线性代数6第6章二次型2013.10.28

1、线 性 代 数 China University of Mining and Technology实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型 1第六章第六章 实对称矩阵与实二次型实对称矩阵与实二次型6.1 6.1 欧氏空间欧氏空间 6.2 6.2 实对称矩阵对角化实对称矩阵对角化6.3 6.3 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示6.4 6.4 化二次型为标准形化二次型为标准形6.5 6.5 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵线 性 代 数 China University of Mining and Technology实 对 称 矩 阵 与 实 二

2、次 型实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型 2 学习要点学习要点： 1. 了解向量的内积、长度及正交等知识了解向量的内积、长度及正交等知识. 2. 掌握实对称矩阵的对角化方法掌握实对称矩阵的对角化方法. 3. 重点掌握实二次型的标准化方法，主要有正交变换和重点掌握实二次型的标准化方法，主要有正交变换和配方法两种常用方法：配方法两种常用方法： 4. 了解正定二次型的性质、判定和应用了解正定二次型的性质、判定和应用.线 性 代 数 China University of Mining and Technology实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型 36.

3、1 6.1 欧氏空间欧氏空间 n 维向量空间是三维向量空间的直接推广，维向量空间是三维向量空间的直接推广， 但是只定义但是只定义了线性运算，了线性运算， 而三维空间中有向量夹角和长度的概念，它们而三维空间中有向量夹角和长度的概念，它们构成了三维空间丰富的内容构成了三维空间丰富的内容.我们希望把这两个概念推广到我们希望把这两个概念推广到 n 维向量空间中维向量空间中. 在解析几何中在解析几何中,我们曾定义了向量的内积我们曾定义了向量的内积(数量积数量积),cos(yxyxyx 建立标准的直角坐标系后建立标准的直角坐标系后, 可用向量的坐标来计算内积可用向量的坐标来计算内积设设TTyyyyxxxx

4、),(,),(321321 则则332211yxyxyxyx 线 性 代 数 China University of Mining and Technology实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型 4TnTnyyyyxxxx),(,),(2121xyyxyxyxyxyxTTnn2211,称称x,y为向量为向量x与与y的的内积内积.令令(内积的定义内积的定义)设有设有n维向量维向量定义了内积的实向量空间称为定义了内积的实向量空间称为Euclid空间空间.线 性 代 数 China University of Mining and Technology实 对

5、 称 矩 阵 与 实 二 次 型实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型 5;,(1)xyyx;,(2)yxyx;,) 3(zyzxzyx. 0,0, 0,(4)xxxxx有时且当(内积的性质内积的性质),22221nxxxxxx（向量的长度）（向量的长度）长度长度（或范数）（或范数）.称称 为为n维向量维向量x的的x线 性 代 数 China University of Mining and Technology实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型 6,2yyxxyx(Cauchy-Schwarz不等式不等式)即即niiniiniiiyxyx121221

6、niiiiiiiytyxtxytx122220)()(2)(这由这由的判别式的判别式 易知易知.0(三角不等式用三角不等式用Cauchy-Schwarz不等式易证不等式易证)（向量长度的性质）（向量长度的性质）(1)非负性非负性 当当 时，时， ；当；当 时，时， 000；0；xx(2)齐次性齐次性.yxyx(3)三角不等式三角不等式线 性 代 数 China University of Mining and Technology实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型 7)(0,arccosyxyx（单位向量）（单位向量） 当当 时，称时，称 x 为为 n

7、 维单位向量维单位向量.1x（向量的夹角）（向量的夹角）在欧氏空间在欧氏空间V中，中，所确定所确定.任意两个非零向量的夹角由任意两个非零向量的夹角由 （向量的正交）（向量的正交）在欧氏空间在欧氏空间V中，若中，若 ，0,称向量称向量x和和y正交正交.向量向量 是与是与 同方向长度是同方向长度是1的向量，称为对的向量，称为对 单位化单位化.1若若x=0，则显然，则显然x与任何向量都正交与任何向量都正交.线 性 代 数 China University of Mining and Technology实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型 8 若一个不含零向量

8、的向量组若一个不含零向量的向量组 中的向量两两中的向量两两正交正交: ，则称该向量组为正交向量组，则称该向量组为正交向量组. 又如又如果这些向量都是单位向量果这些向量都是单位向量: ，则称该向量组为规范正，则称该向量组为规范正交向量组交向量组. 若该向量组是一个向量空间若该向量组是一个向量空间 V 的基，又分别称为向量空的基，又分别称为向量空间间 V 的正交基和规范正交基的正交基和规范正交基. )(0,jijir,211i（规范正交基规范正交基）线 性 代 数 China University of Mining and Technology实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型实 对 称 矩

9、 阵 与 实 二 次 型 9例如例如: :100,010,001321eee是向量空间是向量空间R3的一个规范正交基的一个规范正交基(通常称为自然基通常称为自然基).010,00121ee再如再如: :是下面向量空间是下面向量空间V的一个规范正交基的一个规范正交基.),span()0 ,(|21213eexxxRxVT线 性 代 数 China University of Mining and Technology实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型 10, 0021111T由.01从而有. 02r同理可得.,21线性无关故r使又设有数r,21，0221

10、1r得左乘上式两端以,1aT，0111T证明证明 ,r21 设设 是正交向量组是正交向量组正交向量组必线性无关正交向量组必线性无关.线 性 代 数 China University of Mining and Technology实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型 1100200032132121AxxxxxxxxxTT解解 这相当于要求下面齐次方程组的非零解这相当于要求下面齐次方程组的非零解12111121TTA求得基础解系求得基础解系( (即为所求即为所求) )为为1013121,11121已知已知R3中两个正交向量中两个正交向量试求试求 使使 构

11、成构成R3的一个正交基的一个正交基.3321,例例6.1线 性 代 数 China University of Mining and Technology实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型 12(例例6.1的一般化的一般化)设设 是是Rn中的一个正交向量组中的一个正交向量组, rn,证明必可找到证明必可找到n-r个向量个向量 使使 构成构成Rn的正交基的正交基.r,21nr,1n,21都正交都正交.证明证明 只需证必可找到只需证必可找到 使使 与与 01r1rr,21记记TrTA1r(A)=r0. 必要性：设必要性：设 f 正定，即正定，即), 2 ,

12、 1(0niki对任意对任意x0，则，则y=C-1x0 ，故，故0)(2222211nnykykykxf充分性：反证。如果有某个充分性：反证。如果有某个ki0，取，取x=Cei0 ，iiTTikeACCexf)()(AxxxfT)(2222211nnykykyk证证 设设yCx C可逆与与ki0矛盾矛盾.线 性 代 数 China University of Mining and Technology实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型 75, 011a, 022211211aaaa,01111nnnnaaaa对称矩阵对称矩阵A为正定的充要条件是：为正定

13、的充要条件是：A的各阶主子式全为正，即的各阶主子式全为正，即(霍尔维茨定理霍尔维茨定理)负定的负定的充要条件是：充要条件是：A的奇数阶主子式都为负，而偶数阶主子的奇数阶主子式都为负，而偶数阶主子式为正，即式为正，即 ),1,2,( , 01-1111nraaaarrrrr线 性 代 数 China University of Mining and Technology实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型 76二次型二次型 f(x) = xTAx 为正定二次型为正定二次型(A为正定矩阵为正定矩阵)0(0)(TxAxxxf0)(Ai)(T可逆CCCA 0的各

14、阶顺序主子式A(正定二次型的充要条件正定二次型的充要条件)线 性 代 数 China University of Mining and Technology实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型 77【方法一】判别二次型是否正定判别二次型是否正定.312322213214542,xxxxxxxxf二次型的矩阵为二次型的矩阵为502040202A其各阶顺序主子式其各阶顺序主子式024, 084002, 02321A所以二次型正定所以二次型正定.例例6.14线 性 代 数 China University of Mining and Technology实 对

15、 称 矩 阵 与 实 二 次 型实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型 78502040202A6, 4, 1321即知即知A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.求得其特征值求得其特征值【方法二】【方法三】(配方)312322213214542,xxxxxxxxf232223134)(2xxxx知知 f 的标准形系数全为正，从而的标准形系数全为正，从而 f 为正定二次型为正定二次型.线 性 代 数 China University of Mining and Technology实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型 79

16、,051, 0262, 0803 A解解402062225A二次型的矩阵二次型的矩阵它的各阶顺序主子式它的各阶顺序主子式A是负定矩阵，二次型是负定二次型。是负定矩阵，二次型是负定二次型。或者，判别或者，判别 - 为正定为正定.判别二次型判别二次型的正定性的正定性.例例6.15xzxyzyxf444-6-5222线 性 代 数 China University of Mining and Technology实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型 80例例6.16设设A为正定矩阵，证明为正定矩阵，证明. 1 EA证明证明因为因为A为正定矩阵，所以为正定矩阵，

17、所以A的特征值全大于零的特征值全大于零. 设设 n,21是是A的所有特征值，则的所有特征值，则A+E的特征值为的特征值为1,1, 121n从而从而111121nEA例例6.17 设设A=(aij)是正定矩阵，证明是正定矩阵，证明aii0(i=1,2,n).证明证明因为因为A为正定矩阵，则对于任意为正定矩阵，则对于任意n元实向量元实向量x0，有，有 xTAx0，特别地，取特别地，取 ., 2 , 1,niXi这里这里 是第是第i个个i分量为分量为1，而其余的分量为，而其余的分量为0的的n元列向量，则有元列向量，则有),1,2,(0niaAiiiTi这是一个必要这是一个必要而非充分条件而非充分条件

18、 线 性 代 数 China University of Mining and Technology实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型 81与矩阵与矩阵 合同的矩阵是合同的矩阵是( )100001011A111）（A1-11）（B1-1-1）（C1-1-1-）（D例例6.18线 性 代 数 China University of Mining and Technology实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型 82例例6.19设设 ，且，且A的秩为的秩为n，证明：，证明：ATA正定正定. )(RMAnm证明证明 由于由于(ATA)T=ATA，故，故ATA为为n阶的实对称矩阵，令以阶的实对称矩阵，令以 ATA为矩阵的二次型的为矩阵的二次型的f(x)，则：，则： 0AxAxAxAxxfTTT且且 ，由于秩，由于秩A=n， 00Axxf齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=0只有零解，从而只有零解，从而 ，00 xAx即即 00 xxf故故f(x)为正定二次型，从而矩阵为正定二次型，从而矩阵ATA正定正定.线 性 代 数 China University of Mining and Technology实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型实 对 称 矩 阵 与 实 二 次 型 83设设f(x)=xTAx是实二