第3章静定结构的内力分析

1、3 静定结构的内力分析静定结构的内力分析3.1 概述3.2 静定梁和刚架的内力分析3.3 三铰拱的内力分析3.4 平面桁架的内力分析3.5 组合结构的内力分析3.6 用零载法分析复杂体系的几何构造性质 3.1 概述概述 静定结构：无多余约束的，在作用下，所有的反力和内力均可通过静力平衡方程求得。静定结构内力分析的选择隔离体建立平衡条件3.2 静定梁和刚架的内力分析静定梁和刚架的内力分析3.2.1 静定梁的内力符合及内力图 材料力学规定：下侧纤维受拉为正。轴力轴力FN，剪力，剪力Fs，弯矩，弯矩MFN+dFNFNFS+dFSFSMM+dMdxdxBAMMFNFNFSFS结构力学规定：内力图：表示

2、各截面内力沿杆长的变化规律，通常以平行于杆轴线（包括斜杆）的坐标轴为，用垂直于基线的纵坐标表示内力的数值。剪力和轴力图需标注正负号，而弯矩图习惯绘在杆件受拉一侧，不需标正负号。FNBAFNABFSBAFSABMABMBAB3.2.2 内力图的基本特征内力与荷载间微分关系 ,NSSdFdFdMp xq xFdxdxdx ABxy( )q x( )p xPF0m( )q x( )p xSFNFMNNFdFSSFdFMdMdx内力图的基本特征：弯矩图上某点处切线的斜率等于该处的剪力，剪力的符号与弯矩图的倾斜方向有关SdMFdx梁 正斜率（对应正剪力） 负斜率（对应负剪力）oxy柱柱xxooyy 正斜

3、率负斜率q(x)MCBFNFSCBMBCFSBCFNBCMBCMCBq(x)BCABCDEF( )q x3.2.3 区段叠加法由杆端弯矩由杆端弯矩作图作图由均布荷载由均布荷载q作弯矩图作弯矩图叠加叠加弯矩弯矩图图BCBCBCqqlMBCMCB182ql182MBCMCBql 182MBCMCB2( ) 具体叠加过程：1. “” 将简支梁两端的外力偶对应的支座截面的弯矩纵标“竖”好；2. “” 将上述两纵标联以虚线，作为叠加的新基线；3. “” 将简支梁在跨间横向荷载作用下的弯矩图“粘贴”到新基线上（即将两基线重合），则两图形重叠部分抵消后与杆轴围成的图形即为叠加后的总弯矩图。跨中作用集中荷载：

4、跨中作用集中力偶：MBCMCBBCBCBCFP14F LPMBCMCBBCMBCMCBBCBCm02m0Lm0Lm0MBCMCB2m0剪力图的叠加：对应的剪力图：剪力图的正剪力图的正负如何判断？负如何判断？qqMBCMCBBCBCMBCMCBFSMF =Sq2ql2qlFSMF =Sq2qlF SqF SqFSMFSMF =SM(MBC MCB)/L2qlMBCBCMCBMBCMCBMBCMCBMBCMCBF SMF SM合力矩合力矩合力矩合力矩剪力图的正负取决于两个杆端弯矩对应的，若合力矩为逆时针，则产生正剪力，反之产生负剪力。(a) 杆端弯矩同向，逆时针产生剪力(b) 杆端弯矩反向且 ,剪

5、力(c) 杆端弯矩反向且 ,剪力(d) 杆端弯矩同向顺时针产生剪力lMMFCBBCMSCBBCMM lMMFCBBCMSCBBCMMMSBCCBFMMlMSBCCBFMMl作图示梁的弯矩和剪力图如何求中间如何求中间跨最大正弯跨最大正弯矩矩? ?直接画直接画出悬臂出悬臂端端弯矩弯矩，BC跨跨应用区应用区段叠加段叠加考虑最大正弯矩一定发生在剪力为处：取AE段作为研究对象max04.56EMMkN M由得，BEMmaxFBy2m1.625mFSBA=3kNFSBC=13kNFByB8kN/m3kNA3.2.4 多跨静定梁多跨静定梁实例多跨静定梁简图基本部分基本部分- -不依赖于其他不依赖于其他部分能

6、部分能独立独立承受荷载并承受荷载并维持其几何形状不变的维持其几何形状不变的部分部分附属部分附属部分- -依赖依赖相邻部分相邻部分才能承受荷载并维持其几才能承受荷载并维持其几何形状不变的部分何形状不变的部分层叠图例：试作图所示多跨静定梁的弯矩和剪力图，并利用剪力图求所有支座的竖向反力。层叠图8248MkN M图ABCDFGHE4kN/m10kN m10kN 2m4m2m2m2m2m2m4m=8ql 2882418816231320ABCDFGHE支座隔离体图()FskN图48816121283.510128ABCDFGHE8kN 4kN FAy=12kNABCD12kN 16kN FBy=28k

7、N8kN 3.5kN FCy=4.5kN3.5kN 10kN FDy=13.5kNFAy=ABCDl-xxlllqq(l-x) 2FDy=q(l-x) 2qqFDyBCDAD0.5l0.5l0.5l0.086ql0.086ql0.082qlABCD0.125ql0.125ql0.5l0.414l0.414l 0.172l0.5l0.5lABC22222例：图中的两跨静定梁承受全跨均布荷载作用，为使AD跨中的正弯矩与B支座的负弯矩数值相等，试确定D铰的位置并作其M图。计算从附属部计算从附属部分开始，根据分开始，根据平衡条件，求平衡条件，求得支座得支座D的竖的竖向反力向反力根据题意：MAD中=MB

8、得22822qxxxlqxlqlx172. 03.2.5 静定平面刚架刚架：具有刚性结点且由多杆构成的结构悬臂刚架简支刚架静定平面刚架三铰刚架复合刚架 静定平面刚架的内力分析:先由平衡条件求出支座反力，再用截面法计算主要控制截面的内力进而分段应用区段叠加法作杆件的弯矩图。a. 刚架的弯矩图一律画在杆件的一侧，不标正负号；b. 注意刚架的必要反力和非必要反力。试作图示悬臂刚架的内力图。 当某个刚节点上无外力偶作用时，若只有两杆汇交，则结点两侧的弯矩等值反向，即04CCBCDMMMkN M由，得弯矩图(a)(b)可截取BCD折杆为隔离体，102(2/m 21 ) 16BCMkNmkNmmkN M1

9、6BABCMMkN M刚架上三个荷载对A端的合力矩为：2231211024ABMkN mmmkNmkNmkN M整个刚架弯矩如图：(c)剪力图对图（b）中的杆CD，由知：对图（c）中的隔离体，由知：同理，再将BE、AE间作截面截开杆件，并取右侧部分为隔离体，由知：0yF 224SCDFqLkN mmkN0 xF 10SBCSCBFFkN 0yF 4SEBSBEFFqLkN141216SAESEAPFFqLFkNkNkN轴力图C点：0:0,10 xNCDSCBNCDFFFFkN压0:40,4yNCBNCBFFFkN 压B点：0:100,10 xNBANBAFFFkN压试作图示三铰刚架的M图。qL

10、/2qL/4附附属属部部分分试作图示复合刚架的M图。基本基本部分部分先分析附先分析附属部分属部分qL/2qL/2qLM 图将铰将铰B处的力反向处的力反向作用于基本部分作用于基本部分曲梁-杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下会产生的结构。3.3 三铰拱的内力分析三铰拱的内力分析3.3.1 拱的基本特征及有关概念矢高f拱趾拱趾跨度拱顶拱-杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下会产生的结构，拱截面以承受轴向为主。静定拱静定拱超静定超静定拱3.3.2 三铰拱的受力分析支座反力的计算(a)三铰拱( )b 等代梁fLLaLbABFAxFBxxyFAyFByyDxDDFP1FP2FPiFPnCanbna1a2b2aibi

11、b1FP2FPiFPnMDMCABFAyFByFP1DC（1）竖向反力（2）水平反力0000,BAAyAyByByMMFFFF或知(a)与(b)中竖向力表达一致，即0 xAxBxHFFFF得0CMfMfaLFaLFLFFCaPaPaAyH02211三铰拱的反力只与荷载及三个铰的位置三铰拱的反力只与荷载及三个铰的位置有关，与拱轴线形状无关；有关，与拱轴线形状无关；荷载与跨度一定时，水平推力与矢高成荷载与跨度一定时，水平推力与矢高成反比。反比。截面内力的计算（1）弯矩MK(a) 隔离体(b)支座反力及荷载的分解Ka1a2yKFHFAyxyAKxKFP1FP2MkFSKFNKKKKKFHFAyFP1

12、FP2等代梁等代梁K截面处的弯矩截面处的弯矩等代梁等代梁K截面处的剪力截面处的剪力（2）剪力FSK0KM0yF0KM 1122()()0KAyKPKPKHKMFxFxaFxaFyoKKHKMMFy12coscoscossin0SKAyKPKPKHKFFFFF ，12() cossinoSKAyPPKHKFFFFFcossinoSKSKKHKFFF12()ooSKAyPPFFFF注意拱截面上注意拱截面上剪力的符号规剪力的符号规定同梁和刚架定同梁和刚架等代梁K截面处（2）剪力FSK符号：规定轴力以受压为正，即指向所在截面0 xF12sinsinsincos0NKAyKPKPKHKFFFFF12()

13、 sincosoNKAyPPKHKFFFFF12()ooSKAyPPFFFFsincosoNKSKKHKFFF三铰拱内力：对处理基础又是不利的，故应综合考虑。 仅适用于平拱承受竖向荷载的情况。oKKHKMMFycossinoSKSKKHKFFFsincosoNKSKKHKFFF试求图示带拉杆的圆弧形三铰拱截面K的弯矩。由整体平衡条件：2 1020()AxFkN5()ByFkN5()AyFkN0,0,0 xAyFMF取I-I截面的右半部分为隔离体：05CABMSkN由(拉)221086Kym切开K截面,取右半部分为隔离体：044KKMMkNM由2kN/mAB2mKyKR=10mCFAxFAyFB

14、y2kN/m4mKMKSAB=5kN18mCB5kN0,oooCKKKKoCMMMyyffM3.3.3 三铰拱的合理轴线合理拱轴-在三个铰的相对位置及外荷载一定的情况下，能使任一截面对应的拱轴线。 任一截面K的内力 oKKHKMxMFy0KM由，得只限于三铰平拱受只限于三铰平拱受竖向荷载作用竖向荷载作用例：试分别求图a、b所示全跨及半跨均布荷载作用下三铰拱的合理轴线。(a)全跨均布荷载(b)半跨均布荷载F =ql 2ByoqCyxABfL/2L/2qKCABxL/2L/2F =ql 2AyoyxfABL/ 2L/ 2qABxxL/ 2L/ 2F =3ql 8AyoF =ql 8ByoqCKCK

15、（1）全跨均布荷载任一截面K处的弯矩2( )()2222ookAyxqLxqxqxM xFx qxL x 合理拱轴方程为：2( )4( )()okkocMxfyxfLx xML（2）半跨均布荷载任一截面K处的弯矩23( ),02822ookAyxqLx qxLM xFx qxx ( )()(),82ookByqLLM xFL xL xxL 合理拱轴方程为：2( )2( )(34 ) ,02okkocMxfLy xfLx xxML ( )2( )(),2okkocMxfLy xfL xxLML 在满跨均布荷载作用下的合理拱轴为二次，在半跨均布荷载作用下，为由左半跨的二次与右半跨的组成。3.4 平

16、面桁架的内力分析平面桁架的内力分析桁架工程简介：平面桁架铁路桥体育馆空间桁架屋盖火车站台立体桁架屋盖3.4.1 平面桁架的计算简图跨度桁高下弦杆上弦杆弦杆竖杆斜杆 腹杆平面桁架基本假定：所有结点均为可自由转动的；杆件均为等截面直杆，并汇交于结点中心；外荷载均作用在结点上，且位于桁架平面内。只有轴力，而没有弯矩和剪力3.4.2 平面桁架的分类按几何构造特征分类：简单桁架联合桁架复杂桁架3.4.3 平面桁架的内力分析求解技巧及注意事项：(1) 未知轴力的方向通常可设为拉力（即背离结点方向）；(2) 宜优先截取未知力不超过两个的结点开始依次求解；(3) 选取合理的投影轴；(4) 宜将杆件内力以其分量

17、的形式表示，并利用相似三角 形的比例关系。结点法：例：试用结点法求图示桁架中各杆的内力。100802ANxF2ANyF80kN1ANF2ANF2ANXF2ANYFA0-80435222ANyANxANFFF-60-10060例：试用结点法求图示桁架中各杆的内力。1008001ANF12NF14NF40kN160例：试用结点法求图示桁架中各杆的内力。10080050406080224NF23NF24NxF24NyF435242424NyNxNFFF3040-90利用平衡条件进行校核零杆的判别方法：（1）两杆汇交的结点1210NF20NF121NPFFPF20NF（a）两杆结点无荷载（b）两杆结点

18、有荷载（2）三杆汇交的结点1 231NF30NF 21NNFF（c）三杆结点（3）四杆汇交的结点12341NF3NF2NF4NF34NNFF 12NNFF(d) “X”形(e)“K”形零杆不能随意拆除例：试指出图示桁架中的零杆。000000000ABCDEFHGFPABDEHPF截面法 所截隔离体上的未知杆内力不宜超过3个，并注意选择合理的投影轴和力矩中心。ab10kN10kN10kN4m2m2m2m2m2mBCADEF10kN10kN10kNFFNbFNa例：试求图a所示桁架中a、b杆的内力。030()FNMFkNa由-压力(a)(b)由支座结点C可知,CD杆为零杆030()30 2()xxNbNbFFkNFkN由压力压力结点法和截面法的联合应用试求图a所示桁架中1、2、3杆的内力。2x3mCHFED123FPFPHEDBAFN1BAFFPFPEDBAFN2FNHBHFNHBFN2EFN2FN3FPFPFPFPFP4x4m(a)(b)(c)(d)作-截面并取右隔离体（图b）拉力由PNFFFM201作-截面并取右隔离体（图c）0202PyNHByNyFFFF由yNyNHBFF2PyNFF2222253yNPNyLFFFL300NEF