袁聪二次函数的应用

1、二次函数的应用专题一：专题一： 待定系数法确定二次函数待定系数法确定二次函数无坚不摧：一般式无坚不摧：一般式n已知二次函数的图象经过已知二次函数的图象经过A A（1 1，6 6），），B B（1 1，2 2），），C C（2 2，3 3）三点，）三点，求这个二次函数的解析式；求这个二次函数的解析式；求出求出A A、B B、C C关于关于x x轴对称的点的坐标并求出轴对称的点的坐标并求出经过这三点的二次函数解析式；经过这三点的二次函数解析式；求出求出A A、B B、C C关于关于y y轴对称的点的坐标并求出轴对称的点的坐标并求出经过这三点的二次函数解析式；经过这三点的二次函数解析式；在同一坐标系

2、内画出这三个二次函数图象；在同一坐标系内画出这三个二次函数图象；分析这三条抛物线的对称关系，并观察它们分析这三条抛物线的对称关系，并观察它们的表达式的区别与联系，你发现了什么？的表达式的区别与联系，你发现了什么？思维小憩：思维小憩：n用待定系数法求二次函数的解析式，设出用待定系数法求二次函数的解析式，设出一般式一般式y=ax2+bx+c是是绝对通用绝对通用的办法。的办法。n因为有三个待定系数，所以要求有因为有三个待定系数，所以要求有三个三个已已知点坐标。知点坐标。n一般地，函数一般地，函数y=f(x)的图象关于的图象关于x轴对称轴对称的图象的解析式是的图象的解析式是y=-f(x)n一般地，函数

3、一般地，函数y=f(x)的图象关于的图象关于y轴对称轴对称的图象的解析式是的图象的解析式是y=f(-x)显而易见：顶点式显而易见：顶点式n已知函数已知函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象是以点（的图象是以点（2 2，3 3）为顶点的抛物线，并且这个图象通过点（为顶点的抛物线，并且这个图象通过点（3 3，1 1），求这个函数的解析式。），求这个函数的解析式。（要求分别用一（要求分别用一般式和顶点式去完成，对比两种方法）般式和顶点式去完成，对比两种方法）n已知某二次函数当已知某二次函数当x x1 1时，有最大值时，有最大值6 6，且，且图象经过点（图象经过点（2 2，8 8），求此

4、二次函数的解），求此二次函数的解析式。析式。思维小憩：思维小憩：n用待定系数法求二次函数的解析式，什么用待定系数法求二次函数的解析式，什么时候使用顶点式时候使用顶点式y=a(x-m)2+n比较方便？比较方便？知道知道顶点坐标顶点坐标或或函数的最值函数的最值时时n比较顶点式和一般式的优劣比较顶点式和一般式的优劣一般式：通用，但计算量大一般式：通用，但计算量大顶点式：简单，但有条件限制顶点式：简单，但有条件限制n使用顶点式需要多少个条件？使用顶点式需要多少个条件？顶点坐标顶点坐标再加上再加上一个一个其它点的坐标；其它点的坐标；对称轴对称轴再加上再加上两个两个其它点的坐标；其它点的坐标；其实，顶点式

5、同样需要其实，顶点式同样需要三个三个条件才能求。条件才能求。灵活方便：交点式灵活方便：交点式n已知二次函数的图象与已知二次函数的图象与x x轴交于（轴交于（2 2，0 0）和）和（1 1，0 0）两点，又通过点（）两点，又通过点（3 3，5 5），），求这个二次函数的解析式。求这个二次函数的解析式。当当x x为何值时，函数有最值？最值是多少？为何值时，函数有最值？最值是多少？n已知二次函数的图象与已知二次函数的图象与x x轴交于轴交于A A（2 2，0 0），），B B（3 3，0 0）两点，且函数有最大值）两点，且函数有最大值2 2。求二次函数的解析式；求二次函数的解析式；设此二次函数图象顶

6、点为设此二次函数图象顶点为P P，求，求ABPABP的面积的面积思维小憩：思维小憩：n用待定系数法求二次函数的解析式，什么时用待定系数法求二次函数的解析式，什么时候使用顶点式候使用顶点式y=a(x-x1) (x-x2)比较方便？比较方便？知道二次函数图象和知道二次函数图象和x x轴的两个交点的坐标时轴的两个交点的坐标时n使用交点式需要多少个条件？使用交点式需要多少个条件？两个交点坐标再加上一个其它条件两个交点坐标再加上一个其它条件其实，交点式同样需要其实，交点式同样需要三个三个条件才能求条件才能求n求函数最值点和最值的若干方法：求函数最值点和最值的若干方法：直接代入顶点坐标公式直接代入顶点坐标

7、公式配方成顶点式配方成顶点式借助图象的顶点在对称轴上这一特性，结合和借助图象的顶点在对称轴上这一特性，结合和x x轴两个交点坐标求。轴两个交点坐标求。二次函数的交点式二次函数的交点式n已知二次函数的图象与已知二次函数的图象与x x轴交于（轴交于（2 2，0 0）和）和（1 1，0 0）两点，又通过点（）两点，又通过点（3 3，5 5），），求这个二次函数的解析式。求这个二次函数的解析式。当当x x为何值时，函数有最值？最值是多少？为何值时，函数有最值？最值是多少？n求函数最值点和最值的若干方法：求函数最值点和最值的若干方法：直接代入顶点坐标公式配方成顶点式借助图象的顶点在对称轴上这一特性，结合

8、和x轴两个交点坐标求。二次函数的三种式二次函数的三种式n一般式：一般式：y=ax2+bx+cn顶点式：顶点式：y=a(x-m)2+nn交点式：交点式：y=a(x-x1) (x-x2)n已知二次函数已知二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象与的图象与x x轴的轴的一个交点坐标是（一个交点坐标是（8,08,0），顶点是（），顶点是（6,-6,-1212），求这个二次函数的解析式。），求这个二次函数的解析式。（分（分别用三种办法来求）别用三种办法来求）二次函数的应用专题二：专题二： 数形结合法数形结合法简单的应用（学会画图）简单的应用（学会画图）n已知二次函数的图象与已知二次函数的

9、图象与x x轴交于轴交于A A（2 2，0 0），），B B（3 3，0 0）两点，且函数有最大值两点，且函数有最大值2 2。求二次函数的解析式；求二次函数的解析式；设此二次函数图象顶点为设此二次函数图象顶点为P P，求，求ABPABP的面积的面积n在直角坐标系中，点在直角坐标系中，点A A在在y y轴的正半轴上，点轴的正半轴上，点B B在在x x轴的轴的负半轴上，点负半轴上，点C C在在x x轴的正半轴上，轴的正半轴上，ACAC5 5，BCBC4 4，cosACBcosACB3/53/5。求求A A、B B、C C三点坐标；三点坐标；若二次函数图象经过若二次函数图象经过A A、B B、C C

10、三点，求其解析式；三点，求其解析式；求二次函数的对称轴和顶点坐标求二次函数的对称轴和顶点坐标二次函数的应用专题三：专题三： 二次函数的最值应用题二次函数的最值应用题二次函数最值的理论二次函数最值的理论n求函数求函数y=(m+1)xy=(m+1)x2 2-2(m+1)x-m-2(m+1)x-m的最值。其的最值。其中中m m为常数且为常数且mm1 1。最小值呢？呢？此时是最大值还是时，函数的最值是你能说明为什么当abacyabx4422最值应用题最值应用题面积最大面积最大n某工厂为了存放材料，需要围一个周长某工厂为了存放材料，需要围一个周长160160米的矩形场地，问矩形的长和宽各取米的矩形场地，

11、问矩形的长和宽各取多少米，才能使存放场地的面积最大。多少米，才能使存放场地的面积最大。n窗的形状是矩形上面加一个半圆。窗的窗的形状是矩形上面加一个半圆。窗的周长等于周长等于6cm6cm，要使窗能透过最多的光线，要使窗能透过最多的光线，它的尺寸应该如何设计？它的尺寸应该如何设计？BCDAO最值应用题最值应用题面积最大面积最大 用一块宽为用一块宽为1.2m m的长方形铁板弯起两边做的长方形铁板弯起两边做一个水槽，水槽的横断面为底角一个水槽，水槽的横断面为底角120120的等的等腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它的腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它的侧面侧面ABAB应该是多长？应该是多长？AD120

12、BC最值应用题最值应用题路程问题路程问题 快艇和轮船分别从快艇和轮船分别从A A地和地和C C地同时出发，各地同时出发，各沿着所指方向航行（如图所示），快艇和轮沿着所指方向航行（如图所示），快艇和轮船的速度分别是每小时船的速度分别是每小时40km40km和每小时和每小时16km16km。已知已知ACAC145km145km，经过多少时间，快艇和轮船，经过多少时间，快艇和轮船之间的距离最短？（图中之间的距离最短？（图中ACCDACCD）DCA145km最值应用题最值应用题销售问题销售问题n某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利件，每件盈利40

13、元，为了扩大销售，增加元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价价1元，商场平均每天可多售出元，商场平均每天可多售出2件。件。n（1）若商场平均每天要盈利）若商场平均每天要盈利1200元，每件元，每件衬衫应降价多少元？衬衫应降价多少元？n（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？盈利最多？最值应用题最值应用题销售问题销售问题n某商场以每件某商场以每件4242元的价钱购进一种服装，根据元的价钱购进一种服装，根据试销得知这

14、种服装每天的销售量试销得知这种服装每天的销售量t t（件）与每（件）与每件的销售价件的销售价x x（元（元/ /件）可看成是一次函数关系：件）可看成是一次函数关系：t t3x3x204204。写出商场卖这种服装每天销售利润写出商场卖这种服装每天销售利润y y（元）（元）与每件的销售价与每件的销售价x x（元）间的函数关系式；（元）间的函数关系式；通过对所得函数关系式进行配方，指出商场通过对所得函数关系式进行配方，指出商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大利润为多少？价定为多少最为合适？最大利润为多少？最值应用题最值应用题运动观点

15、运动观点n在矩形在矩形ABCDABCD中，中，ABAB6cm6cm，BCBC12cm12cm，点，点P P从点从点A A出发，出发，沿沿ABAB边向点边向点B B以以1cm/1cm/秒的速度移动，同时，点秒的速度移动，同时，点Q Q从点从点B B出出发沿发沿BCBC边向点边向点C C以以2cm/2cm/秒的速度移动。如果秒的速度移动。如果P P、Q Q两点在两点在分别到达分别到达B B、C C两点后就停止移动，回答下列问题：两点后就停止移动，回答下列问题：运动开始后第几秒时，运动开始后第几秒时，PBQPBQ的面积等于的面积等于8cm8cm2 2设运动开始后第设运动开始后第t t秒时，秒时，五边

16、形五边形APQCDAPQCD的面积为的面积为ScmScm2 2，写出写出S S与与t t的函数关系式，的函数关系式，并指出自变量并指出自变量t t的取值范围；的取值范围；t t为何值时为何值时S S最小？求出最小？求出S S的最小值。的最小值。QPCBAD最值应用题最值应用题运动观点运动观点n在在ABCABC中，中，BCBC2 2，BCBC边上的高边上的高ADAD1 1，P P是是BCBC上任一点，上任一点，PEABPEAB交交ACAC于于E E，PFACPFAC交交ABAB于于F F。设设BPBPx x，将，将S SPEFPEF用用x x表示；表示；当当P P在在BCBC边上什么位置时，边上

17、什么位置时，S S值最大。值最大。DFEPCBA在取值范围内的函数最值在取值范围内的函数最值的最大值和最小值。，讨论函数设54302xxyx的最大值和最小值。，讨论函数设4421312xxyx二次函数的应用专题四：专题四： 二次函数综合应用题二次函数综合应用题 如图所示，公园要建造圆形喷水池，在水池中央如图所示，公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子垂直于水面处安装一个柱子OAOA，O O恰在水面中心，恰在水面中心，OA=OA=1.25米。由柱子顶端米。由柱子顶端A A处的喷头向外喷水，水流在处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较各个方向沿形状

18、相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离为漂亮，要求设计成水流在离OAOA距离为距离为1米处达到距米处达到距水面最大高度水面最大高度2.25米。米。 (1)(1)如果不计其他因素，那如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？落到池外？(2)(2)若水流喷出的抛物线形状与（若水流喷出的抛物线形状与（1 1）相同，）相同，水池的半径为水池的半径为3.53.5米，要使水流不落到池外，此时水米，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达到多少米？（精确到流的最大高度应达到多少米？（精确到0.10.1米）米

19、） OA某跳水运动员进行某跳水运动员进行1010米跳台跳水训练时，身体（看成一米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O O的的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。在跳某个规一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动定动作时，正常情况下，该运动 员在空中的最高处距水面员在空中的最高处距水面32/332/3米，米， 入水处距池边的距离为入水处距池边的距离为4 4米，同米，同 时，运动员在距水面高度为时，运动员在距水面高度为5 5米米 以前，必须完成规定的翻腾动作，以前，必须完

20、成规定的翻腾动作， 并调整好入水姿势，否则就会出并调整好入水姿势，否则就会出 现失误。现失误。（1 1）求这条抛物线的解）求这条抛物线的解 析式；（析式；（2 2）在某次试跳中，测）在某次试跳中，测 得运动员在空中的运动路线是（得运动员在空中的运动路线是（1 1） 中的抛物线，且运动员在空中调中的抛物线，且运动员在空中调 整好入水姿势时，距池边的水平整好入水姿势时，距池边的水平 距离为距离为18/518/5米，问此次跳水会不米，问此次跳水会不 会失误？并通过计算说明理由。会失误？并通过计算说明理由。解函数应用题的步骤:n设未知数设未知数( (确定自变量和函数确定自变量和函数););n找等量关系找等量关系, ,列出函数关系式列出函数关系式; ;n化简化简, ,整理成标准形式整理成标准形式( (一次函数、二次函数一次函数、二次函数等等););n求自变量取值范围；求自变量取值范围；n利用函数知识，求解（通常是最值问题）；利用函数知识，求解（通常是最值问题）；n写出结论。写出结论。 某新建商场设有百货部、服装