第3章 正弦交流电路的稳态分析

1、Answer of homework （NO.5）n6-12 见课本习题答案;n6-14 见课本习题答案;n6-15 0.22sn2-16 见课本习题答案;n6-24 见课本习题答案;n3-1 75，i1 超前i2第 3章 正弦交流电路的稳态分析 3.3 单 一 参 数 的 交 流 电 路3.4 复 阻 抗 、复 导 纳 及 等 效 变 换3.2 正 弦 量 的 相 量 表 示 法3.1 正 弦 量 的 基 本 概 念3.5 正弦交流电路中的功率及功率因数3.6 正 弦 稳 态 电 路 的 计 算3.7 串 联 及 并 联 电 路 的 谐 振3.8 耦 合 电 感 电 路 与 理 想 变 压

2、器学 习 目 标 正确理解正弦量的概念，牢记正弦量的三要素。 正确区分瞬时值、最大值、有效值和平均值。 深刻理解正弦量的相量表示法。 深刻理解和掌握交流电路中电阻、电容、电感 元件上的电压、电流之间的相位关系，并能进行相关的计算。 正确区分瞬时功率、平均功率、有功功率、无功功率和视在功率，并会进行计算。 3.1 正弦量的基本概念 若电压、电流是时间 t 的正弦函数，称为正弦交流电。 以电流为例，正弦量的一般解析式为：)sin()(imtIti瞬时值i(t)：时间 t不同时取值不同3.1.1 正弦量的三要素振幅Im ：正弦量变化的最大值相位 ：表示正弦量变化进程。 t初相 ：当t=0时的相位 叫

3、初相位角频率：正弦量单位时间变化的弧度数（rad/s）把振幅、角频率和初相 称为正弦量的三要素。只有确定了三要素，正弦量才是确定的 。、mI波形如图3.1-1所示图 3.1-1 正弦量的波形从波形图中也可读出正弦量的三要素 因为正弦量每经历一个周期的时间T，相位增加2，则角频率、周期T和频率之间关系为： fTfT122即 、T、反映的都是正弦量变化的快慢，越大，即越大或T越小，正弦量变化越快；越小，即越小或T越大，正弦量变化越慢。 3.1.2 频率与周期3.1.3 初相位及相位差初相位 反映正弦量的起始位置，通常在 的范围内取值 用正弦函数表示正弦波形时，把波形图上原点前后正负T/2内曲线由负

4、变正经过零值的那一点作为正弦波的起点。初相角就是波形起点到坐标原点的角度，于是初相角不大于 ，且波形起点在原点左侧 ；反之 。 00图 3.1-2如图3.1-2 所示，初相分别为0、662、 由图可见，初相为正值的正弦量，在t=0时的值为正，起点在坐标原点之左；初相为负值的正弦量，在t=0时的值为负，起点在坐标原点之右。 )sin()()sin()(222111imimtItitIti,),()(2121iiiitt、初相各为、它们的相位各为 设有两个同频率的正弦量为 212112)()(iiiiitt把叫做它们的相位差。 正弦量的相位是随时间变化的，但同频率的正弦量的相位差不变，等于它们的初

5、相之差。同相：初相相等的两个正弦量，它们的相位差为零，反相:如果 ，则两个正弦量反相。超前：如果 ，则表示i1超前i2 012滞后：如果 ，则表示i1滞后i2 012正交：如果 ，则两个正弦量正交21212如图3.1-3（a）、（b）、（c）、（d）分别表示两个正弦量同相、超前、正交、反相。图 3.1-3 i1与i2同相、超前、正交、反相注意：（1） ，否则无法得出导前、之后等结论。（2）比较的正弦信号的表示方法应相同（本书用正弦）。（3）不同频率的正弦量相位差是随时间变化的（本书中谈到的相位差都是指同频率之间的相位差）。， 例：某电路中 ，则他们的三要素分别为多少？有效值为多少？它们的相位差

6、为多少？Ati)30314sin(8Vtu)45314cos(90 同频率正弦量的相位差，不随时间变化，与计时起点的选择无关。为了分析问题的方便，在一些有关的同频率正弦量中，可以选择其中的一个初相为零的正弦量为参考，其他正弦量的初相必须与这个参考正弦量的初相比较，即以其他正弦量的初相等于它们和参考正弦量之间的相位差。在n个正弦量中，只能选择一个为参考正弦量。 1、有效值 周期量的有效值定义为：一个周期量和一个直流量，分别作用于同一电阻，如果经过一个周期的时间产生相等的热量，则这个周期量的有效值等于这个直流量的大小。电流、电压有效值用大写字母I、U表示。根据有效值的定义，则有 RTRdtIiT2

7、02 则周期电流的有效值为TdtTIi0213.1.3 正弦电流、电压的有效值2、正弦量的有效值对于正弦电流，设)sin()(imtItiIImmmTmTimTimTIItTIdttTIdttI707.0222)(2cos12)(202020221sin同理: mmUUU707.021正弦量的最大值与有效值之间存在着 的关系2jeAA AA 3.2 正正 弦弦 量量 的的 相相 量量 表表 示示 法法 3.2.1 复数及其运算规律 图3.2-1代数式：指数式：极坐标式jbaAAArgA1、复数及其表示（1）复数：对于任意实数a、b，定义 为复数。其中j称为虚数单位：j2=-1 （2）表示向量图

8、表示（见图3.2-1）：实部： a虚部：b模：辐角：jbaAcosAa sinAb 22baAabarctan例：代数式与极坐标式互换36236sin236cos2j6 . 028 . 02j2 . 16 . 1j1 .265 .18j5 .181 .26arctan) 1 .26() 5 .18(2267.549 .31jbaAjAAeAAjsincosjeAAabbajbaAarctan22（2）各种表示间的相互转换2、复数运算（1）复数相等：两个复数相等，其实部和虚部分别相等A1A2=（a1+jb1）(a2+jb2) =(a1a2)+j(b1b2) 即：若A1=a1+jb1 A2=a2+

9、jb2 A1=A2则：a1=a2 b1=b2（2）加减运算：两个复数相加（或相减）时，将实部与实部相加（或相减），虚部与虚部相加（或相减）。即：（3）乘除运算：此运算用指数式或极坐标式进行较简单，作乘除运算时，分别把模进行乘除，辐角进行加减。即若：2222211111rjbaArjbaA2121)(2121212121rrerrererAAjjj2121212121rrererjjAA（4）旋转因子 任何一个复数A乘以 等于把复数A逆时针旋转 度，所以称 为旋转因子。je1jejeje90jej1jejej23.2.2 正 弦 量 的 相 量 表 示法 （2）相量与正弦量的关系：一一对应关系

10、把这个复数 分别称为正弦量的有效值相量和振幅相量。特别应该注意，相量与正弦量之间只具有对应关系，而不是相等的关系。 .2,IIIeImji也可表示成：.2UUUeUmju或mUU.和（1）相量表示:用复数来表示正弦量.复数的模和幅角分别等于正弦量的幅值和初相位例 : 已知 u1=141sin(t+60o)V ，u 2 =70.7sin(t-45o)V 。求： 求相量 ；(2) 求两电压之和的瞬时值 u(t) （3） 画出相量图 21UU和VjeUVjeUjj)35.3535.35(504550427 .70)6 .8650(1006010032141452601解（1）（3）相量的表示方法：可

11、以用复数表示方法的任意一种（4）相量的运算：可以用复数运算的任何一种（2）VttuejjUUUj)31sin(255.99)(55.993155.99)35.3535.35()6 .8650(3121（3） 相量图如图3.2-2所示图 3.2-2例：已知：Ati)150314sin(231Atti)60314sin(210)(2求：)()()(21tititi3.2.3、基尔霍夫定律的相量形式1223)(uutu1223UUU33330sin630cos66301jjeUj（1） KCL的相量形式 0I 0U（2）KVL的相量形式例：已知图3.2-3中 Vttu)30sin(26)(1Vttu

12、)60sin(24)(2求 并画相量图。)(23tu图3.2-3解：由KVL得：写成相量形式为：32260sin460cos44602jjeUj例：已知下图中 Atti)9 .36314sin(5)(1Atti)1 .53314sin(10)(2)(ti求：VtgjjjU93.41673. 9196. 7464. 6464. 6196. 7464. 6196. 732233312223Vttu)93.41sin(2673. 9)(23图3.2-4相量图如图3.2-4所示。3.3 单一参数的交流电路 在交流电路中，电压和电流是变动的，是时间的函数。电路元件不仅有耗能元件的电阻，而且有储能元件电感

13、和电容。下面分别讨论它们的伏安关系式（即VAR）的相量形式及在正弦交流电路中的功率。3.3.1 电阻元件中的正弦交流电 （1） 或（2）频率相等（3）初相位相等 比较得电阻元件上正弦电流与电压的相量关系为：IRU设电流、电压为关联参考方向如图3.3-1，解析式为：)sin(umtUu)sin(imtIiummUU对应相量immII对应相量根据欧姆定律得出电流与电压的瞬时值关系为：)sin(imtRIRiu)sin(umtU比较得电阻元件上正弦电流与电压的三要素的关系为：mmRIUmIR一一对应mU一一对应mmIRURIU 图3.3-1图 3.3-2 电阻元件的电压、电流相量及波形图电阻元件上电

14、压、电流相量、波形图如图3.3-2所示。3.3.2 电感中的正弦电流 （1） 或（2）频率相等（3） 比较得电感元件上正弦电流与电压的相量关系为：设电流、电压为关联参考方向如图3.3-3，解析式为：)sin(umtUu)sin(imtIiummUU对应相量immII对应相量根据电感元件上电流与电压的瞬时值关系得：)sin(umtU比较得电感元件上正弦电流与电压的三要素的关系为：mU一一对应ILjUdtdiLu dttIdLim)sin()cos(imtLI)90sin(imtLImmLIULIU90iummILjUmILj一一对应图3.3-3图 3.3-4 电感元件的波形、相量图 电感元件中电

15、压、电流的波形、相量图如图3.3-4所示。可以看出，电感上电流滞后电压为90。ILjU 通常把XL=L定义为电感元件的感抗，它是电压有效值与电流有效值的比值,对于一定的电感L，当频率越高时，其所呈现的抗感越大，反之越小。在直流情况下，频率为零，XL=0，电感相当于短路。IXLIUL 3.3.3 电容中的正弦电流电容中的正弦电流 （1） 或（2）频率相等（3） 比较得电容元件上正弦电流与电压的相量关系为：设电流、电压为关联参考方向如图3.3-5 ，解析式为：)sin(umtUu)sin(imtIiummUU对应相量immII对应相量根据电容元件上电流与电压的瞬时值关系得：比较得电容元件上正弦电流

16、与电压的三要素的关系为：dtduCi dttUdCum)sin()cos(umtCU)90sin(umtCU)sin(imtImmICU1ICU190uimmICjU1ICjU1mUCj一一对应mI一一对应图3.3-5图 3.3-6 电容元件的波形、相量图 以上表明电容电流超前电容电压90，可以用相量图或波形图清楚地说明。如图3.3-6所示。通常把 定义为电容的容抗。IXICUC1ICjU1CXC1例：图 3.3-7中已知R=3 ,C=0.125F, ，求电流 并画相量图。tus2sin212)(ti解：写出各已知量的相量形式：VUsm0212CXC1125. 021 4根据电阻元件上电流与电

17、压的相量关系得：根据电容元件上电流与电压的相量关系得：根据KCL的相量形式得：smCmUCjIRUIsmRm30212A024smCUXj1021241901A9023Aj23A24CmRmmIII2324jA9 .3625Atti)9 .362sin(25)(图 3.3-7相量图如图3.3-8所示.图3.3-8例：下图中已知R=100，C=5F,L=0.3H,Ati)45sin(22srad /103求各元件两端的电压uuuuCLR,。解：写出各已知量的相量模型：AI452LXL3 . 0103 300CXC163105101 200根据各元件上电流与电压的相量关系得：IRUR452100V

18、45200IjXULL452300jV45600IjXUCC452200jV135400根据KVL的相量形式得：CLRUUUU1354004560045200220022002300230021002100jjjV2200tVusin400VtuR)45sin(2200VtuL)45sin(2600VtuC)135sin(24003.4 复 阻 抗 、 复 导 纳及等效变换1、阻抗：（1）定义：无源二端电路，端口电压相量与电流相量之比定义为阻抗。并用Z表示,如图 3.4-1所示图 3.4-1（2）公式： 或IUZmmIUZ2、各独立元件的阻抗：电阻：电感：电容：RIUZRRRLjjXIUZLL

19、LLCjjXIUZCCCC13.4.1 RLC电路的串联、复阻抗3、RLC串联电路的阻抗RLC串联电路如图3.4-2(a)所示： 3.4-2(b)是RLC串联电路的相量模型CLRUUUUCCLLRIjXIjXIRIjXjXRCL)(IUZIIjXjXRCL)(CLjXjXR)(CLXXjR图 3.4-2根据相量形式的KVL得:图 3.4-2ZjCLeZjXRXXjRZ)(所以RLC串联电路的阻抗)(iuiujjjeIUIeUeIUZ 式中 Z 称为阻抗的模，其中X=XL-XC称为电抗，电抗和阻抗的单位都是欧姆。 称为阻抗角，它等于电压超前电流的相位角.22XRIUZZRXXarctgRXarc

20、tgCLiuZ当XLXC ， 0 时,电路呈感性，电压超前于电流一个 角;当XLXC ， 0 时,电路呈容性，电压滞后于电流一个 角;当XL=XC， =0时，电路呈阻性，电压与电流同相位，此时电路处于串联谐振状态.ZZZZZ4、阻抗角与阻抗模例：在RLC串联电路中，已知R=30 , C =40F，L=127mH ， ，求电流 及各元件两端的电压 。 并画相量图。 Vtu)20314sin(2220)(tiCLRuuu,解：写出各已知量的相量模型：VU20220LXL310127314 40CXC1610403141 80串联电路的阻抗为：Z)(CLXXjR)8040(30j4030j3040a

21、rctan4030225350IZU535020220A734 . 4串联电路的电流为：图 3.4-3各元件两端的电压为：IRUR734 . 430V73132LLLIjXU734 . 440901V163176CCCIjXU734 . 480901V17352Ati)73314sin(24 . 4VtuR)73314sin(2132VtuC)17314sin(2352VtuL)163314sin(21765、RLC串联电路的相量图阻抗： Z阻抗模：22XRZ阻抗角：RXarctan阻抗三角形：电压三角形：ZRXR0CLXXX0ZR0CLXXX0ZCLRUUUU0CLXUUU设：0II则：VU

22、IRURR0VUIjXULLL9090CCCUIjXUZCLjXjXRjXR RU0CLXUUUURU0CLXUUUU相量图3.4.2 RLC电路的并联、复导纳 1、导纳：（1）定义：无源二端电路，端口电流相量与电压相量之比定义为导纳。并用Y表示,如图 3.4-5所示（2）公式： 或UIYmmUIY2、各独立元件的导纳：电阻：电感：电容：GRUIYRRR1LLLLjBLjUIY1CCCCjBCjUIY图 3.4-5称为电导RG1称为感纳LLXLB11称为容纳CCXCB1 对于如图图 3.4-6所示R、L、C并联电路，根据相量形式得KCL，得到：CLRIIIIUBBjGUjBUjBUGCjULj

23、URUICLCLCLR)()(1图 3.4-6 RLC并联电路3、RLC并联电路的等效导钠并联电路的等效导钠：YCLYjBGBBjGY)(其中B=BL-BC称为电纳。2222)(BGBBGYCL)arctan()arctan(GBGBBCLY导钠模：导钠角：zuiYmmjjjjZUIUIYeYeUIUeIeUIYYuiui,1.)(所以由于 无源二端网络既可以用一个复阻抗来等效也可以用一个复导纳来等效，对于同一电路，阻抗与导纳互为倒数。 3.4.3 复阻抗与复导纳的等效变换 若已知阻抗Z=R+jX则等效阻抗为Z=Re+jXe则等效导纳为Y=Ge-jBe其中22XRRGe等效电导：22XRXBe

24、等效电纳：若已知导纳Y=G-jB其中22BGGRe等效电阻：22BGBXe等效电抗：3.5 正 弦交流电路中的功率及功率因数设流过电阻元件的电流为 iR (t)=Im sint A其电阻两端电压为 uR(t)=Im R sint =Um sint V则在关联参考方向下，瞬时功率为3.5.1 R、L、C元件的功率和能量元件的功率和能量pR(t)= u(t) i(t)=2URIRsin2t =URIR（1-cos2t）W 由于cos2t1,故此 pR（t）=URIR（1-cos2t）0 电阻元件的瞬时功率是以两倍于电压的频率变化的，而且pR（t）0，说明电阻元件是耗能元件。 其瞬时功率的波形图如3

25、.5-1所示1 、电阻元件的功率、电阻元件的功率图 3.5-1 电阻元件的瞬时功率电阻的平均功率RURIIUdttIUIUTdttpTPRRRTRRRRTR22002cos1)(1可见对于电阻元件，平均功率的计算公式与直流电路相似。在关联参考方向下，设流过电感元件的电流为VtUVtXItuLLLL)2sin(2)2sin(2)( tAItiLLsin22、电感元件的功率电感元件的功率 其瞬时功率为: 则电感电压为： 上式表明，电感元件的瞬时功率也是以两倍于电压的频率变化的；且pL(t)的值可正可负，其波形图如图3.5-2所示。图3.5-2 电感元件的瞬时功率tIUttIUtitutpLLLLL

26、LL2sinsin)2sin(2)()()(02sin1)(100tdtIUTdttpTpLTLTLL 从图上看出，当uL(t)、iL(t)都为正值时或都为负值时，pL(t)为正，说明此时电感吸收电能并转化为磁场能量储存起来；反之，当pL(t) 为负时，电感元件向外释放能量。 pL(t) 的值正负交替，说明电感元件与外电路不断地进行着能量的交换。电感消耗的平均功率为： 电感消耗的平均功率为零，说明电感元件不消耗功率，只是与外界交换能量。 tAIticcsin2)(VtUVtXItuCccc)2sin(2)2sin(2)(在电压、电流为关联参考方向下，设流过电容元件的电流为: 则电容电压为 ：

27、其瞬时功率为：tIUttIUtitutpccccccc2sinsin)2sin(2)()()(3电容元件的功率电容元件的功率 uc (t)、ic(t)、pc(t)的波形如图3.5-3所示。图 3.5-3 电容元件的瞬时功率 从图上看出，pc(t)、与pL(t)波形图相似，电容元件只与外界交换能量而不消耗能量。TccTcdttIUTdttpTp000)2sin(1)(1电容的平均功率也为零，即： 电感元件以磁场能量与外界进行能量交换，电容元件是以电场能量与外界进行能量交换。 3.5.2 二端电路的功率1、瞬时功率在图3.5-4所示二端电路中，设电流i(t)及端口电压u(t)在关联参考方向下，分别

28、为：VtUtuAtItiui)sin(2)()sin(2)(则二端电路的瞬时功率为： 图 3.5-4)2cos()cos()sin(2)sin(2)()()(iuiuiutUItItUtitutp 上式表明，二端电路的瞬时功率由两部分组成，第一项为常量，第二项是两倍于电压角频率而变化的正弦量。从图上看出，u(t)或i(t)为零时，p(t)为零；当二者同号时，p(t)为正，电路吸收功率；二者异号时，p(t)为负，电路放出功率，图上阴影面积说明，一个周期内电路吸收的能量比释放的能量多，说明电路有能量的消耗。瞬时功率的波形如图3.5-5所示图3.5-52、有功功率（也叫平均功率）和功率因素 ZiuT

29、iuiuTUIUIdttUIUITdttpTpcos)cos()2cos()cos(1)(100式中 称为二端电路的功率因素，功率因素的值取决于电压与电流之间的相位差 ， 也叫功率因素角。 Z有功功率：瞬时功率在一个周期内的平均值iuz当 时， ，电压与电流正交，单口网络不吸收有功功率；当 ， 时，电压与电流同相，此时等效成一个电阻，单端口网络吸收功率。一般情况下 。2/Z0cosZ0Z1cosZ1cos0Z 对RLC串联电路（其电压、电流的相量关系如图3.5-6所示）有功功率：图3.5-6RZIUUIPcosZcosZ3、 无功功率、视在功率和复功率无功功率、视在功率和复功率 （1）无功功率

30、：反映一端口网络与电源间进行能量交换的程度。用Q表示，定义ZUIQsin（2）视在功率：通常将二端电路电压和电流有效值的乘积称为，用S表示，即 S=UIPQarctgUIQPSSUIQSUIPZZZZZ22sinsincoscos（3）P、Q、S之间的关系 功率三角形： 工程上为了计算方便，把有功功率作为实部，无功功率作为虚部，组成复数，称为复功率，用 表示复功率，即有功功率、无功功率、视在功率的单位分别用瓦（W）、乏（var）、伏安（V.A）以示区别。SIUIUUIUIjUIjUIUIjQPSiuiu )sin(cossincos（4）复功率例：在RLC串联电路中已知R=30 , C =40

31、F,L=127mH ，Vtu)20314sin(2220)(ti，求电流，有功功率、无功功率、视在功率及功率因素解：写出各已知量的相量模型：VU20220LXL310127314 40CXC1610403141 80串联电路的阻抗为：Z)(CLXXjR)8040(30j5350IZU535020220A734 . 4串联电路的电流为：cosUIP )53cos(4 . 4220W8 .580sinUIQ )53sin(4 . 4220Var4 .774UIS 4 . 4220VA9686 . 0)53cos(cosAti)73314sin(24 . 4 3.5.3 正弦稳态电路的最大功率传输

32、如图3.5-7所示，交流电源的电压为 ，其内阻抗为Zs=Rs+jxs，负载阻抗ZL=RL+jXL ,电路中电流为： SU)()(LsLsSLsSXXjRRUZZUI电流有效值为： 图 3.5-722)()(LsLssXXRRUI负载吸收的功率为： LLsLssLLRXXRRURIP2222)()(负载获取最大功率的条件为：时，当：0LLsLdRdPXX负载能获取最大功率*SLSLSLZZRRXX即此时最大功率为： SSmSSLRURUP421422max 3.5.4 功率因数的提高 1、意义：根据：ZUIPcos（1）当视在功率额定时。提高功率因数可以提高电源设备的利用率（2）在额定电压下向负

33、载输送一定的有功功率时，可以减少线路的功率损耗2、方法：根据：Q=QL-QC，)tan(tan12UPC图3.5-8 实际电路中大部分负载是感性的，常用在感性负载两端并联补偿电容的方法（如图图3.5-8）来提高功率因数3、计算：并联补偿电容的计算方法为：额定功率额定电压补偿前功率因数角补偿后功率因数角3.6 正弦稳态电路的计算3.6.1 相量法分析正弦稳态的主要步骤1、画出电路的相量模型2、根据KCL、KVL和元件的VCR相量形式，建立电路方程或写出相应公式，并求解得到电压电流的相量表达式。3、根据计算得到的电压相量和电流相量，写出相应的瞬时值表达式3.6.2 阻抗串联和并联电路分析1、多阻抗

34、的串联nZZZZ21n个阻抗串联组成的单口网络，就端口特性来说，等效与一个阻抗，如图3.6-1所示，其等效阻抗等于各串联阻抗之和，图3.6-1 2、导纳并联nYYYY21n个导纳并联组成的单口网络，就端口特性来说，等效与一个导纳，如图3.6-2所示，其等效导纳等于各并联导纳之和，图3.6-2例：图3.6-3中已知tVuS1000sin210试求电流LCiii,图3.6-3例：下图中已知tVuS1000sin210， 试求电流LCiii,。解：写出各已知量的相量模型：VsU010LXL31000 k3CXC16103110001 k3RL串联支路的阻抗为：电容C所在支电路的阻抗为：电路的等效阻抗

35、为：1ZCjXLjXR 1)33(jk45232Z3jk9032121ZZZZRZ) 3() 33(90345231jj345291kj )34(k9 .365电路的电流为：IZUS9 .365010mA9 .362IZZZIL212IZZZIC2119 .362333903jj9 .3623334523jjmA1 .532mA9 .81223.6.3 一般正弦稳态电路分析例：求图3.6-4中的电压u1和u2。 在一般正弦稳态电路分析中，前面直流电路的分析方法（包括回路电流法、节点电压法、戴维南定理等）仍然适用，但交流电路中要用复数进行计算。所以首先要画出电路的相量模型，然后根据基本定律（ ）

36、及电路的分析方法用相量建立复代数方程，解出变量的相量。再将求出的相量转换成正弦量。IZUIU, 0, 0图3.6-4解：该电路已画出相量图，用节点电压法最方便。11S2n 12 n1 11 iuGuG22S 2n 22 n1 21 iuGuG两个独立节点的一般方程为：写成相量形式为11S212 111 IUYUY22S2 22 1 21 IUYUY1)10151()1015110151(21UjjUjjj) 5 . 0()1015110151()10151(2 1 jUjjjUjj代入已知量得：化简得：11 . 0) 2 . 02 . 0 (21UjUj5 . 0) 1 . 01 . 0 (1

37、 . 02 1 jUjUjVtu)63sin(223. 21Vtu)117sin(247. 42 转换成瞬时表达式为：由克莱姆法则解得：VjjjjjjjjojjjU6323. 22101. 0) 1 . 01 . 0)(2 . 02 . 0 (05. 01 . 01 . 01 . 01 . 01 . 01 . 02 . 02 .1 . 01 . 05 . 01 . 011VjjjjjjjjjjojjjU11747. 44201. 0) 1 . 01 . 0)(2 . 02 . 0(1 . 05 . 0) 2 . 02 . 0(1 . 01 . 01 . 01 . 02 . 02 .5 . 01

38、 . 012 . 02 . 02 例：图3.6-6（a）中，已知 ， 求： （1）若Z4=7，则流过Z4的电流i多大。(2)若Z4可变。则Z4为多大时可取得最大功率？最大功率为多大？tVus10sin2100AtiS)210sin(22解：此题用戴维南定理来解。首先画出电路的相量模型。Z4支路断开，求余下电路的戴维南等效电路：AIVUSS22,0100)2010(210101jjZ) 45 (025. 010152jjZ电路的相量模型图3.6-6（b）所示图3.6-6（a）先求等效电阻：82. 116. 723.1439. 7)452010(10)452010(10)()(2132130jjj

39、jjZZRZZRZ图3.6-6（b）VjjRRZZUUUSOCS1625100010162501003321单独作用时：再用叠加定理求开路电压：VjjjjRIRZZZUISOCS1625100809021625104533212 ）（单独作用时：开路电压：VjjUUUOCOCOC 33.2754.361625100801000戴维南等效电路如图（3.6-6(c)）：3.6-6(c)(1)电流i的相量为：AjZZUICO65.3456. 282. 116. 7733.2754.3604Atti)65.3410sin(256. 2)(图3.6-6（b）根据最大功率传输定理得：Z4= Z*0 = 7

40、.16-j1.82时可取得最大功率最大功率为WRUPOCL62.4616.7454.364202max说明：当负载是纯电阻时，获得最大功率的条件是：ZL= Z0 最大功率为：)(202maxLOCLRRUP例：图3.6-5中已知 。求电流i1 (t)和i2 (t) 。图3.6-5AtiAti)3 .5610sin(277. 2)7 .2910sin(224. 13231VtuS)10sin(21035.1 1、谐振条件：jXRXXjRZCL)(zZ谐振现象：含有电容器和电感的线性无源二端网络在激励为某一频率时，端口电流和端口电压同相的现象。3.7.1 串联谐振的条件和特征串联谐振电路的阻抗IU

41、ZSiuSIUiuSIUzZ0CLXXX谐振频率：LCf210LC10应用：3.7 串联及并联电路的谐振2、谐振特征（1）阻抗特征：RXXXXRXXjRZCLCLCL002002000arctan)()(R阻抗最小且为纯电阻。特征阻抗： 谐振时的感抗或容抗。LXL00CXC001CL001CLCCL（2）电流特征：00ZUISzuSZUzuSZUuSRURUIS0uiiI0电流最大且与端口电压同相（3）电压特征：0LU00LXI jLRUjS0SURLj0CRUjS01SURCj01SURjSURj电感两端的电压和电容两端的电压大小相等，相位相反，其大小为电源电压的Q倍。0CU00CXI jS

42、UjQSUjQ品质因数Q：特征阻抗与电路中纯电阻的比值。SCLQUUU000RURI0RRUSSU电阻上电压与整个谐振电路两端的电压相等。（4）功率特征：无功功率：sin0UIQ 0有功功率 ：cos0UIP 0IUR0IUS谐振时，电源只向电阻提供有功功率。谐振时，电源不向电路提供无功功率。（5）能量特征：0CU00CXI j)90sin(2sin20000tUutIiCc则设tCUCuWtLILiWCCL022202202cos21sin21202002)(LICICCUC222SCCLCMLMUCQCUWWWWW谐振时，电场能量与磁场能量的最大值相等谐振时，在一定外加电压下，电磁能量与电

43、路的品质因数的平方成正比SUjQ例：在RLC串联电路中已知R=1k , C =400F,L=1mH ，求谐振时的频率f0、回路的特征阻抗和品质因素Q各为多少？LCf210解：谐振频率为：631040010114. 321Hz61096. 7MHz96. 7L0Lf02361011096. 714. 32k50QR15050特征阻抗为：品质因素为：频率特性：（1）阻抗与导纳的频率特性复阻抗的模值随频率变化的关系称为幅频特性。阻抗角随频率的变化特性。 不同R值（Q值不同）时，电流的谐振曲线： 电流与频率的关系曲线称为电流谐振曲线。（2）电流的谐振曲线：22)(CLXXRZ电路中的电流、电压、阻抗、

44、导纳等随频率而变化的关系称为频率特性。电流、电压与频率的关系曲线称为谐振曲线。谐振曲线：幅频特性：22)1(CLR相频特性：RCLRX1arctanarctan22)1(CLRUIS20020)(11QII3.7.2串联谐振电路的谐振曲线（3）串联谐振电路的通频带1）通频带的概念：把电流谐振曲线上021II 所对应的频率范围称为该回路的通频带B。2）通频带B与品质因素Q的关系:QfB0 通频带B与品质因素Q成反比，Q值愈大，谐振曲线愈尖锐，通频带愈窄，回路的选择性愈好。1、谐振条件：LC10LCf2102、谐振特征：（1）阻抗最大（2）电压最大（3）电流特征：000QIIILC3、并联谐振电路

45、的谐振曲线和通频带（1）电压的幅频特性曲线和相频特性曲线（2）并联谐振回路的通频带20020)(11QUU)(arctan00QQfB03.7.3并联电路的谐振3.8.1 耦合电感元件及伏安特性自感现象：当通过电感线圈的电流变化时，在其自身产生感生电压的现象，产生的电压称为自感电压。伏安关系：iLdtduLdtdiLILjUL对正弦量：3.8 耦合电感电路与理想变压器（关联参考方向）像这种一个线圈的磁通与另一个线圈相交链的现象，称为磁耦合，即互感。21 和12 称为耦合磁通或互感磁通。图 3.8-1 耦合电感1、互感现象： 由于一个线圈中的电流变化在另一个线圈中产生感生电压的现象，称为互感现象

46、，产生的电压叫互感电压。12121iM21212iM定义互感系数： 因为2111 ，1222 ，线圈1的自感磁链与互感磁链分别为11 =N111，12=N112；线圈2的自感磁链与互感磁链分别为22=N222，21=N221 。 可以证明：M21=M12=M21LLM 定义耦合系数K21LLMK 0K1，K值越大，说明两个线圈之间耦合越紧，当K=1时，称全耦合，当K=0时，说明两线圈没有耦合。所以可以得出图 3.8-1中: 21112111MiiL12221222MiiL2、 耦合电感元件的电压、电流关系 由电磁感应定律dtdiMdtdiLdtdu21111dtdiMdtdiLdtdu1222

47、2 式中 、 分别为线圈1、2的自感电压， 、 分别为线圈1、2的互感电压。 dtdiL11dtdiL22dtdiM2dtdiM1dtdiMdtdiLdtdu21111dtdiMdtdiLdtdu12222如果自感磁通与互感磁通的方向相反，即磁通相消，如图3.8-2所示，耦合电感的电压、电流关系方程式为：图 3.8-2 耦合电感3.8.2 同名端同名端 1、 同名端的规定：具有磁耦合的两线圈，当电流分别从两线圈各自的某端同时流入（或流出）时，若两者产生的磁通相助，则这两端叫作互感线圈的同名端，用黑点“”或星号“*”作标记。 例如，图3.8-3，判断电流从两个线圈的“*”标记端流入时，磁通的方向

48、。图 3.8-3 同 名 端图 3.8-4（ a）（ b）(c)(d)例如，写出图3.8-4中耦合线圈的伏安关系2、同名端判断方法： 如图 3.8-5当开关突然闭合时，如果电压表的指针正向偏转，则表示接电压表正极性端钮与电源的正极性端为一对同名端。即这里1和3为一对同名端。如电压表的指针反向偏转，则端钮1与端钮4为同名端。图 3.8-53.8.3 耦合电感的串联分析 耦合电感的串联有两种方式顺接和反接。顺接串联就是异名端相接，如图 3.8-6（a）所示。 由此可知，顺接串联的耦合电感可以用一个等效电感L来代替，如图 3.8-6（b）所示，等效电感L=L1+L2+2M图 3.8-6 耦合电感顺接

49、串联dtdiMdtdiLdtdiMdtdiLuuu2121dtdiLdtdiMLL221因为顺接串联耦合电感的电流从同名端流入，且电流相等所以dtdiMdtdiLdtdiMdtdiLuuu2121图 3.8-7 耦合电感的反接串联 由此可知，反接串联的耦合电感可以用一个等效电感L代替如图3.8-7(b) ，等效 电 感 L 的 值L=L1+L2-2M dtdiLdtdiMLL221 耦合电感的另一种串联方式是反接串联。反接串联是同名端相接，如图3.8-7(a)所示，因为反接串联耦合电感的电流从异名端流入，且电流相等所以1、互感线圈的同名端连在一起 如图 3.8-8（a）所示，为三支路共一节点、

50、其中有两条支路存在互感的电路，由图可知，L1的b端与L2的d端是同名端且连接在一起，可以等效为图 3.8-8（b）所示的互感线圈的T型去耦等效电路。3.8.4 耦合电感的T型型分析 图 3.8-8同名端相连的T型去耦等效电路 dtdiMdtdiLu2111dtdiMdtdiLu1222将以上两式经数学变换，可得dtiidMdtdiMLdtdiMdtdiMdtdiMdtdiLu2111211111dtiidMdtdiMLdtdiMdtdiMdtdiMdtdiLu2122122222 画出两式T型等效电路如图 3.8-8（b）所示。在图（b）中因有3个电感相互间无互感，它们的自感系数分别为L1-M

51、、L2-M和M，又连接成T型结构形式，所以称之为互感线圈的T型去耦等效电路。 两线圈上的电压分别为 2、互感线圈的异名端连接在一起 图 3.8-9(a) 中，两线圈上的电压分别为 ：dtdiMdtdiLu2111dtdiMdtdiLu1222图 3.8-9（b） 异名端相连的T型去耦等效电路 将以上两式经数学变换，可得 dtiidMdtdiMLdtdiMdtdiMdtdiMdtdiLu2111211111dtiidMdtdiMLdtdiMdtdiMdtdiMdtdiLu2122122222画得T型等效电路如图3.8-9 (b) 所示：MLLMLLMLMLMLMLML2212212121 MLL

52、MLLMLMLMLMLML2212212121图 3.8-10 两个耦和电感的并联 利用上述等效电路，可以得出如图 3.8-10(a) 和(c) 所示的耦合电感并联的去耦等效电路，分别如图3.8-10 (b) 和 (d) 所示。由图 (b) (d)应用无互感的电感串、并联关系，可以得到同名端、异名端连接时耦合电感并联的等效电感为 耦合电感中有电阻时等效关系如图3.8-11所示：图3.8-113.8.5 空芯变压器 所谓空芯变压器是由两个绕在非铁磁材料制成的芯子上并且具有互感的线圈组成的，其耦合系数较小，属于松耦合。 设空芯变压器电路如图3.8-12所示，其中R!、R2分别为变压器初、次级绕组的

53、电阻，RL为负载电阻，设uS为正弦输入电压。 图3.8-12图3.8-13变压器的相量模型如图3.8-13所示SUIMjILjR211102221IRLjRIMjL或写为：SUIZIZ2121110222121IZIZ。3.8-13空心变压器相量模型图变压器的相量模型如图3.8-13所示，列出回路方程为：Z11= R1+jL1 称为初级回路自阻抗；Z22=R2 +jL2+RL 称为次级回路自阻抗；Z12=Z21=jM 称为初次级回路互阻抗式中：11122211211211222112222211211221210ZZUZZZZUZZZZUZZZZZZZUISSSS222112112221112

54、2ZZUZZZZUZZISS 求得的初级、次级电流相量分别为 ： (1)(2)有(1)式得：次极回路接负载后对初级回路的影响相当与在初级回路中串联一个阻抗Z1，这个阻抗称为副边在原边的反射阻抗。22222221121ZMZZZZ由电源端看进去的等效电路，也就是初级等效电路应如图3.8-14所示。当我们只需要求解初级电流时，可利用这一等效电路迅速求得结果。 图3.8-14 初级等效电路输入阻抗：由电源端看进去的阻抗为： ZZIUZSi111由此可见，输入阻抗由两部分组成：即初级回路的自阻抗及次级回路在初级回路的反映阻抗 。有(2)式得：初级回路对次级回路的影响相当与在次级回路中接入等效电压源US

55、 及串联一个等效阻抗Z2。SSUZZU11121121122ZZZZ次级回路的等效如图3.8-15所示。当我们只需要求解次级电流时，可利用这一等效电路迅速求得结果。 图3.8-153.8.6 理想变压器理想变压器 理想变压器是铁芯变压器的理想化模型，它的唯一参数只是一个称之为变比的常数n，而不是L1、L2、 M等参数，理想变压器满足以下3个理想条件：(1) 耦合系数K=1，即为全耦合；(2) 自感系数L1、L2为无穷大，但L1/L2为常数。(3) 无任何损耗，这意味着绕线圈的金属导线无 任何电阻，做芯的铁磁材料的磁导率无穷大.1、 理想变压器电压变换特性理想变压器电压变换特性 图3.8-16 (a) 所示的铁芯变压器，其初、次级匝数分别为N1和N2，可判定a、c为同名端，设i1、i2分别从同名端流入（属磁通相助），设初、次级电压u1、u2与各自线圈上的电流 i1、i2为关联参考方向。图3.8-16 变压器示意图及其模型 由于为全耦合，则线圈的互感磁通必等于自感磁通，即 21=11，12=22，穿过初、次级线圈的磁通相同，即图3.8-16 变压器示意图及其模型 11+12=11+22= 22+21=22+11= 上式中称为主磁通。初、次级线圈交链的磁链1、2分别为对1、2求导，得初、次级电压分别为 dtdNdtdu111dtdNdtdu22