第十六章量子物理

1、第十六章 量子物理16-1 黑体辐射一、热辐射的概念：当物体的温度T0K， 就向空间辐射电磁能量。二、热辐射的特点：1、 T800K主要辐射为可见光和紫外线；2、物体辐射出的能量随波长有一定的分布；E(,T)mTT三、辐射出射度1、单色辐出度：若物体单位表面，在波长+d范围辐射出的功率为dE(,T)，则定义： 为物体的单色辐出度； 2、总辐出度：物理意义：物体单位表面对各种波长的总辐射功率；dTdETM),(),(0),()(dTMTM四、吸收系数和反射系数若入射到物体表面的能量为E0，被反射的能量为Er ，被吸收的能量为Ea ，吸收系数：反射系数：黑体：吸收系数a=1；0EEaa0EErr黑

2、体模型五、基尔霍夫定律基尔霍夫实验：基尔霍夫定律： 物体的辐出度M（T）与其吸收系数的比值，是一个与物质性质无关的普适函数；)(),()(TMTaTMBAB真空六、黑体辐射规律1、Stefan-Balltzman定律：其中： Stefan恒量；2、Wien位移定律：其中：b=2.89810-3(m.K)光测高温技术：4)(TTMB)/(1067. 5428KmWbTmE(,T)mT七、经典理论的缺陷实验测量得黑体的MB(,T)曲线如图中实线所示；1893年，Wien（德）根据统计物理原理得到：随后，Rayleigh-Jeans（英）根据电磁理论得到：M(,T)mTRayleigh-Jeans公

3、式实验曲线Wien公式TCBeCTM251),(kTcTMB42),(八、普朗克量子假说1、普朗克量子假说 1900年，德国物理学家Planck为解决这一困难，提出了关于黑体辐射的量子假说：I、黑体由带电的线性谐振子组成；II、线性谐振子的能量是量子化的：2、Planck公式：;.3 ,2 ,nhhhhE 112),(/52kThcBehcTM讨论：1、短波情况下，0，可导出Wien公式2、长波情况下： ，可导出Rayleigh-Jeans公式；kThckThcee11/hckTekThc11/3、将Planck公式积分：4、令： 可导出Wien位移定律；40),()(TdTMTMB42823

4、4/1067. 52494. 6KmWchk0ddMB例题16-2 将太阳视为黑体，m=0.49，1、计算太阳的表面温度2、太阳的总辐射出射度)(109 . 51049. 010898. 2363KbTms)(1087. 6)109 . 5(1067. 5)(274384mWTTMs3、计算地球表面单位时间接收到太阳 的辐射能设：地球和太阳的半径分别为 Re=6106m， Rs=7108m，地球和太阳距离d=1.51011m)(107 . 1)4(417222WMRdRPssedSunearth)(105 . 1232mWRPIe地球单位表面得到的辐射功率例题16-3 一个宏观振子，m=10-

5、2kg， k=10N/m，振幅A=410-2m，1、计算振子的能量2、能量量子数n)(1082132JAkE)(5/21Hzmk30104 . 2hEn29104nhhEE16-2 光电效应一、光电效应的基本实验规律1、伏安特性；2、IS光照度A；3、反向截止电压VA与入射光 频率的关系：4、存在一“红限”频率；5、光电效应实验中无弛豫时间；0VkVAVIISVA0VA光电效应实验实验装置K1K2K3K4K5KA放大器放大器光电倍增管二、经典理论的缺陷1、按经典电磁理论，VA应该与光强I有关；2、光强足够就应该有光电效应发生，不应该存在“红限”频率；3、发生光电效应应该有时间累计问题；S三、爱

6、因斯坦的光量子假说1905年，爱因斯坦在普朗克假说的基础上提出了光量子假说：1、光束由光粒子流组成光子；2、光子能量为：E=h； 光子动量为：P=mc=E/c=h/；3、光在吸收和发射过程中能量是量子化的；4、爱因斯坦方程： 其中：W为金属的逸出功；Wmvh221几种常见金属的逸出功金属CSKNaZnWAg红限1014Hz4.695.445.538.0610.9511.19红限波长/0.6930.5510.5410.3720.2730.267逸出功/eV1.942.252.293.384.544.63讨论：根据爱因斯坦方程可以对经典理论的缺陷加以解决；1、根据爱因斯坦方程2、“红限”问题：3、

7、无弛豫时间：AVWhmveVA221四、光的波粒二象性光同时具有波和粒子二重性，能量与频率的关系动量与波长的关系hchEhchmcp例题16-5 光波长=450nm，钠的逸出功为 A=3.710-19J，1、光子能量、动量2、逸出电子的最大初动能3、红限频率)(8 . 2)(104 . 419eVJhcE)(5 . 0keVAhEm)/(105 . 127smkghp)(106 . 5/140HzhA)(104 . 5/70mc16-3 康普顿效应一、康普顿效应1920年，（美）A.H.Compton在观测X射线被物质散射过程中发现：在散射线中除入射线外，还存在有波长更长的成分；及散射光强度与

8、散射物无关，与有关！X-Ray样品光强I0IS00+二、经典理论的缺陷按经典电磁理论，物质中带电粒子在电场中做受迫振动，应该发射同频率的电磁辐射Rayleigh散射！经典散射理论（Rayleigh散射）在可见光波长范围成立！三、光子与电子间的相互作用Compton提出：X射线由光子E=h组成；散射过程是光子与电子间的相互作用。vh0电子hX-RayX-ray石墨康普顿波长的计算：由动量守恒和能量守恒原理：联立解得：2200mchcmhcos)(2)()()(2022202chchchmvh0 /ch/cmv)cos1 (000cmhcc康普顿波长)(1043. 230nmcmhC的求解过程由动

9、量守恒守恒方程再利用能量守恒方程将(2)平方后减去(1),并利用质速关系两边同除以（m0c0），)cos2()(022022 hmvc2002)(cmhmc )cos1()(0020 hcm)cos1(000 cmhcc例题16-6 X射线波长0=0.02nm，与静止电子发生碰撞，与入射线成90方向观察1、计算散射线波长)(0024. 0)cos1 (0nmcmh)(0224. 00nmh/0h/pe2、计算反冲电子动能根据能量守恒关系3、计算反冲电子的动量)(1008. 11500JhchchcEkh/0h/pe)/(105 . 41123220smkghpe8142)(tan0116-4

10、Bohr的氢原子理论一、氢原子光谱规律1、氢原子光谱的线状结构；2、可见光区域的Balmer系； 1885年， Balmer首先发现，位于可见光区域的氢原子光谱可以纳入公式：其中：B=365.5(nm) ； n=3、4、5、6.422nnB氢原子光谱6562.8红红4861.3蓝蓝紫紫4340.5氢原子的光谱带系结构示意图长波短波巴尔莫系不同的谱线系可以由公式来表示；其中： 称之为波数； T(m)=R/m2称之为光谱项； R=1.097107(m-1)称之为里德伯常数；)()(nTmT13、氢原子线状光谱结构由多个谱线系组成二、经典电磁理论的缺陷1、辐射为连续的，与离散谱结构相矛盾；2、电子辐

11、射能量后，半径变小，原子将消亡。这与核式模型相矛盾；三、 Bohr的氢原子理论1、定态假设：原子只能稳定存在于一系列能量不连续的定态，处于定态的原子不辐射能量，只有在不同定态间跃迁时才发射或吸收能量；2、量子化条件：3、电子在能级间跃迁时所吸收或发射的能量：nmvrL2/.3 , 2 , 1hnnmEEh在上述假设下，可解出由电子在定态下的总能量E=EK+EPnmvrrermv及20224.3 , 2 , 142220nnmer)(10529. 0101mrnnremvE14210222220418nhmeEneVE6 .131氢原子能级图n=1n=2n=3n=4BalmerLymanPatc

12、hen-13.6eV-3.39eV-1.51eV-0.85eV例题16-8 计算氢原子巴尔末系能量最小光 子的波长根据能级公式，对于巴尔末系巴尔末系的极限波长)(89. 1)2131(6 .1322mineVE)(106 . 6106 . 189. 1100 . 31063. 6719834minmEhc)(4 . 346 .13eVE)(37. 0mEhcn=2n=4n=3例16-9 双原子分子，由两个质量为m的原子构 成，两原子间距为d，围绕中垂线以匀角 速旋转。按波尔理论计算分子转动功能的可能取值。解：其角动量为nmdJL221mdm.3,2,122122222nnmdJLJEk波尔理论

13、的缺陷仍然引用了轨道的概念，理论值与实验值稍有偏差；只能较准确地计算氢原子问题，对较复杂的原子无能为力；不能说明谱线的强度及谱线宽度问题；16-5 物质的波粒二象性一、光的波粒二象性二、实物粒子的波粒二象性1、德布罗意关系 1924年，法国青年物理学家de-Brolie运用类比方法，指出：与能量E和动量P所对应的实物粒子所具有的物质波de-Brolie波。/hphE例题1计算质量分别为1.010-9 Kg的实物粒子和9.110-31 Kg的电子当它们均以1.0103 m/s的速度运动时，与之相对应的物质波的波长和频率各是多少？对实物粒子：对于电子：)(106 . 7/21)(106 . 612

14、9228Shmvmmvh)(109 . 6/21)(102 . 71827Shmvmmvh例题2计算当电子被电压V加速后的物质波长。电子的动能为：电子的动量为：电子的波长为：当加速电压V=150v时，0.1(nm)eVmvEk221meVmvp2)(22. 12nmVmeVhph2、Davisson-Germer实验1927年，（美国）物理学家C.J Davisson 和 L.H Germer利用电子束在Ni单晶片上的衍射，成功地证实了电子的波动性；S1S2K高压VIV1/2I3.06在非相对论情况下电子波长：按Brsgg方程：对于一定的晶体（d）和固定的衍射角度，当衍射强度达到极大值。)(2

15、2. 12nmVmeVhph.3 , 2 , 1sin2kkd)(sin21022. 12/19VdkV3、物质波的统计诠释电子的单缝衍射实验对衍射强度分布的几率解释：P电子束单缝宽x电子圆孔衍射图样Born关于物质波的统计诠释 1926年，德国物理学家Born指出：粒子在空间按一定的概率行为运动；物质波在某点的强度正比于粒子在该点出现的概率；Born关于物质波的统计诠释是量子力学的基本假设； 1954年为此荣获诺贝尔物理学奖！4、 不确定关系 1927年，德国物理学家W.K Heisenberg指出：某些物理量是不可能同时被确定的。包括：坐标动量；能量时间等；222zpypxpzyx2tE讨

16、论：不确定关系是可以通过量子力学原理证明的；不确定关系是粒子波粒二象性的反映，并非实验测量技术、主观能力的问题；能级寿命与谱线宽度；在电子单缝衍射实验中(近似考虑0级衍射范围）xhpp0ppp0 xhxp例题16-12 原子的线度为10-10m，求电子速 度的不确定度。解：设原子中电子位置的不确定范围10-10m ， 根据不确定关系按波尔理论可见：原子中的电子在任意时刻没有确定的位置 和速度。2px)/(108 . 525smxmv)/(106smrmvnrmv例题16-13 显像管中电子的加速电压约为 9103V，电子束直径0.1mm计算电子在横向速度的不确定量而电子速度的大小约为这时电子的

17、速度可以视为确定的。)/(58. 0101 . 01011. 921063. 6233134smxmv)/(10627smmeVv能级寿命与谱线宽度能级寿命：原子在高能态的平均停留时间。由：能级宽度P386 16-5，16-6，16-7，P387 16-22，16-25，2tE习题tE216-6 量子力学简介一、波函数及其物理意义 粒子的几率密度分布；这是量子力学的基本假设之一！二、波函数的基本性质及标准化条件1、单值； 2、连续； 3、有界； 4、归一；2三、薛定谔方程1926年，奥地利物理学家E.schrodinger提出，物质粒子所遵从的波动方程为：薛定谔方程是量子力学的又一个基本假设；

18、薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程；通过解薛定谔方程，可以求得波函数，量子 化条件，进而得知粒子的几率密度分布；),(222trVmti四、定态薛定谔方程定态的概念：确定的能量状态，V不显含时间；即 V=V(r)定态薛定谔方程：定态波函数：定态几率密度分布：)()()()(222rErrVrmiEtertr)(),(2)()(rr定态薛定谔方程的导出设：V=V（r），波函数的形式为(r)f(t)frVmtftfri)(2)()(22)(12122rVmdtdffi)()()()(222rErrVrm/iEdtfdf/)(iEtetf定态波函数定态波函数的形式可以表达为几率密度因此，定态问题转

19、化为定态薛定谔方程的求解问题。通过解定态薛定谔方程可以得到定态波函数及相应的量子化条件。/)(),(iEtertr2)()(rr五、一维势阱中的运动粒子一维势阱问题是应用定态薛定谔方程的简明实例。边值条件：(a)=(0)=0定态薛定谔方程ararrrV00, 0)(V(r)ra0=0=0Edxdm2222求解定态波函数由定态薛定谔方程可解得其中：利用连续化条件：(0)=(a)=002222mEdxdkxBkxAxcossin)(222mEk .3 , 2 , 10nankB及)sin()(xanAxn能量量子化条件由归一化条件：解得：概率分布：能量量子化条件：1)(02dxxanaA2axna

20、xnsin2)()(sin2)(22axnaxn22222nmaEn讨论：通过解定态薛定谔方程，可以求得描述粒子运动状态的定态波函数及粒子的概率分布函数；利用标准化条件对波函数进行标准化的同时可获得量子化条件；（能量）与一定能量相对应的波函数在势阱中只能取驻波形式，且随能量的升高，频率升高；能量En称为定态的本征值，n(x)称为定态的本征函数；例题：求0 a/4区域发现粒子的概率。解：设粒子处于量子数为n的定态，2sin214122cos12)(sin24/0240nndxaxnadxaxnapaa六、一维有限势垒问题设：粒子质量为m，能量E，势垒高度V0， 且EV0，从I区进入势垒。 薛定谔

21、方程为axVaxxxV0,00)(0V0EmaVxIIIIIIaxkdxdaxkdxdxkdxd00000321232222222121212三个区域中的波函数分别为axeBeAaxeBeAxeBeAxikxikxikxikxikxik11221133322211100其中：A1、B1、A2等为待定系数。A1代表入射波， B1代表反射波， A3代表透射波，反射系数和透射系数经过计算得2221222221222121322212222212222212114)(sin)(44)(sin)()(sin)(kkakkkkkAATkkakkkakkkABR讨论:T+R=1 能量守恒；在EV0的情况下，

22、仍有部分粒子可以穿过势垒隧道效应。势垒穿透与隧道效应势垒穿透：STM技术原理：xU0E材料表面自由电子层探针探针与金属表面形成隧道电流钻石中的原子排布七、一维线性谐振子一维线性谐振子的薛定谔方程能量量子化条件可以看出能量是量子化的，E=h0)21(222222xmEmdxd.3 ,2 ,1, 0)21(nhnEn16-7 氢原子的量子理论一、氢原子的定态薛定谔方程氢原子中电子势能为氢原子中电子的定态薛定谔方程为rerV024)(Erem0222420)4(20222reEm在球坐标系中令：经过分离变数后22222222sin1)(sinsin1)(1rrrrrr)()()(),(rRr)3(0

23、) 1(242)(1)2(0sin) 1()(sinsin1) 1 (0220222222222RrllmreEmdrdRrdrdrmllddddmddll二、讨论1、利用标准化条件对 ml , l , E的取值进行确定；方程（1）的解为：根据单值性要求:ml= 0，1, 2, 3, 4.方程（2）的解为： 勒让得级数；对于给定的ml ，级数收敛条件为：lime)(cosmlPlmnll,.2, 1, 0;1.3 , 2 , 1 , 0定态波函数角向:解方程（3）可得径向波函数:定态波函数:limmlmlePY)(cos)(cos,)(,rRlnllmllnmlYRNr,2,),(2、能量量子

24、化条件在E0的束缚态下，能量E的取值条件为：氢原子能级图基态能量222041)2()4(nmeEnn=1n=2n=3n=4BalmerLymanPatcheneVE6 .1313、角动量量子化条件可以证明：角动量取值为：电子态： l = 0S态，l = 1p态，l = 2d态，l = 3f态，例如：n=1, l=0 ， 称为1s态电子, n=2，l=0 ，2s态电子, l=1,称为2p态电子, n=3，l=0 ，3s态电子, l=1,称为3p态电子, l=2,称为 3 d态电子,1,.2 , 1 , 0) 1(nlllL4、角动量空间取向量子化条件可以证明：角动量在磁场方向的投影LZlmmLL

25、llz.2, 1, 0cosLZBLB-11-22L0电子云分布示意图1S态 2 P态3d态电子云电子的径向波函数（P343页表16-3）n=1 n=2areaR/2/30, 1)(2ararearaRearaR2/2/31 , 22/2/30, 2)(621)21 ()(21三、电子自旋1921年，Stern和Gerlach发现，射入非均匀磁场中的“基态”原子，在磁场中分裂为两束，这意味着“基态”原子中仍然包含了两种不同的电子态。1925年，荷兰物理学家Uhlenbeck和Goudsmit提出电子自旋假说；电子自旋并非机械自旋运动，自旋是电子的一种禀性！电子自旋角动量自旋角动量在磁场中的取向

26、自旋量子数21) 1(sssS21sszmmS四、描述电子态的量子数电子态可以用一组量子数来描述： n，l， ml，ms； n：为主量子数，标志着电子能量的高低； l ：为角动量量子数；ml ：为角动量空间取向量子数；ms ：为电子自旋量子数；例如：基态电子（1，0，0，1/2） （1，0，0，-1/2）五、塞曼效应1896年，德国物理学家P.Zeeman发现，处于外磁场中的光源，发出的谱线分裂为奇数条，称之为正常塞曼效应。l=0l=1无磁场时有磁场时ml+10-1在强磁场中能级简并被解除，发生分裂。塞曼效应理论设：原子中电子的轨道角动量为L，轨道磁矩为。电子的回转频率v/2r轨道磁矩-eLv

27、rLmerrev222角动量在磁场中的取向是量子化的角动量量子化条件：Lz=mlhBllzmmme2ml =0，1， l)(1027. 92124TJmeB波尔磁子轨道磁矩在磁场中不同的取向产生不同的附加能量BmEBlBml =0，1， l16-8 原子的壳层结构泡利不相容原理：在同一原子中，不能有完全相同的两个电子。能量最低原理：在平衡态下原子中的每个电子都趋向占据最低的能量状态。n=1、2、3、4. K、L、M、N壳层。 每壳层所容纳的电子数为2、8、18、32 1022)12(2nlnnlZ例如：n=3的M壳层对于n=3，l的可能取值为：0，1，2角动量的可能取值为：角动量的空间可能取向

28、： ml =0，1， 2 共5个可能容纳的全部电子态为： 3s2 3p6 3d10共18个电子态。即 232=186,2, 0元素周期表（P351页表16-4）原子中电子按壳层 排布元素KLMH1S1He1S2Li1S22S1Be1S22S2B1S22S22P1C1S22S22P2量子力学大意总结1、波函数的概率意义；2、薛定谔方程；3、量子化条件及量子态；4、力学量的平均值；5、量子力学与经典力学的关系；16-9 固体的能带结构一、固体的能带1、晶体内电子的势能曲线 为简单起见只讨论单个价电子的情形EprEab+电子在单个原子的势能场中运动EprEad+Epcb+d电子在双原子的势能场中运动

29、电子在单个原子势场中能量的量子化单原子的能级示意图2、电子在一维周期势场中运动时能量 的量子化忽略边缘效应原子一维势场可以近似为如下情形，由于隧道效应电子公有化 d三维空间的势垒示意图3、固体的能带结构可以证明：当N个原子组成晶体时，原来的每条能级都将分裂为N条。由于N是一个巨大的数字，因而能带中电子的能量可以近似认为是连续变化的。讨论：分裂后的能级间隔取决于原子间隔；固体能带符号仍然沿用原电子的能级符号；（ S能带、P能带等）每个能带中容纳的电子数目仍然由Paoli不相容原理来决定。例如：一个S能带中最多可以容纳2N个电子；2P能带最多可容纳6N个电子；满带：一个能带中所有能级均被电子填满；

30、空带：未被填入电子的激发能带；禁带：两能带之间不存在稳定能量状态；导带：未被电子填满的能带固体的能级和能带禁带能带能带E1E3E2注意：能量越高能带越宽二、绝缘体、导体和半导体1、绝缘体：电阻率在1081022m范围。它的价带被价电子填满，成为满带，而价带与空带之间的禁带宽度大（36eV）,使电子被束缚，不能产生定向运动。空带满带E=36eV价带导带2、导体导体的电阻率一般在108106m范围。它的能带有3种形式：价带满带Eg1）价带未满空带满带价带满带Eg空带2）满带与空带重叠3、半导体导电性能介于导体和绝缘体之间的物质称为半导体。半导体的能带如图空带满带E=0.11.5eV价带空带半导体的满带与空带接近,电子很容易被激发到空带中去，形成导电性。半导体中的电子导电与空穴导电空带中的电子和价带中的空穴均可以起导电作用空带满带E=0.11.5eV价带空带三、半导体P-N结1、N型半导体：在4价元素中掺入微量的5价元素产生一个多余的价电子。SiSiSiSiSiSiSiP导带满带E=0.11.5eV价带空带施主能级EdEd0.04eV2、 P型半导体在4价元素中掺入微量的3价元素产生一个多余的空穴。SiSiSiSiSiSiSi+B导带满带E=0.11.5eV价带空带受主能级EaEa 0.01eV3、半导体P-N结P-N结示意图P-N结结阻En型