矿大高数多元函数的基本概念学习教案

1、会计学1矿大高数多元函数的基本概念矿大高数多元函数的基本概念第一页，编辑于星期二：十点 五十五分。2（2）区域）区域EP 例如，例如，即为开集即为开集第1页/共35页第二页，编辑于星期二：十点 五十五分。3EP 第2页/共35页第三页，编辑于星期二：十点 五十五分。4连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域例如，例如，xyo例如，例如，xyo第3页/共35页第四页，编辑于星期二：十点 五十五分。5有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域xyo例如，例如，第4页/共35页第五页，编辑于星期二：十点 五十五分。6（3）聚点）聚点1 内点一定是聚点；内点一定是聚点；2 边界点可能是聚

2、点；边界点可能是聚点；例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点第5页/共35页第六页，编辑于星期二：十点 五十五分。73 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合第6页/共35页第七页，编辑于星期二：十点 五十五分。8（4）n维空间维空间1 n维空间的记号为维空间的记号为2 n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 第7页/共35页第八页，编辑于星期二：十点 五十五分。93 n维空间中邻域、区域

3、等概念维空间中邻域、区域等概念 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面时，便为数轴、平面、空间两点间的距离、空间两点间的距离3, 2, 1 n内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为第8页/共35页第九页，编辑于星期二：十点 五十五分。10（5）二元函数的定义）二元函数的定义第9页/共35页第十页，编辑于星期二：十点 五十五分。11类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数第10页/共35页第十一页，编辑于星期二：十点 五十五分。12xyoxy第11页/共35页第十二页，编辑于星期二：十点 五十五分。13例例1 1

4、 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为第12页/共35页第十三页，编辑于星期二：十点 五十五分。14二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.第13页/共35页第十四页，编辑于星期二：十点 五十五分。15xyzo例如例如,图形如右图图形如右图.例如例如,左图球面左图球面.单值分支单值分支:第14页/共35页第十五页，编辑于星期二：十点 五十五分。16xyzoxyz第15页/共35页第十六页，编辑于星期二：十点 五十五分。17二、多元函数的极限:类类似似第16页/共35页第十七页，编辑于星期二：十点 五十五分。18),(yxfz ),(,000yxPD 20200)

5、()(|0yyxxPP |),(|Ayxf),(yxfz 0 xx 0yy Ayxfyyxx ),(lim00 设函数设函数的定义域为的定义域为是其聚点，如果对于任意给定的正数是其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，总存在正数 ，使得对于适合不等式，使得对于适合不等式的一切点的一切点 P ( (x , ,y) )，都有，都有成立，则称成立，则称A为函数为函数当当，时的极限，记时的极限，记为为 定义定义1 1第17页/共35页第十八页，编辑于星期二：十点 五十五分。19说明说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也

6、叫二重极限);,(lim00yxfyyxx第18页/共35页第十九页，编辑于星期二：十点 五十五分。20例例2 2 求证求证 证证当当 时时， 22)0()0(0yx原结论成立原结论成立第19页/共35页第二十页，编辑于星期二：十点 五十五分。21第20页/共35页第二十一页，编辑于星期二：十点 五十五分。22例例5 5 求极限求极限 解解其中其中yxu2 第21页/共35页第二十二页，编辑于星期二：十点 五十五分。23第22页/共35页第二十三页，编辑于星期二：十点 五十五分。24222200yxyxyxlim第23页/共35页第二十四页，编辑于星期二：十点 五十五分。25例例7 7 证明证

7、明 不存在不存在 证证取取其值随其值随k的不同而不同，的不同而不同，故极限不存在故极限不存在第24页/共35页第二十五页，编辑于星期二：十点 五十五分。26第25页/共35页第二十六页，编辑于星期二：十点 五十五分。27三、多元函数的连续性:连续连续:连续连续)()(lim00PfPfPP或或第26页/共35页第二十七页，编辑于星期二：十点 五十五分。28第27页/共35页第二十八页，编辑于星期二：十点 五十五分。29第28页/共35页第二十九页，编辑于星期二：十点 五十五分。30第29页/共35页第三十页，编辑于星期二：十点 五十五分。31例例9 9讨论函数讨论函数 )0 , 0(),(,

8、0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性解解第30页/共35页第三十一页，编辑于星期二：十点 五十五分。32例例9 9 讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续第31页/共35页第三十二页，编辑于星期二：十点 五十五分。33闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至上至少取得它的最大值和最小值各一次少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上取上取得介于这两值之间的任何值至少一次得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理第32页/共35页第三十三页，编辑于星期二：十点 五十五分。34 多元初等函数：多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有限次由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数所表示的多元函数叫多元初等函