第四节向量组的极大线性无关组

1、1第四节第四节2定义定义 若向量组若向量组1T中的每一个向量都可由向量组中的每一个向量都可由向量组 1,iT线性表示，则称线性表示，则称向量组向量组可由向量组可由向量组线性表示线性表示。1212,1,2, .iiissikkirk和和一、等价的向量组一、等价的向量组2T1T2T若向量组若向量组 1T2T可相互线性表示，则称两个可相互线性表示，则称两个向量组向量组等价等价。可由向量组可由向量组向量组向量组 1T2T线性表示是指：线性表示是指：112212, , ,rs T：T：3即即12r矩阵矩阵sr使使,s rK11121212221212,rrssssrkkkkkkkkk可由可由即向量组即向

2、量组 1T2T表示等价于存在表示等价于存在1212.rsK4若若1T和和 等价，等价，2Ts rK则存在矩阵则存在矩阵和和 ,r sM使使 1212.srM1212;rsK向量组的等价关系具有下列三个性质：向量组的等价关系具有下列三个性质： （1 1）自反性自反性：（2 2）对称性对称性：（3 3）传递性传递性： 和和1T2T等价，等价， 则向量组则向量组也和也和2T1T等价。等价。若向量组若向量组和和1T2T等价，等价，若向量组若向量组和和2T3T等价，等价，和和1T3T也等价。也等价。则向量组则向量组一个向量组与其自身等价。一个向量组与其自身等价。5311232123 , ,Re e ee

3、 e e取 中向量组 T：和 T：， 证证例例112312=,e , 1,2,3. .Tib b biTT其中则向量组 和等价123123123, ,e e ee e ee e e首先即是12312,e e eTT的一个部分组.因此 可由线性1123000 ;eeee2112 TTTT所以又可由 线性表示，故 和等价.表示,如又1 12 23 3,beb eb e6定理定理 设设线性相关线性相关 .nR中两个向量组中两个向量组若向量组若向量组则向量组则向量组.rs且且可由向量组可由向量组线性表示线性表示.rs则必有则必有112212, , ,rs T：T：可由可由1T2T线性表示，线性表示，1

4、T推论推论1 若向量组若向量组12, r 12,s 线性无关，线性无关，又已知又已知12, r 推论推论2 若两个线性无关的向量组相互等价，若两个线性无关的向量组相互等价， 则它们则它们所含的向量个数相等所含的向量个数相等. .7二、向量组的极大线性无关组二、向量组的极大线性无关组定义：定义：T的一个部分组的一个部分组（2 2）12,r 若满足若满足线性无关；线性无关；是向量组是向量组T T 的一个的一个极大线性无关组极大线性无关组. .设向量组设向量组则称则称12,rT （1 1）向量组向量组T T 中每一个向量均可由中每一个向量均可由12,r 线性表示线性表示. .12,r 注：注： （1

5、 1）一个向量组的极大线性无关组不唯一；一个向量组的极大线性无关组不唯一；（2 2）一个向量组与其任何一个极大线性无关一个向量组与其任何一个极大线性无关组都组都等价；等价；一个向量组的各个极大线性无关组所含一个向量组的各个极大线性无关组所含向量向量（3 3）的个数相等的个数相等.8例例21231,2,41,2,0,0,4,4,TTT 解：解：10,故部分组故部分组的极大线性无关组的极大线性无关组. 1线性无关线性无关.312,又又又又线性无关线性无关.求向量组求向量组所以部分组所以部分组和和12对应的分量不成比例，对应的分量不成比例，12, 故故123, 线性相关线性相关. 从而，从而，12,

6、 是向量组的是向量组的极大线性无关组极大线性无关组.由此可见，由此可见，向量组的极大无关组不是唯一的向量组的极大无关组不是唯一的.同理可验证同理可验证 1323, 也是也是向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组.9例例3nR解：解： 已知已知的一个极大线性无关组的一个极大线性无关组.12,ne ee中基本向量组中基本向量组1 12 2.nnx ex ex e又又线性无关，线性无关，求向量组求向量组中任一中任一n n 维向量维向量nR12,Tnx xx是是的一个极大线性无关组的一个极大线性无关组.nR都可表示为都可表示为12,ne eenR例如：例如：2n 平面平面时，时，中任何两个不共线

7、的向量中任何两个不共线的向量12, 均是均是的一个极大线性无关组的一个极大线性无关组.nRnR中的极大无关组也不是唯一的中的极大无关组也不是唯一的.nR10定理定理 一个向量组的极大线性无关组所含的向量的一个向量组的极大线性无关组所含的向量的个个 n 维向量一定线性相关维向量一定线性相关 .一个向量组的极大线性无关组所含的向量的一个向量组的极大线性无关组所含的向量的定义定义个数是唯一确定的数个数是唯一确定的数.个数，称为个数，称为向量组的秩向量组的秩.定理定理 等价的向量组秩相等等价的向量组秩相等. .结论结论任意任意1n秩相等秩相等的向量组不一定等价的向量组不一定等价. .注注是是nR12,

8、ne ee的一个极大线性无关组，的一个极大线性无关组，nR的秩为的秩为n11三、向量组的秩与矩阵秩的关系三、向量组的秩与矩阵秩的关系定理：定理：A的行初等变换不改变的行初等变换不改变1212,mmAB 行初等变换的列向量的列向量使使设矩阵设矩阵则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵AA行初等变换为其行标准型行初等变换为其行标准型B使使,PAB组的线性相关性和线性组合关系组的线性相关性和线性组合关系. .,P证明：证明：从而有列的关系从而有列的关系（1 1）若有不全为零的数若有不全为零的数两边左乘矩阵两边左乘矩阵P，有，有,1,2, .iiPim12,mk kk10,miiik11100, 0.mmmii

9、iiiiiiikk Pk即 （2 2）因此向量组因此向量组使使反之，反之，两边左乘矩阵两边左乘矩阵12,mk kk10.miiik若存在不全为零的数若存在不全为零的数有有1,P111100, 0.mmmiiiiiiiiikk Pk即 0,AX 12,m 0, PAX 线性相关线性相关12,m 线性相关线性相关若若A的列向量之间存在某种线性关系，的列向量之间存在某种线性关系，如一个列如一个列是其余列的线性组合等是其余列的线性组合等. . 它的一般形式是存在向量它的一般形式是存在向量X，使使左乘矩阵左乘矩阵P，有，有从而从而B的列向量之间也具有同样的线性关系的列向量之间也具有同样的线性关系. .反

10、之也成立反之也成立. .0BX .即即13例例4解：解：讨论向量组讨论向量组1234,A取矩阵取矩阵的线性关系的线性关系.1234011113030731A123412340111,13030731 12340111001200001000010100120000412302.1234, 123, 412302.123, 11,e 3r B 1234B故故B的列向量极大线性无关组为的列向量极大线性无关组为22,e33,e40, 1, 2,0T 且且所以所以B的列向量组线性相关的列向量组线性相关.A的列向量组的列向量组由定理，由定理，线性相关，线性相关，性无关组，性无关组，为其极大线为其极大线且

11、且15定理定理 矩阵矩阵A的秩等于矩阵的秩等于矩阵A的列（行）向量组的秩的列（行）向量组的秩. .设设A为为则则证明：证明：因此因此 12;mrrr B 12,re ee是是B的列向量的极大线性无的列向量的极大线性无 ,Tr Ar A由由m n矩阵，矩阵， ,r Ar1212,mmAB 行初等变换 ,r Br Ar1,iirm 可表示为可表示为的线性的线性组合组合. .12,re ee关组关组. 则则 12mrr Ar 可证明可证明A的秩等于行向量组的秩的秩等于行向量组的秩.16推论推论mn则有则有矩阵，矩阵，rm当当A的行向量组线性无关；的行向量组线性无关；时，时，设设A为为0.A 特别当特

12、别当A为为n阶方阵时，阶方阵时，A的列（行）向量组线性的列（行）向量组线性 .r Ar（1 1）rm当当A的行向量组线性的行向量组线性相关相关.时，时，rn当当A的列向量组线性无关；的列向量组线性无关；时，时，（2 2）rn当当A的列向量组线性的列向量组线性相关相关.时，时，无关的充要条件是无关的充要条件是17例例5设设123412104522,.115203612220 （1 1）1234, 讨论向量组讨论向量组的线性相关性；的线性相关性；（2 2）1234, 求求的极大线性无关组；的极大线性无关组；（3 3）把其余向量表示成极大线性无关组的线性把其余向量表示成极大线性无关组的线性组合组合.

13、解：解：1234,A取取12104522115203612220A1210012000010000000010300120.000100000000（1 1） 34 ,r An故故（2 2）123,e e eA的行标准形中，的行标准形中， 基本向量基本向量（3 3）其余向量为其余向量为由行标准形，由行标准形，124,. 1234, 线性相关线性相关.故故A是极大线性无关组为是极大线性无关组为在第在第1, ,2, ,4列列3,31232,31232.从而从而2012,nnR 设中的向量组线性无关,证明 证明：证明：例例6向量组nn当 为奇数时线性无关;当 为偶数时线性相关. 1212100011100001100=0001000011nnn n 12,n 向量组可以由向量组112223111=+,=+,=+,=+,nnnnn