概率随机变量函数的分布学习教案

1、会计学1概率随机变量函数的分布概率随机变量函数的分布第一页，编辑于星期二：七点 二十八分。设随机变量设随机变量 的概率密度函数为的概率密度函数为 求求(1) 系数系数A；(2) ； (3) 随机变量随机变量 的分布函数的分布函数F(x)。 X( ),xp xAex (01)PXX复习：复习：第1页/共22页第二页，编辑于星期二：七点 二十八分。2. 设连续型随机变量X的分布函数为x111x0Ax0 x0)x(F2求:(1)A; (2)P(0.3X0.7); (3)X的概率密度f(x)解:(1)F(x)在x=1点连续,由左连续性得:1lim( )(1)xF xF即:21lim(1)1xAxF所以

2、,A=1(2)P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4(3)f(x)=)x(F=0 x02x 0 x10 1x即:其它01x0 x2)x( f第2页/共22页第三页，编辑于星期二：七点 二十八分。第3页/共22页第四页，编辑于星期二：七点 二十八分。离散型随机变量的分布列：离散型随机变量的分布列：第4页/共22页第五页，编辑于星期二：七点 二十八分。212221 ， ， 的分布列解解:第5页/共22页第六页，编辑于星期二：七点 二十八分。第6页/共22页第七页，编辑于星期二：七点 二十八分。-2-101-1012-6-4-20 p1/61/31/61/32/

3、3193122221第7页/共22页第八页，编辑于星期二：七点 二十八分。第8页/共22页第九页，编辑于星期二：七点 二十八分。故故:第9页/共22页第十页，编辑于星期二：七点 二十八分。第10页/共22页第十一页，编辑于星期二：七点 二十八分。第11页/共22页第十二页，编辑于星期二：七点 二十八分。对随机变量对随机变量X的线性函数有以下定理的线性函数有以下定理定理定理1 设随机变量设随机变量XfX(x),Y=kX+b(k0),)kby(f|k|1)y(fXY例如:设X为连续型随机变量,XFX(x),Y= -4X+3,则Y的密度函数为)43y(f41)y(fXY则则Y的概率密度为的概率密度为

4、:第12页/共22页第十三页，编辑于星期二：七点 二十八分。 证：证：第13页/共22页第十四页，编辑于星期二：七点 二十八分。进一步可以推广得到以下定理：定理定理2 设设XfX(x),y=g(x)是是x的单调可导函数的单调可导函数,其导数不为其导数不为0,值域为值域为 (a,b),-ab0,反函数为x=h(y)=lny,所以,y0时,| )y(h|)y(hf)y(fXYy1)y(h=|y1|ylnfX=)yln1( y12所以,其它00y)yln1( y1)y(f2Y第15页/共22页第十六页，编辑于星期二：七点 二十八分。第16页/共22页第十七页，编辑于星期二：七点 二十八分。第17页/

5、共22页第十八页，编辑于星期二：七点 二十八分。 1 1、一般方法 若Xf(x), -Xf(x), - x + x + , Y=g(X), Y=g(X)为随机变量X 的函数，则可先求Y的分布函数 FY (y) PY yP g(X) y ()( )gxyfx dx()()YYd Fyfyd y然后再求Y的密度函数此法也叫“ 分布函数法”总结：总结：连续型随机变量函数的概率密度求法：连续型随机变量函数的概率密度求法：第18页/共22页第十九页，编辑于星期二：七点 二十八分。例例 设X X U(-1,1),U(-1,1),求求Y=XY=X2 2的分布函数与概率密度。的分布函数与概率密度。 dxxfy

6、FxxgyxxfyxXYX22)(01121其它ydxFyyY21其它01021)( )(yyyFyfYY当y0时0)(yFY当0y1时当y1时1)(yFYyy第19页/共22页第二十页，编辑于星期二：七点 二十八分。2、公式法：一般地 若XfX(x), y=g(x)是单调可导函数，则 | )(|)()()(yhyhfyfXgYXY注注：1、 只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以上公式推求Y的密度函数。 2、 注意定义域的选择其中h(y)为yg(x)的反函数.第20页/共22页第二十一页，编辑于星期二：七点 二十八分。1、设随机变量的概率密度函数为、设随机变量的概率密度函数为：求随机变量求随机变量 的概率密度。的概率密度。0( )0 xexf x其他2YX习题：习题：2