找到适当的 s，使，使 dtetfst0成立成立。在控制系统中的时域函数一般均满足以上两个条件，故在控制系统中的时域函数一般均满足以上两个条件，故均可进行拉氏变换。均可进行拉氏变换。 从数学角度考虑，一个时域函数从数学角度考虑，一个时域函数f(t)能够进行拉氏变换的能够进行拉氏变换的条件为：条件为： 哈尔滨工业大学 机电工程学院65 0tktutf设设 0stkF sU sL u tL kkedts故故01tkskL则则（1）阶跃函数阶跃函数常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院)(tf)(sF)(t1)(tus1tnsnn1!a

33、te1saetatn )(1!asnnsin t22scos t22sssinatte22()s acosatte22()s as a)(tf)(tf)(sF)(sF典型拉氏变换典型拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院（1）叠加定理叠加定理2、拉氏变换的主要运算定理、拉氏变换的主要运算定理若若则则 tftftf21 sFsFtftfLsF2121（2）比例定理比例定理若若则则 sFtfLtkftf111 sFktfLsF1哈尔滨工业大学 机电工程学院（3）微分定理微分定理若若则则 tfLsF 0fsFsdttdfL其中其中 tffttlim000相当于初始条件。于是相当于初始条件。于是 000

34、222fsfsFsfdtdfsLdtdfdtdLdtfdL若为零初始条件，即若为零初始条件，即 000001 nffff则则 sFsdttfdLsFsdttfdLsFsdttdfLnnn222哈尔滨工业大学 机电工程学院（4）积分定理积分定理若若则则 tfLsF sfssFdttfL01其中其中 dttff01在在t =0处的值。同理有处的值。同理有 sfsfsfssFdttfLnnnnn000121若若 000021nfff则则 nnssFdttfL哈尔滨工业大学 机电工程学院 （5）位移定理若则 tfLsFsFtfeLt （6）延迟定理若则 tfLsF sFetfLs （7）初值定理 ss

35、Ftfstlimlim0（8）终值定理 ssFtfstlimlim0哈尔滨工业大学 机电工程学院4、求拉氏反变换的部分分式展开法、求拉氏反变换的部分分式展开法若若 tfLsF且且 sFsFsFsFn21若若 sFsFsFn,21的拉氏反变换容易求出的拉氏反变换容易求出, 111212 nnf tLF sLF sF sF sf tf tf t分别为分别为f1(t)， f2(t) ， fn(t )，则，则F(s)的拉氏反变换为的拉氏反变换为哈尔滨工业大学 机电工程学院724、求拉氏反变换的部分分式展开法、求拉氏反变换的部分分式展开法设设 nmpspspszszszsKsAsBsF2121式中式中n

36、ppp,21和和mzzz,21分别是分别是 sF的的极点极点和和零点。零点。下面讨论三种情况。下面讨论三种情况。求其拉氏反变换的任务主要变成如何将求其拉氏反变换的任务主要变成如何将F(s)进行分解为进行分解为简单相之和，再求得各简单相的拉氏反变换，再求和即简单相之和，再求得各简单相的拉氏反变换，再求和即得到得到f(t)哈尔滨工业大学 机电工程学院73（1）极点为各不相同实数，）极点为各不相同实数，F(s)可化为如下形式可化为如下形式: 1212nnB scccF sA sspspsp则则 1212np tp tp tnf tc ec ec e式中，式中，c ci i为常数，称为为常数，称为s

37、s = = p pi i极点处的留数。极点处的留数。( ) ()iis picF ssp哈尔滨工业大学 机电工程学院74例例1 已知已知 ,213ssssF求求 tf解：因为解：因为 2112213ssssssF所以所以 tteessLtf2122112哈尔滨工业大学 机电工程学院75例例2 2：求求)6(2)(22ssssssF的原函数。的原函数。解：解：23)2)(3(2)6(2)(321222sAsAsAsssssssssssF31)2)(3(2)(0201ssssssssFA158)2(2)()3(3232sssssssFsA54)3(2)()2(2223sssssssFsA21543

38、1158131)(ssssF即：即：)0(5415831)()(231teesFLtftt哈尔滨工业大学 机电工程学院76（2）F(s)具有共轭复数极点具有共轭复数极点p1和和p2，F(s)可化为如下形式可化为如下形式: 312123nnB sccccF sA sspspspsp 与（与（1）相同，可根据下式求得各系数，然后求出各分式的）相同，可根据下式求得各系数，然后求出各分式的拉氏反变换，取其代数和即可。与（拉氏反变换，取其代数和即可。与（1）不同的是）不同的是c1和和c2也是共也是共轭复数。轭复数。( ) ()iis picF ssp哈尔滨工业大学 机电工程学院77（2）F(s)具有共轭

39、复数极点具有共轭复数极点p1和和p2，F(s)可化为如下形式可化为如下形式: 312123nnB sccccF sA sspspspsp设共轭复数根设共轭复数根p1+j、p2 j12( )() ( )|( )( )() ( )|( )sjsjsjsjA scsjF sB sA scsjF sB s 1121|,|jjccecce()()1211( )2 |cos()jtjttf tc ec ecet哈尔滨工业大学 机电工程学院78（3） F(s)具有具有r 重极点重极点p1，F(s)可化为如下形式可化为如下形式: 11111111nrrrrrrnB scccccF sA sspspspspsp

40、有有: 11121211 1 !2 !nrrrp tptptrrrnf tL F sc tc tc tc ec ec err11 ( )() rrs pcF s sp111 ( )() rrs pdcF s spds111 ( )() !jrr js pjdcF s spjds111111 ( )() (1)!rrs prdcF s sprds哈尔滨工业大学 机电工程学院795、应用拉氏变换解线性微分方程、应用拉氏变换解线性微分方程 求解步骤求解步骤q 将微分方程通过拉氏变换变为将微分方程通过拉氏变换变为 s s 的代数的代数方程；方程； q 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表解代数方程，得

41、到有关变量的拉氏变换表 达式；达式；q 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。 哈尔滨工业大学 机电工程学院80原函数原函数（微分方程的解）（微分方程的解）象函数象函数微分方程微分方程象函数的象函数的代数方程代数方程拉氏反变换拉氏反变换拉氏变换拉氏变换解解代代数数方方程程拉氏变换法求解线性微分方程的过程拉氏变换法求解线性微分方程的过程哈尔滨工业大学 机电工程学院81 实例实例1 1初始条件etytytxetytxtxtt227)()()(210)(2)(2)(3)0(1)0(yx)()(),()(tyLsYtxLsX解：令217)()0()()(22110

42、)(2)(2)0()(ssYyssYsXssYsXxssX得：求解微分方程组：哈尔滨工业大学 机电工程学院82 实例实例1 1初始条件etytytxetytxtxtt227)()()(210)(2)(2)(3)0(1)0(yx解：82( )2 ( )2312( )(1) ( )2ssX sY sssX ssY ss合并同类项23)(21)(ssYssX解得：etettytx223)(,)(作反变换，得：求解微分方程组：哈尔滨工业大学 机电工程学院2.3 系统的传递函数系统的传递函数哈尔滨工业大学 机电工程学院一、传递函数定义及特点一、传递函数定义及特点传递函数：传递函数：线性定常系统线性定常系

43、统在在零初始条件零初始条件下，输出量的下，输出量的Laplace变换与输入量的变换与输入量的Laplace变换之比。变换之比。零初始条件：零初始条件：q t t00时，输入量及其各阶导数均为时，输入量及其各阶导数均为0 0；q 输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即即t t 0 0 时，输出量及其各阶导数也均为时，输出量及其各阶导数也均为0 0；2.3.1 传递函数的基本概念哈尔滨工业大学 机电工程学院线性定常系统微分方程的一般形式线性定常系统微分方程的一般形式设输入设输入xi ( t )，输出为，输出为xo ( t )，则一般形式表示如

44、下：，则一般形式表示如下：取如下零初始条件：取如下零初始条件： 传递函数的一般形式传递函数的一般形式1110111101( )( )( )( )( )( )( )( ) ()nnnonooonnmmmimiiimmdddax tax tax ta x tdtdtdtdddbx tbx tbx tb x tnmdtdtdt2.3.1 传递函数的基本概念哈尔滨工业大学 机电工程学院对微分形式进行对微分形式进行Laplace变换，则有：变换，则有：根据传递函数定义，则有根据传递函数定义，则有G ( s )：2.3.1 传递函数的基本概念哈尔滨工业大学 机电工程学院求传递函数过程求传递函数过程2.3.

45、1 传递函数的基本概念a) 列写系统的微分方程；d)得到传递函数G(s)b)方程两端拉氏变换（初始条件为零）c)右端算子除以左端算子哈尔滨工业大学 机电工程学院 传递函数求解示例传递函数求解示例 q 质量质量- -弹簧弹簧- -阻尼系统的传递函数阻尼系统的传递函数 22( )( )( )( )oddmy tCy tKy tf tdtdt2( )( )( )( )ms Y sCsY sKY sF s2( )1( )( )Y sG sF smsCsK所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：按照定义，系统的传递函数为：按照定义，系统的传递函数为：2.3.1 传递函数的

46、基本概念哈尔滨工业大学 机电工程学院q R-L-C无源电路网络的传递函数 )()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo)()()()(2sUsUsRCsUsULCsiooo11)()()(2RCsLCssUsUsGio所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：LCRouiu( )11( )( )( ),( )( )iodi tLi t dtRi tu tu ti t dtdtCC按照定义，系统的传递函数为：按照定义，系统的传递函数为：2.3.1 传递函数的基本概念哈尔滨工业大学 机电工程学院例1：图示机械系统，输入为xi，输出为xo，求系统传递

47、函数。xixoAk2c2c1k1xB解：以整体为研究对象难于分析；现以节点A、B为研究对象，并增设中间变量x。节点没有质量，所以惯性力为零，考虑节点受力平衡，得微分方程：xxcxxcxxkooiAoi211:xkxxcBo22:2.3.1 传递函数的基本概念哈尔滨工业大学 机电工程学院xixoAk2c2c1k1xB解：1122112222()()( )()()( )iosX sssssskckckckck cX1122112222()()( )( )( )()()oisssG ssssskckcXkckck cX微分方程两端作拉氏变换，消去中间变量X（s）后，得右端算子除以左端算子2.3.1

48、传递函数的基本概念哈尔滨工业大学 机电工程学院 传递函数是复数s域中的系统数学模型，其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。 传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性。若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s)决定，即传递函数表征了系统内在的固有动态特性。 传递函数的分母反应了系统本身与外界无关的固有特性，分子反应了系统本身与外界之间的关系。 传递函数的特点传递函数的特点Xi（s）G（s）Xo（s）系统框图2.3.1 传递函数的基本概念哈尔滨工业大学 机电工程学院 传递函数的特点（续）传递函数分母中s的阶次n不小于分子中s的阶次m。传递函数可以有量纲

49、，也可以无量纲，取决于输入量和输出量的量纲。不同的物理系统可以具有相同的传递函数。同一系统选取不同物理量作为输入输出，传递函数可不同。传递函数的概念，只适用初始状态为零的线性定常系统。2.3.1 传递函数的基本概念哈尔滨工业大学 机电工程学院二、传递函数的特征方程、零点、极点和放大系数 特征方程1110( )mmmmM sb sbsb sb1110( )nnnnN sa sasa sa令：)()()()()(sNsMsXsXsGio则：N(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系统的特征根。特征方程决定着系统的动态特性。2.3.2 系统的复域特征 哈尔滨工业大学 机电工程学院 零点和极点零点和极

50、点 1212( )()()()( )( ) ( )( )()()()ominXsK szszszM sG sKX sN sspspsp为常数）根据多项式定理，将G(s)写成下面的形式： N(s)= (s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根s=pj(j=1, 2, ,n)，称为传递函数的极点；极点就是系统的特征根。 （决定系统瞬态响应曲线的收敛性，即稳定性）式中，M(s)=K(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根s=zi (i=1, 2, , m)，称为传递函数的零点；（影响瞬态响应曲线的形状，不影响系统稳定性）传递函数的零极点形式2.3.2 系统的复域特征 哈尔滨工业大学 机电工程学

51、院 零、极点分布图 将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形称为传递函数的零、极点分布图。图中，零点用“O”表示，极点用“”表示。 G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零极点分布图0 12312-1-2-3-1-2j 模型零、极点决定系统的动态性能；其中极点决定系统的稳定性；零点与极点的距离决定该极点所产生的模态所占比重，距离越远所占比重越大。2.3.2 系统的复域特征 哈尔滨工业大学 机电工程学院令s = 0，则：说 明：G(0)为系统放大系数，决定着系统的稳态输出（从微分方程的角度看，s=0相当于所有的导数项都为零。因此G(0)反应了系统处于静态时，输出与输入的比值。 G(0)由

52、微分方程常数项决定；微分方程零 、极点及放大系数决定着系统的瞬态性能和稳态性能。对系统的研究可变成对系统传递函数零点、极点和放大系数的研究。 放大系数放大系数 1212()()()( ) ()()()mnK szszszG sKspspsp为常数）2.3.2 系统的复域特征 哈尔滨工业大学 机电工程学院关于传递函数的几点说明关于传递函数的几点说明 传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统输入量与输出量之间的关系式；传递函数的概念通常只适用于线性定常系统； 传递函数是 s 的复变函数。传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数； 传递函数是在零初始条件下定义

53、的，即在零时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于相对静止状态。因此，传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律； 传递函数只能表示系统输入与输出的关系，无法描述系统内部中间变量的变化情况。 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，只适合于单输入单输出系统的描述。 小结哈尔滨工业大学 机电工程学院实例：汽车悬挂系统当汽车行驶时，轮胎的垂直位移作用于汽车悬挂系统上，系统的运动由质心的平移运动和围绕质心的旋转运动组成。车体车体车架车架质心质心汽车悬挂系统（垂直方向）汽车悬挂系统（垂直方向）小结哈尔滨工业大学 机电工程学院)()()()()()()(121txtxKtxtxDtxt

54、xKtxmioo )()()()()(22txtxDtxtxKtxmooo m2m1K2DK1xi(t)xo(t)x(t)简化的悬挂系统（垂直方向）简化的悬挂系统（垂直方向）小结哈尔滨工业大学 机电工程学院)()()(122121sXKsXKDssXKKDssmio)()(2222sXKDssXKDssmo21122212132142121)()()()(KKDsKsKmmmKDsmmsmmKDsKsXsXioK121211KKDssm2222KDssmKDs2KDsX(s)Xo(s)Xi(s)小结哈尔滨工业大学 机电工程学院 例：液压缸系统传递函数p 液压缸工作腔压力q 液压缸输入流量fL

55、负载力y 活塞位移m 负载质量（包括活塞、活塞杆等）C 粘性阻尼系数m mp p q qC Cf fL Ly y小结哈尔滨工业大学 机电工程学院根据液流连续性原理，有：根据液流连续性原理，有：dtdpVpKdtdyAqqqqlclmpKqll 漏损流量漏损流量K Kl l ：液压缸总泄漏系数：液压缸总泄漏系数A A ：活塞有效工作面积：活塞有效工作面积dtdyAqm其中，其中， 使活塞移动的有效流量使活塞移动的有效流量小结哈尔滨工业大学 机电工程学院 等效压缩流量等效压缩流量dtdpVqcV V ： 液压缸工作腔和进油管内油液压缸工作腔和进油管内油液体积液体积 ： 油液的体积弹性模量油液的体积

56、弹性模量活塞上的力平衡方程为：活塞上的力平衡方程为：LfdtdyCdtydmAp22小结哈尔滨工业大学 机电工程学院初始条件为初始条件为0 0时：时：)()()(sPsVKsAsYsQl)()()()(2sFsYCsmssAPLsKVl1Csms 21Y Y( (s s) )AsAsQ Q( (s s) )A AP P( (s s) )F FL L( (s s) )小结哈尔滨工业大学 机电工程学院sCKAsCVmKmsVsFsVKsAQsYllLl223)()()(sCKAsCVmKmsVAsQsYll223)()(外负载 FL(s) = 0 时：小结哈尔滨工业大学 机电工程学院基本概念任何复

57、杂的系统总可归结为由一些典型环节所组成。任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节所组成。高阶控制系统传递函数可以化为零阶、一阶、二阶等高阶控制系统传递函数可以化为零阶、一阶、二阶等典型环节的组合。典型环节的组合。具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个部分称为一个环节环节。经常遇到的环节称为。经常遇到的环节称为典型环节典型环节。 环节环节 Xi（s）G（s）Xo（s）环节框图2.3.3 典型环节的传递函数 哈尔滨工业大学 机电工程学院sseekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG12211221) 12()

58、1() 12() 1()(ekkdjjcllbiiTTabK12112100112.3.3 典型环节的传递函数 哈尔滨工业大学 机电工程学院典型环节典型环节1比例环节比例环节定定 义：义：输出量与输入量成正比，输出既不失真也不延迟地反映输出量与输入量成正比，输出既不失真也不延迟地反映输入的环节。输入的环节。传递函数：传递函数：KsRsCsG)()()(Xi（s）KXo（s）比例环节特特 点：点：输出与输入成正比，无输出与输入成正比，无失真和时间延迟失真和时间延迟案案 例：例：电子放大器，齿轮，电子放大器，齿轮，电阻，感应式变送器等。电阻，感应式变送器等。2.3.3 典型环节的传递函数 哈尔滨工

59、业大学 机电工程学院典型环节典型环节2惯性环节（或一阶惯性环节）惯性环节（或一阶惯性环节）定定 义：义：动力学方程为一阶微分方程形式的环节为惯性环节。动力学方程为一阶微分方程形式的环节为惯性环节。动力学方程：动力学方程：传递函数：传递函数：)()()(tKxtxdttdxTioo1)(TsKsG哈尔滨工业大学 机电工程学院典型环节典型环节2惯性环节（或一阶惯性环节）惯性环节（或一阶惯性环节）2.3.3 典型环节的传递函数 哈尔滨工业大学 机电工程学院典型环节典型环节2惯性环节（或一阶惯性环节）惯性环节（或一阶惯性环节）定定 义：义：动力学方程为一阶微分方程形式的环节为惯性环节。动力学方程为一阶

60、微分方程形式的环节为惯性环节。传递函数：传递函数：1)(TsKsG特特 点：点：对突变的输入及其输出不能立即复现，输出无振荡。对突变的输入及其输出不能立即复现，输出无振荡。案案 例：例：多数热力学系统，如热电偶。多数热力学系统，如热电偶。惯性环节由系统中储能元件和耗能元件引起的。惯性环节由系统中储能元件和耗能元件引起的。Xi（s）Xo（s）惯性环节1KT s 2.3.3 典型环节的传递函数 哈尔滨工业大学 机电工程学院定定 义：义：输出正比于微分的环节为微分环节。输出正比于微分的环节为微分环节。动力学方程：动力学方程：传递函数：传递函数：特特 点：点：输出反映输入的微分。输出反映输入的微分。典