概率论与数理统计-- 假设检验（8.1--8.3）

1、第一节 假设检验二、假设检验的相关概念三、假设检验的一般步骤一、假设检验的根本原理四、典型例题一、假设检验的根本原理 在总体的分布函数完全未知或只知其形式、但不知其参数的情况下, 为了推断总体的某些性质, 提出某些关于总体的假设. 假设检验就是根据样本对所提出的假设作出判断: 是接受, 还是拒绝.例如, 提出总体服从泊松分布的假设; 对于正态总体提出均值等于的假设. 提出总体服从泊松分布的假设. 对于正态总体提出均值等于参数假设检验的假设；非参数假设检验如何利用样本值对一个具体的假设进行检验? 通常借助于直观分析和理论分析相结合的做法,其根本原理就是人们在实际问题中经常采用的所谓实际推断原理:

2、“一个小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的.下面结合实例来说明假设检验的根本思想.假设检验问题是统计推断的另一类重要问题.实例 某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.当机器正常时, 其均值为0.5千克, 标准差为0.015千克.某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(千克):0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 问机器是否正常? 分析:由长期实践可知, 标准差较稳定, 问题: 根据样本值判断提出两个对立假设再利用样本作出判断是接受假设 H0

3、( 拒绝假设 H1 ) , 还是拒绝假设 H0 (接受假设 H1 ). 如果作出的判断是接受 H0, 即认为机器工作是正常的, 否那么, 认为是不正常的.由于要检验的假设涉及总体均值, 故可借助于样本均值来判断.于是可以选定一个适当的正数 k ,两类错误当原假设H0为真, 观察值却落入拒绝域, 而作出了拒绝H0的判断, 称做第一类错误, 又叫弃真错误, 这类错误是“以真为假. 犯第一类错误的概率记为 (2) 当原假设 H0 不真, 观察值却落入接受域, 而作出了 接受 H0 的判断, 称做第二类错误, 又叫取伪错误, 这类错误是“以假为真. 犯第二类错误的概率记为 H0: 无罪假设检验中的两类

4、错误(决策结果)陪审团审判裁决实际情况无罪有罪无罪正确错误有罪错误正确H0 检验决策实际情况H0为真H0为假未拒绝H0正确决策第类错误(b )拒绝H0第类错误(a )正确决策假设检验就好似一场审判过程 当样本容量 n 一定时, 假设减少犯第一类错误的概率, 那么犯第二类错误的概率往往增大. 假设要使犯两类错误的概率都减小, 除非增加样本容量.说明 一般的，只对犯第一类错误的概率加以控制，而不考虑犯第二类错误的概率的检验，称为显著性检验.于是拒绝假设H0, 认为包装机工作不正常.由标准正态分布分位点的定义得以上所采取的检验法是符合实际推断原理的.二、假设检验的相关概念1. 显著性水平2. 检验统

5、计量3. 原假设与备择假设假设检验问题通常表达为:4. 拒绝域与临界点 当检验统计量取某个区域C中的值时, 我们拒绝原假设H0, 那么称区域C为拒绝域, 拒绝域的边界点称为临界点.如在前面实例中, 5. 双边假设检验6. 单边检验(右边检验与左边检验)7. 单边检验的拒绝域三、假设检验的一般步骤2. 确定检验统计量以及拒绝域形式;3. 根据样本观察值验算；4. 推断接受还是拒绝原假设 .四、典型例题例1即认为这批推进器的燃烧率较以往有显著提高.解根据题意需要检验假设小结假设检验的根本原理、相关概念和一般步骤.真实情况(未知)所 作 决 策接受 H0拒绝 H0H0 为真正确犯第I类错误H0 不真

6、犯第II类错误正确假设检验的两类错误第二节 正态总体均值的假设检验一、单个总体均值 的检验二、两个总体均值差的检验一、单个总体 均值 的检验例1 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下:假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变化, 试问该机器工作是否正常?解检验问题的拒绝域为根据第六章2定理三知, 在实际中, 正态总体的方差常为未知, 所以我们常用 t 检验法来检验关于正态总体均值的检验问题.上述利用 t 统计量得出的检验法称为t 检验法. 如果在例1中只假定切割的长度服从正态分布, 问

7、该机切割的金属棒的平均长度有无显著变化?解查表得例2 某种电子元件的寿命X(以小时计)服从正态分布, 均为未知. 现测得16只元件的寿命如下:问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时)?例3解依题意需检验假设检验问题的拒绝域为二、两个总体 的情况 利用t检验法检验具有相同方差的两正态总体均值差的假设.根据第六章2定理四知,求检验问题的拒绝域其拒绝域的形式为故拒绝域为 关于均值差的其它两个检验问题的拒绝域见表8.1, 当两个正态总体的方差均为(不一定相等)时,我们可用 Z 检验法来检验两正态总体均值差的假设问题, 见表8.1 .例4 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢

8、的得率, 试验是在同一只平炉上进行的. 每炼一炉钢时除操作方法外, 其它条件都尽可能做到相同.先采用标准方法炼一炉, 然后用建议的新方法炼一炉, 以后交替进行, 各炼了10炉, 其得率分别为(1)标准方法: 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; (2)新方法:79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 78.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1; 设这两个样本相互独立, 且分别来自正态总体问建议的新操作方法能否提高得率?解分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本方差:拒绝域为即认为

9、建议的新操作方法较原来的方法为优.例5 有甲、乙两台机床加工相同的产品, 从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干件, 测得产品直径(单位:mm)为机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9机床乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2, 试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著差异? 假定两台机床加工的产品直径都服从正态分布, 且总体方差相等.解即甲、乙两台机床加工的产品直径无显著差异. 拒绝域为 432 1第三节 正态总体方差的假设检验一、单个总体的情况二、两个总体的情况一、单个总体 的

10、情况(1) 要求检验假设:根据第六章2, 指它们的和集为了计算方便, 习惯上取拒绝域为:(2)单边检验问题的拒绝域右边检验:拒绝域的形式为:左边检验:拒绝域为例1 某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以来服从方差 =5000 (小时2) 的正态分布, 现有一批这种电池, 从它生产情况来看, 寿命的波动性有所变化. 现随机的取26只电池, 测出其寿命的样本方差 =9200(小时2). 问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化?拒绝域为: 认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化.解例2 某厂生产的铜丝的折断力指标服从正态分布, 现随机抽取9根, 检查其折断力, 测得数据如下(单位:千克): 289, 268, 285, 284, 286, 285, 286, 298, 292. 问是否可相信该厂生产的铜丝的折断力的方差为20?解查表得认为该厂生产铜丝的折断力的方差为20.拒绝域为:例3 某自动车床生产的产品尺寸服从正态分布,按规定产品尺寸的方差 不得超过0.1, 为检验该自动车床的工作精度, 随机的取25件产品, 测得样本方差 s2=0.1975, . 问该车