基本不等式学习教案

1、会计学1基本基本(jbn)不等式不等式第一页，共27页。1理解并掌握基本不等式及变形应用(yngyng) 2会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题第1页/共26页第二页，共27页。自学教材自学教材 P97P100 解决下列解决下列(xili)问问题题一、理解一、理解(lji)并掌握基本不等式及变形应用并掌握基本不等式及变形应用二、创新设计二、创新设计 自学自学(zxu)导引导引.三、三、教材教材 P100 练习练习1、2、3、4.第2页/共26页第三页，共27页。下图是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计(shj)的，颜色的明暗使它看上去像一个风

2、车，代表中国人民热情好客你能在这个图案中找出一些相等关系和不等关系吗？ABCDEFGHab22ab设设AE=a,BE=b,则正方形则正方形ABCD的面积的面积(min j)是是_,这这4个直角三角形的面积个直角三角形的面积(min j)之之和是和是_,a2+b22ab222aba b当且仅当a=b时，等号成立(chngl)4SS正正方方形形ABCDABCD直直角角三三角角形形第3页/共26页第四页，共27页。结论(jiln)： 222aba b文字文字(wnz)叙述为叙述为: 两数的平方和大于或等于两数的平方和大于或等于(dngy)它们积的它们积的2倍。倍。 一般地，对于任意实数a、b，总有当

3、且仅当a=b时，等号成立特别地，若特别地，若a0，b0，则，则_2abab 通常我们把上式写作：通常我们把上式写作：(0,0)2ababab当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.第4页/共26页第五页，共27页。通常我们通常我们(w men)把上式写作：把上式写作：(0,0)2ababab 当且仅当a=b时取等号，这个(zh ge)不等式就叫做基本不等式.2abab 证明证明(zhngmng)：要证要证 只要证只要证2abab要证，只要证要证，只要证20abab要证，只要证要证，只要证2()0ab显然, 是成立的.当且仅当a=b时, 中的等号成立. 分析法分析法执果索因第5页/共

4、26页第六页，共27页。对基本不等式对基本不等式 的几何意义作进一步探究的几何意义作进一步探究2abab RtACDRtDCB，BCDC 所所以以DCAC2DCBC ACab所所以以ABCDEabO如图如图, AB是圆的直径是圆的直径, O为圆心，点为圆心，点C是是AB上一点上一点(y din), AC=a, BC=b. 过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.如何如何(rh)用用a, b表示表示CD? CD=_如何如何(rh)用用a, b表示表示OD? OD=_2ab ab第6页/共26页第七页，共27页。对基本不等式对基本不等式 的几何意义作进一步探究的几何意

5、义作进一步探究2abab ABCDEabO如图如图, AB是圆的直径是圆的直径, O为圆心为圆心(yunxn)，点点C是是AB上一点上一点, AC=a, BC=b. 过点过点C作垂作垂直于直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.如何如何(rh)用用a, b表示表示CD? CD=_如何如何(rh)用用a, b表示表示OD? OD=_2ab abOD与与CD的大小关系怎样的大小关系怎样? OD_CD2abab 几何意义：半径不小于半弦几何意义：半径不小于半弦第7页/共26页第八页，共27页。基本基本(jbn)不等式：不等式： (0,0)2ababab 注意：（注意：（1）不等式使用时）不等

6、式使用时,注意注意“一正一正,二定二定,三相三相等等” ; （2）当且仅当）当且仅当a=b时取等号；时取等号； （3） 叫做正数叫做正数a，b的算术的算术(sunsh)平均平均数，数， 叫做正数叫做正数a，b的几何平均数；的几何平均数；2ab ab均值(jn zh)不等式第8页/共26页第九页，共27页。解：如图设BC=x ，CD=y ， 则则xy=100，篱笆，篱笆(l b)的长为的长为2(x+y)m. 2xyxy 2 10020,xy 2() 40 xy 当且仅当 时，等号成立(chngl)因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用(su yn)的篱笆最短，最短的篱笆是40m. xy此时x=

7、y=10. x=yABDC1001010 xyxxyy解解，可可得得例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？若x、y皆为正数，则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，x+y有最小值_.2 P22xyxyP 第9页/共26页第十页，共27页。解：如图，设BC=x ，CD=y ， 则则 2(x + y)= 36 , x + y =18矩形菜园矩形菜园(ciyun)的面积为的面积为xy m22xyxy 得得 xy 81当且仅当当且仅当x=y时，等号成立时，等号成立(chngl) 因此，这个矩形的长、宽都为9m时， 菜

8、园(ciyun)面积最大，最大面积是81m21892即x=y=9xyABDC例1：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？若若x、y皆为正数，皆为正数，则当则当x+y的值是常数的值是常数S时，时，当且仅当当且仅当x=y时时，xy有最大值有最大值_；214S21422xySxyxyS 第10页/共26页第十一页，共27页。各项皆为正数各项皆为正数(zhngsh)；和或积为定值；和或积为定值；注意等号成立的条件注意等号成立的条件.一一“正正”二二“定定”三三“相等相等(xingdng)”利用基本利用基本(jbn)不等式求

9、最值时，要注意不等式求最值时，要注意已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.(1) xy=P x+y2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).(2) x+y=S xy S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).14第11页/共26页第十二页，共27页。【例【例2】某工厂】某工厂(gngchng)要建造一个长方体无盖贮水池，要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为其容积为4800m3,深为深为3m，如果池底每，如果池底每1m2的造价为的造价为150元，元，池壁每池壁每1m2的造价为的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最元，问怎样设计水池能使总造价最低低,最低总造价是多少元？最低总造

10、价是多少元？ 分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值式，然后求函数的最值，其中用到了均值(jn zh)不等式定理。不等式定理。第12页/共26页第十三页，共27页。解：解： 设水池底面一边的长度为设水池底面一边的长度为xm， 则水池的宽为则水池的宽为 ,水水池的总造价为池的总造价为y元，根据题意，得元，根据题意，得1600 x48001600150120(2 32 3)3yxx 1600240000720()xx 1600240000720 2 xx2400007202402976

11、00. 当当160040 xxx 即即时时y有最小值有最小值297600所以将水池的地面所以将水池的地面(dmin)设计成边长为设计成边长为40m的正方形时总造价的正方形时总造价最低，最低造价是最低，最低造价是297600元元第13页/共26页第十四页，共27页。三、教材三、教材(jioci) P100 练习练习1、2、3、4.第14页/共26页第十五页，共27页。基本不等式的功能在于和与积的互化，应用基本不等式求最值时一定要注意其“一正、二定、三相等”的条件，实际(shj)解题时主要技巧是“拆项”，“添项”，“配凑因式”22222222(1)222(2)( ,)1122(3)2 ( ,)(4

12、).ababababababa bRabbaa bababcabbcca ；同同调调和和几几何何算算；术术平平方方号号第15页/共26页第十六页，共27页。题型一：利用基本(jbn)不等式证明不等式利用基本不等式求函数的最值，要满足：利用基本不等式求函数的最值，要满足：(1)函数式中各项必须都是正数；函数式中各项必须都是正数；(2)函数式中含变数函数式中含变数(binsh)的各项的和或积必须的各项的和或积必须是常数是常数(定值定值);(3)等号成立条件必须存在等号成立条件必须存在第16页/共26页第十七页，共27页。1, ,1.1111118a b cabcabc、已已知知为为正正实实数数，且

13、且求求证证：, ,1,112112121,1.111222111=8a b cabcabcbcaaaaacabbbccbcacababcabc证证明明：为为正正实实数数，且且同同理理由由上上述述三三个个不不等等式式两两边边均均为为正正，分分别别相相乘乘第17页/共26页第十八页，共27页。2、已知、已知a，b，c 为不全相等为不全相等(xingdng)的正实的正实数求证数求证a2b2c2abbcca.【证明【证明(zhngmng)】a0，b0，c0，a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca.2(a2b2c2)2(abbcca)，即即a2b2c2abbcca.第18页/共26页第十九页，共

14、27页。第19页/共26页第二十页，共27页。第20页/共26页第二十一页，共27页。第21页/共26页第二十二页，共27页。第22页/共26页第二十三页，共27页。你学会了吗?对自己说，你有什么收获？对同学说，你有什么提示？对老师(losh)说，你有什么疑惑？第23页/共26页第二十四页，共27页。求最值时注意把握(bw) “一正，二定，三相等”已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.(1) xy=P x+y2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).(2) x+y=S xy S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).142、利用(lyng)基本不等式求最值本节课主要探究(tnji)基本不等式的证明与初步应用1、两个重要的不等式（1）（2） (当且仅当a=b时，等号成立)22,R,2()a bab