镜像法和电轴法PPT课件

1、1分离变量法综述一、应用场合：二、基本思想：1. 假定待求的位函数由两个或三个仅含有一个坐标变量假定待求的位函数由两个或三个仅含有一个坐标变量 的函数的乘积表示；的函数的乘积表示；2. 把假定的函数（试探解）代入偏微分方程，把假定的函数（试探解）代入偏微分方程， 借助于借助于“分分 离变量离变量”，将偏微分方程转化为两个或三个常微分方程；，将偏微分方程转化为两个或三个常微分方程；3. 解这些常微分方程并根据边界条件确定待定常数和函数；解这些常微分方程并根据边界条件确定待定常数和函数；4. 得到位函数的解。得到位函数的解。场域的场域的分界面分界面与正交坐标系的与正交坐标系的坐标面坐标面重合重合第

2、1页/共33页21.5.1直角坐标系中的分离变量法一、推导：（仅讨论二维拉普拉斯方程的解法）（仅讨论二维拉普拉斯方程的解法）拉普拉斯方程：拉普拉斯方程：=0 2 2222yx 1. 假定待求的位函数为假定待求的位函数为试探解试探解： (x,y) = X(x)Y(y)2. 把试探解代入，将偏微分方程把试探解代入，将偏微分方程转化为常微分方程：转化为常微分方程：0)()(22222222 dydYxXdxdXyYyx 设设X(x)、Y(y)均不为均不为0：0112222 dydYYdxdXX222211dydYYdxdXX = 得两个常微分方程：得两个常微分方程：022 XdxdX 022 Ydy

3、dY 第2页/共33页3一、推导：常微分方程常微分方程:3. 解常微分方程并根据边界条件确定待定常数和函数解常微分方程并根据边界条件确定待定常数和函数a. 若若 =kn2：得电位函数的一般解：得电位函数的一般解：022 XdxdX 022 YdydY X(x)=A0 x+B0 Y(y)=C0y+D0当当kn 0时：时：常微分方程的解为：常微分方程的解为：X(x)=Anch(knx)+Bn sh( knx)Y(y)=Cncos(kny)+Dn sin( kny) (x,y) = X(x)Y(y)=( A0 x+B0 ) (C0y+D0 ) 1)sincos)(nnnnnnnnnykDykCxsh

4、kBxchkAb. 若若 = - kn2： (x,y) = X(x)Y(y)=( A0 x+B0 ) (C0y+D0 ) 1)(sincos(nnnnnnnnnyshkDychkCxkBxkA当当kn=0时：时：常微分方程的解为：常微分方程的解为：1.5.1直角坐标系中的分离变量法第3页/共33页4例一、长直金属槽如图例一、长直金属槽如图.三边接地三边接地,另一边电位为另一边电位为V0,求求槽内电位槽内电位分布分布.解：解：由方程：由方程： =0 =V0a0 xyb =0 =0金属槽内金属槽内 |(x=0,0yb) =0 (x,y) =( A0 x+B0 ) (C0y+D0 ) 1)sinco

5、s)(nnnnnnnnnykDykCxshkBxchkA由边界条件由边界条件1 ：0 =B0 (C0y+D0 ) 1)sincos(nnnnnnykDykCA由边界条件由边界条件2 ：0 = A0 D0 x 1nnnnCxshkB0000由边界条件由边界条件3 ：0 = A0 x C0b 1sinnnnnnbkDxshkB000 |(y=0,0 xa)= 0 |(y=b,0 xa)= 0 |(x=a,0yb) = V0kn =n /b (x,y) = 1sinnnnybnDxbnshB 1.5.1直角坐标系中的分离变量法=0 2 2222yx 第4页/共33页5例一、长直金属槽如图例一、长直金

6、属槽如图.三边接地三边接地,另一边电位为另一边电位为V0,求求槽内电位槽内电位分布分布.解：解： =0 =V0a0 xyb =0 =0金属槽内金属槽内 |(x=0,0yb) =0由边界条件由边界条件4 ： |(y=0,0 xa)= 0 |(y=b,0 xa)= 0 |(x=a,0y1) 1( , )= 10coscosnnnnBE 2.由由 2 |( =0) = 0 ：= A0 ln 0 + B0 1cos)00(nnnnnnBA 0000 2( , )= 1cosnnnnA 1.5.2 圆柱坐标系中的分离变量法第9页/共33页10例一、长直介质圆柱体放在均匀的外电场中，如图。例一、长直介质圆

7、柱体放在均匀的外电场中，如图。求求圆柱体放入后场中的电位圆柱体放入后场中的电位分布分布。解：解： 1 |( =a) = 2 |( =a) E0a 2 2 0 xy 1 1 aa 22111.由分界面条件：由分界面条件： 1( , )= 10coscosnnnnBE 2( , )= 1cosnnnnA 10coscosnnnnaBaE 1cosnnnnaA )coscos(1101nnnnnBE 112cosnnnnnA n=1：-E0 a +B1 a -1 = A1 a 1 (-E0 +B1 a-2 )= 2 A1A1 =-1-( 2 - 1 )/( 2 + 1 )E0B1 = ( 2 - 1

8、 )/( 2 + 1 ) a2E0An=0 Bn=0n 1： 1.5.2 圆柱坐标系中的分离变量法第10页/共33页11例一、长直介质圆柱体放在均匀的外电场中，如图。例一、长直介质圆柱体放在均匀的外电场中，如图。求求圆柱体放入后场中的电位圆柱体放入后场中的电位分布分布。解：解：E0a 2 2 0 xy 1 1 1( , )=coscos212120aE 2( , )=cos)1 (01212E1.5.2 圆柱坐标系中的分离变量法第11页/共33页121-7 镜像法和电轴法镜像法和电轴法(解决静电场边值问题的解决静电场边值问题的间接间接方法方法)第12页/共33页13问题引入：问题引入：无限大导

9、体平板无限大导体平板(接地接地)上方上方h处有点电荷处有点电荷q，周围，周围介电常数为介电常数为 ，求解，求解导体平板上方的电场。导体平板上方的电场。qh 解：解： 2 =0除点电荷处除点电荷处 |(导体平面导体平面)= 0 |(无穷远处无穷远处)= 0qh -qh考虑如图考虑如图b，在导体平面下方，在导体平面下方h处放点电荷处放点电荷-q， 并撤去导体，整个空间充满介质并撤去导体，整个空间充满介质 的情况的情况 (图图a)(图图b)1.7.1 镜像镜像法法 一、平面镜像：一、平面镜像：(导体）导体）第13页/共33页14qh qh -qh(图图a)(图图b)结论：结论：1.图图a中电介质中的

10、电场分布可用图中电介质中的电场分布可用图b计算；计算；4.镜像电荷必须放在有效范围之外。镜像电荷必须放在有效范围之外。2.-q 为镜像电荷，它代替了分布在导电平板上的负值感应电荷的作用；为镜像电荷，它代替了分布在导电平板上的负值感应电荷的作用；3.用镜像法要注意有效范围：用镜像法要注意有效范围：单一介质！单一介质！PrqrqP 44Prr思考：如何求导体表思考：如何求导体表面的电荷密度分布？面的电荷密度分布？第14页/共33页15 电荷守恒：当点电荷q 位于无限大的导体平面附近时，导体表面将产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点电荷及导体表面上的感应电荷。可见，上述镜像法的实质

11、是以一个异性的镜像点电荷代替导体表面上异性的感应电荷的作用。根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量，读者可以根据导体表面电荷密度与电场强度或电位的关系证明这个结论。 半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件未变。第15页/共33页16推广推广1. 点电荷点电荷q线电荷线电荷 h h - h(图图a)(图图b)单一介质！单一介质！（结论类似）（结论类似） q推广推广 2. 平面平面两个平面两个平面 = /n (可除尽可除尽) (n=1,2,3) 有有(2n 1)个个镜像镜像 第16页/共33页17q 对于半无限大导体平面形成的劈形

12、边界也可应用镜像法。但是仅当这种导体劈的夹角等于 的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。例如，夹角为 的导电劈需引入 5 5 个镜像电荷。 3/3/3q 连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。 第17页/共33页18推广推广 3、两种介质两种介质 1 、 2的分界面为无限大平面，在介质的分界面为无限大平面，在介质 1中距离分界面中距离分界面d处有点电荷处有点电荷q。求求两种介质中的电场。两种介质中的电场。解：解： 2 1=0除点电荷处除点电荷处E1t= E2tqd 1 1qd在镜像电荷系统中：在

13、镜像电荷系统中：(图图b) 2 2qd(图图c)qd 1(图图a) 2 1 2 2 2=0D1n= D2n介质分界面介质分界面E1t=21214cos4cosrqrq E2t=224cosrq D1n =224sin4sinrqrq D2n =24sinrq qq2121 qq2122 rPE2t Pr E1t第18页/共33页19结论：结论：1. 图图a介质介质1中的电场分布可用图中的电场分布可用图b计算，计算，q =q( 1- 2) /( 1+ 2) ；2. 图图a介质介质2中的电场分布可用图中的电场分布可用图c计算，计算，q =2q 2 / ( 1+ 2) ；3. 镜像电荷镜像电荷q 是

14、分布在分界面上的极化电荷的等效；是分布在分界面上的极化电荷的等效；4. 镜像电荷镜像电荷q是极化电荷和自由电荷的等效；是极化电荷和自由电荷的等效；5. 注意图注意图b图图c的有效范围：的有效范围：qd 1 1qd(图图b) 2 2qd(图图c)qd 1(图图a) 2 1 2rPE2t Pr E1t第19页/共33页20 二、球面镜像：二、球面镜像：问题问题1:半径为半径为R的导体球的导体球(接地接地)外外d处有点电荷处有点电荷q，周围介电常数为，周围介电常数为 ，求解，求解导体球导体球外的电场。外的电场。解：解： 2 =0除点电荷处除点电荷处 |(导体球面导体球面)= 0 |(无穷远处无穷远处

15、)= 0 考虑如图考虑如图b，镜像电荷的位置、大小？，镜像电荷的位置、大小？(图图b)q(图图a)0Rd rqrqP 44= 0r2=R2+d2-2Rd cos r2=R2+b2-2Rb cos qdRq dRb2 q0Rd-qbPrr 第20页/共33页21 (图图b)q(图图a)0Rd q0Rd-qb结论：结论：1. 图图a中电介质中的电场分布可用图中电介质中的电场分布可用图b计算；计算；2. -q 为镜像电荷，它是分布在导电球上的负值感应电荷的等效；为镜像电荷，它是分布在导电球上的负值感应电荷的等效；3. q = qR/d ( |q|q )； R2=bd；4. 用镜像法要注意有效范围：用

16、镜像法要注意有效范围：单一介质！单一介质！第21页/共33页22问题问题2:半径为半径为R的导体球的导体球(不接地不接地)外外d处有点电荷处有点电荷q,周围介电常数为周围介电常数为 , 求解求解导体球外的电导体球外的电场。场。解：解： 2 =0除点电荷处除点电荷处 |(导体球面导体球面)= c |(无穷远处无穷远处)= 0 考虑如图考虑如图b，镜像电荷的位置、大小？，镜像电荷的位置、大小？(图图b)q(图图a)0Rd qdRq dRb2 -qbq两个镜像电荷两个镜像电荷q 、-q，q 位于球心位于球心d0Rq第22页/共33页23AB 0()12 00An()01n1.图图 示示 点点 电电

17、荷荷 Q 与与 无无 限限 大大 接接 地地 导导 体体 平平 板板 的的 静静 电电 场场 问问 题题 中，中， 为为 了了 应应 用用 镜镜 像像 法法 求求 解解 区区 域域 A 中中 的的 电电 场，场， 基基 于于 唯唯 一一 性性 定定 理，理， 在在 确确 定定 镜镜 像像 法法 求求 解解 时，时， 是是 根根 据据 边边 界界 条条 件件（用（用 电电 位位 表表 示）示） 无限大导体平板h 区域 B 区域 AQ0或：或：第23页/共33页242、 镜镜 像像 法法 的的 理理 论论 根根 据据 是是_。 镜镜 像像 法法 的的 基基 本本 思思 想想 是是 用用 集集 中中

18、 的的 镜镜 像像 电电 荷荷 代代 替替_ 的的 分分 布。布。第24页/共33页25一、问题的提出：一、问题的提出：1. 长直平行带电圆柱导体长直平行带电圆柱导体在电力和信号传输中广泛存在。在电力和信号传输中广泛存在。2. 分析两长直平行带电圆柱导体（轴向单位长度电荷量为分析两长直平行带电圆柱导体（轴向单位长度电荷量为 、- ）的电场：）的电场：直接法很困难直接法很困难。间接解决。间接解决。xy- + 0 |(导体导体1)= c1 |(导体导体2)= c21.7.2 电轴电轴法法第25页/共33页26Crr ln2 rrPererE 22x二、一对细长导线产生的电场：二、一对细长导线产生的

19、电场：解：由高斯定律、叠加原理：解：由高斯定律、叠加原理：y- 0+ P(x, y)2br+r_drrdrrQPQPP 22取取y轴电位为轴电位为0，则：，则：C=0 rrPln2 等位线方程为：令等位线方程为：令 P=kKrr 2222222)()(Kybxybxrr 222222)12()11( KbKybKKx则等位线为若干圆，则等位线为若干圆，bKKd1122 122 KbKRR2 +b2 =d2设圆心到原点的距离为设圆心到原点的距离为d，圆半径为，圆半径为R第26页/共33页27x结论：结论：y- 0+ 2b等位线为若干圆，等位线为若干圆，R2 +b2 =d2圆心到原点的距离为圆心到

20、原点的距离为d，圆半径为，圆半径为R2dR第27页/共33页28xy- + 0a三、两长直平行带电圆柱导体三、两长直平行带电圆柱导体(等半径等半径)外部的电场：外部的电场：电轴法电轴法：将圆柱导体撤去，代之以：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线两带电细线(等效电轴等效电轴) 。 rrPln2 a2+b2 =h2设圆柱导体的半径为设圆柱导体的半径为a，两圆心距离为，两圆心距离为2h，两等效电轴的距离为，两等效电轴的距离为2b- + 2b2hP(x, y)r+r_导体内部导体内部的电场？的电场？注意确定注意确定等效电轴等效电轴的位置。的位置。 若取若取y轴电位为轴电位为0，则圆柱导体则圆柱导体外外任一点任一点P的电位为的电位为: 第28页/共33页29例一、两长直平行带电圆柱导体的电压为例一、两长直平行带电圆柱导体的电压为U0，尺寸如图，求导体，尺寸如图，求导体轴向单位长度电荷量轴向单位长度电荷量 及导体外任意点及导体外任意点P的电位。的电位。解：用电轴法解：用电轴法xy0a- + 2bDP(x, y)r+r_U0则导体则导体2的电位即点的电位即点P的电位为：的电位为： rrPln2 P)2()2(ln2aDb