线性代数课件__第六章

1、第六章 线性空间与线性变换 本章介绍线性空间的基本概念与基本运算，介绍线性变换的基本概念以及线性变换的矩阵。通过本章的学习，应该掌握以下内容： 线性空间的概念、基、维数与坐标 基变换与坐标变换公式 线性变换的概念、简单性质与运算 线性变换的矩阵表示和线性变换在不同基下的矩阵之间的关系 线性变换运算所对应的矩阵 线性变换的矩阵为对角矩阵的充要条件 维线性空间的概念6.1 维线性空间 n6.1.1 n定义定义1 设 是一个非空集合， VP是一个数域,在 中定义了两种代数运算： V1加法 对于 V中任意两个元素 , 按某一法则,在 中都有惟一的一个元素 V 与它们对应,称为 , 的和,记作 2数量乘

2、法 对于 V任意元素 和数域 P中的任意数 k按某一法则,在 中都有惟一的一个元素 V 对应,称为 与它们k与 的数量乘积，记作 k 一般称集合 V对于加法和数量乘法这两种运算封闭 如果加法和数量乘法满足以下八条运算规律，则称 V是数域 P上的一个线性空间其中： (1) (2)()() （3）在 V中有一个元素 0,对于 V中任一元素 ,都有 0 .称元素 为 V的零元素（4）对于 V中每一个元素 ,都有 中的元素 V 使得 0 .称元素 0为 的负元素,记作 () 0 ,即(5)对数域 P中的数1和 中的任一元素 V ,都有 1. (6) ()()k lkl (7)()klkl (8) ()

3、kkk ( , k l是任意实数) 注: 凡满足八条运算规律的加法及数量乘法，就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就称为线性空间 线性空间具有下列性质：性质性质1 线性空间的零元素是惟一的；性质性质2 线性空间 中每个向量的负向量是惟一的；V性质性质3 0( 1),k 0,00 性质性质4 如果 k 0 ,则 0k 或 0 6.1.2基、维数与坐标定义定义2 在线性空间 中,如果存在 (2)Vn个元素 12,n 满足: 12(1),n 中任一元素 总可以由 线性表示, 12,n 那么, 12,n 称为线性空间 VV的一组基, 称为线性空间 n的维数 V线性无关;定义定义3 设 12,n n

4、是维线性空间 的一组基 V是V中任一元素，如果 1122nnxxx12,nx xx这组有序数组就称为元素 在12,n 这组基下的坐标，并记作： T12( ,)nx xx 建立了坐标后，就把抽象的向量（元素）与具体的数组向量 联系起来了并且,还可把抽象的线性运算与数组向量的元素联系起来T12(,)nx xx设,nV 12,n 为一组基1122nnxxx1122nnyyy于是 111222()()()nnnxyxyxy1122nnkkxkxkx 6.1.3基变换与坐标变换公式 设12,n 与12,n 是线性空间 nV中的两个基 11112121212122221122nnnnnnnnnnaaaaa

5、aaaa利用分块矩阵的乘法形式，可将上式记为 1112121222121212(,)(,)nnnnnnnnaaaaaaaaa 或1212(,)(,)nnA 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa其中称为由基 12,n 12,n 到过渡矩阵.中的每一列元素分别是基 A12,n 在基12,n 下的坐标； 1212(,)(,)nnA 称为基变换公式 定理定理1设 nV中的元素 在基 12,n 下的坐标为 T12(,)nx xx,在基 12,n 下的坐标为 T12(,)ny yy,若两个基满足 1212(,)(,)nnA 则有坐标变换公式 1122nnxyxyAxy或11221nny

6、xyxAyx例例8 设 1211,01 是线性空间 22VR的一组基 2113A为一个二阶可逆矩阵，令 11211122011 21211433013 显然， 12, 也线性无关，因此 12, 22VR的一组基,并且满足 也是121221,13 2113A是由基12, 到12, 的过渡矩阵.例例9 设由所有二阶矩阵组成的线性空间 2M的两个基为： 11112212210010000:,00001001SEEEE212341011111 1:,0000101 1SBBBB（1）求由基 1S到基2S （2）分别求 的过渡矩阵；abPcd在上述两个基下的坐标； （3）求一个非零矩阵 X,使X在两个基

7、下的坐标相同 解解 （1）因为 111211123111221411122122,BEBEEBEEEBEEEE写成矩阵形式，就有 12341112212211110111,00110001B B B BEEEE于是矩阵 1111011100110001A1S到基的过渡矩阵；2S即是由基（2）由 111221221111221221234,abPaEbEcEdEcdaabbEEEEB B B BAccdd于是, P在基1S下的坐标为T, , ,a b c dP在基2S下的坐标为11100011000110001aaabbbbcAcccdddd(3)设 1234xxXxx在上述两个基下坐标相同,由

8、(2)知,应有 112223234334440 xxxxxxxxxxxxxx,故 11110,(0)00XxxR x为在给定的两组基下坐标相同的非零的二阶矩阵 6.2 线性变换 6.2.1线性变换的定义定义定义4 设有两个非空集合 ,V U如果对于 V中的任一元素 ,按照一定的规则,总有 U中一个确定的元素 对应,那么,这个对应规则就称为从集合 和它V到集合U的变换(或映射).我们常用字母来表示一个变换，譬如把上述变换记作 A( ) A( ),V A,并记 或定义定义5 设 mU分别是实数域上的 nm维和空间, 维线性A是一个从 nV到,nmV U的变换,如果变换满足: （1）任给 12, n

9、V1212()()()AAA,有（2）任给 ()( )kkAA,有nV那么 A就称为从 mUnV到的线性变换如果 nmVU,那么,称 A为nV中的线性变换. 6.2.2线性变换的简单性质线性变换有以下性质: 性质性质1 ( ) 00,AAA性质性质2 若 1122nnkkk,则 1122( )()()()nnkkkAAAA性质性质3 若 12,n ,则 12(),(),()nAAA线性相关.线性相关性质性质4 线性变换 的像集 A()nVA称为线性变换的像空间； 是一个线性空间,性质性质5 使 ( ) 0 A的 的全体 ,( )nSV 0 AA也是一个线性空间, SA称为线性变换 A的核. 例

10、例17 设有 阶矩阵 n11121212221212,nnnnnnnaaaaaaAaaa 121,2,iiiniaaina 其中,nR中的变换 ( )xAxA为线性变换 的像空间为 A112212(),nnnnRkkkk kkR AA的核 SA就是齐次线性方程组 Ax 0的解空间 6.2.3线性变换的运算1.线性变换的加法定义定义6 设 ,A B是线性空间 nV定义它们的和 的两个线性变换,AB为()( )( )( ), ()nVABAB容易证明,线性变换的和还是线性变换. 线性变换的加法满足结合律与交换律.即 ()()A+ B+C = A+ B +CAB = BA2线性变换的数量乘法 定义定

11、义7 设 A是线性空间 nV的线性变换, k定义它们的数量乘法 为实数，kA为 ()( )( ), ()nkkVAA显然 kA,仍然是线性变换. 线性变换的数量乘法满足以下运算规律： ()()klk lAA()klklAAA()kkkA+ BAB1,0 0AAA( 1) AA称为 A的负变换 () 0AA() ABAB3.线性变换的乘法定义定义8 设 ,A B是线性空间 nV定义它们的乘积 的两个线性变换,AB为()( )( ( ), ()nVABA B容易证明,线性变换的乘积还是线性变换. 线性变换的乘法满足结合律.即 ()()AB CA BC但不满足交换律,即一般地ABBA对于乘法,单位变

12、换 E有特殊的地位,对任意变换AEEAA 还可以证明线性变换的加法与乘法满足乘法对加法的左右分配律： () A B+CAB+ AC()B+C A = BA+CA满足A4线性变换的逆变换定义定义9 设 A是线性空间 nV的线性变换,如果有 nV的线性变换B存在,使 ABBAE,则称线性变换 A可逆，并称 B是A的逆变换. 可以证明可逆变换的逆变换是惟一的 可逆变换A的逆变换记做1A11AAA AE,即可以证明,线性变换 A的逆变换1A也是线性变换 6.3 线性变换的矩阵表示6.3.1线性变换在一个基下的矩阵 定义定义10 设 A是n维线性空间nV的线性变换， 在中取定一组基， nV12,n ,如

13、果这组基在线性变换 下的像（用这个基线性表示）为 A11112121212122221122()()()nnnnnnnnnnaaaaaaaaaAAA1212( (),(),()(,)nn AAAA记上式可以表示为 1212(,)(,)nnA A111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa其中那么, A就称为线性变换A在基12,n 下的矩阵 显然，矩阵由基的像12(),(),()nAAA惟一确定A特别地,在nV中取定一组基以后, 线性变换AA矩阵例例18 求 3R中的线性变换 11223( )0aaaaaAA在如下基下的矩阵： 123100(1)0 ,1 ,0001 123111(2

14、)0 ,1 ,1001 解解 （1）因为 1123212331231000010000000000 A,AA所以,在基123, 下线性变换 A的矩阵为100010000A（2）因为112321233123100001100011000 AAA所以，在基123, 下线性变换A的矩阵100011000B 例例20 设 212,34BR的线性变换为 ( )B A求在基 1211,10 下的矩阵.解解 因为111222121213()7434171211()323403ABAB 所以,线性变换 A在基 1211,10 下的矩阵为7342A定理定理 2设 12,n 是n维线性空间nV的一组基， 的线性变

15、换 nVA在这组基下的矩阵为 A,向量 ,( )A在基 12,n 下的坐标为 , ,x y其中 1112111212222212,nnnnnnnnaaaxyaaaxyAaaaxyxy则Ayx即1122nnyxyxAyx6.3.2线性变换在不同基下的矩阵之间的关系 定理定理3 设 12,n 12,n 与是线性空间nV的两组不同的基,由基 12,n 12,n 到的过渡矩阵为 ,P中的线性变换 nVA矩阵分别为 在这两组基下的A和B,那么 1BP AP证明证明 按定理的假设，有11212,nnP 可逆，从而 P1212,nnP 1212(,)(,)nnA A及1212(,)(,)nnB A12121

16、21212112(,)(,), , (,)nnnnnnBPPAPP AP A= AA于是因为 12,n 线性无关,所以 1BP AP于是 例例21 设2V中的线性变换 A在基 12, 下的矩阵为11122122aaAaa ,求 A在基 21, 下的矩阵.解解 211201,10 即由 12, 到21, 的过渡矩阵0110P,求得10110P A在基 21, 下的矩阵.1112212222211212211121211010101101010aaaaaaBP APaaaaaa可逆,则矩阵6.3.3线性变换运算所对应的矩阵 定理定理4 设 12,n 是n维线性空间nV的一组基, 在这组基下,线性变换 ,A B的矩阵分别为 ,A B,则在基 12,n 下 （1）线性变换 ,A B的和AB的矩阵为 ;AB（2）线性变换A的数量乘法kA的矩阵为矩阵;kA（3）线性变换 ,A B的乘积AB的矩阵为 ;AB（4）若线性变换A可逆，反之亦然A有 个相异的特征值,则 （1）线性变换所对应的矩阵 可以对