初等代数运算命令与例题 Mathematica教学课件 数学实验

1、第三章 初等代数运算命令与例题 多项式运算多项式是我们最熟悉的简单表达式，n 次一元多项式的一般形式为:Pn(x) =a 0 +a1x+ a2x 2 +a nx n在Mathematica 中, 有关表达式的任何运算都可以应用到多项式中，特别，多项式的加减乘除四那么运算只要用Mathematica 中的加减乘除号来连接两个多项式即可, 如: 数学形式 Mathematica 输入形式 多项式相加 (3+x 2) + (1-2x5 ) (3+x2)+(1-2*x5)多项式相减 (3+x 2) - (1-2x5 ) (3+x2)-(1-2*x5)多项式相乘 (3+x 2)(1-2x5 ) (3+x

2、2)*(1-2*x5)多项式相除 (3+x 2) (1-2x5 ) (3+x2)/(1-2*x5)下面列举其中的常用函数及功能:Mathematica 函数形式 功能1) Expand多项式 把多项式按升幂展开2) Factor多项式 对多项式进行因式分解3) Collect多项式,x 把多项式按x的同次幂合并形式展开4) Simplify多项式 把多项式写成项数最小的形式5) Exponent多项式, x 取出多项式中x的最高幂数6) Coefficient多项式,form 取出多项式中form的系数7) Part多项式, n 取出多项式的第n项,从常数项开始8) Length多项式 给出多

3、项式的项数9) PolynomialQuotientp,q, x 计算pq的商,这里p,q是关于x的多项式10) PolynomialRemainderp,q, x 计算pq的余式,这里p,q是关于x的多项式11) PolynomialGCDp,q, 求多项式p,q,的最大公因子12) PolynomialGCDp,q, 求多项式p,q,的最小公倍数例1:展开多项式(2+3x)4，并取出它的第3项。解: Mathematica 命令为: In1:= p=Expand(2+3x)4Out1=16+96x +216x 2 +216x3 +81x4In2:= Partp, 3Out2= 216 x2

4、例2: 设多项式q=(1+2x - y)2，做(1)展开多项式q (2)按y的同次幂合并形式展开多项式q (3)取出多项式q中y和xy的系数解: Mathematica 命令为: In3:= q=Expand(1+2x - y)2Out3= 1 + 4 x + 4 x 2 - 2 y - 4 x y + y2 In4:= Collect(1+2x-y)2, y Out4= 1 + 4 x + 4 x 2 + (-2 - 4 x) y + y2In5:= Coefficientq, yOut5= -2 - 4 xIn6:= Coefficientq, x*yOut6= - 4 例3: 对多项式1

5、20 - 46x - 19 x 2 + 4 x 3 +x 4进行因式分解。解: Mathematica 命令为: In7:= Factor120 - 46x - 19 x2+ 4 x3 +x4Out7= (-3 + x) (-2 + x) (4 + x) (5 + x)例4: 设多项式p=1 - 4x - 19 x2 + 4 x3，q=1 - 3x ，1)计算pq的商； 2) 计算pq的余式 解: Mathematica 命令为: In8:= p=1-4x 19x2+4x3; q=1-3x;In9:= PolynomialQuotientp, q, xOut9= 89/27+ 53 x/9 -

6、 4 x2/ 3 In10:= PolynomialRemainderp, q, xOut10= -62/27例5: 设多项式p=120 - 46x - 19 x 2 + 4 x 3 +x 4，q=20 x+9x2+x 3 1)求多项式p，q的最大公因子；2) 求多项式p，q的最小公倍数 解: Mathematica 命令为: In11:= p=120 - 46x - 19 x2+ 4 x3 +x4;q=20 x+9x2+x3; In12:= PolynomialGCDp, q Out12= 20+ 9 x + x2 In13:= PolynomialLCMp, q Out13= 120 x

7、- 46 x2 - 19 x3 + 4 x4 + x5有理函数运算两个多项式相除构成有理函数，它的一般形式为:在Mathematica 中提供了有理函数运算的一些函数，常用的函数有: Mathematica 函数形式 功能1) Togetherexpr 对expr进行通分2) Apartexpr 把expr写成简单分式之和3) Cancelexpr 对expr进行约分 4) Simplifyexpr 对expr进行化简5) Numerator有理函数 取出有理函数的分子6) Denominator有理函数 取出有理函数的分母例6:设有理函数之和为:1)对r(t)通分； 2) 取出r(t)的分子

8、； 3) 取出r(t)的分母解: Mathematica 命令为: In14:= r=6/t-3/(1+t)- (3t+3)/(1+t2);In15:= s=Togetherr In16:= Numerators Out16= 6In17:= Denominators Out17= t (1 + t) (1 + t )2例7: 设有理函数为1) 把q(x)写成简单分式之和； 2) 对qx进行约分； 3) 对q(x)进行化简:解: Mathematica 命令为: In18:= q=(1-x2)/(9+21x+16x2+4x3);In19:= Apartr In20:= CancelqIn21:

9、= Simplifyq连续求和与连续求积运算在数学中，有时需要计算n个有规律的数相加或相乘，这就是数学中由符号表示求和运算和由符号表示的求积运算，即:上式中 ai 称为通项.Mathematica 提供了这种快速求和和求积运算命令。3.3.1 连续求和命令连续求和命令的一般形式为 Sum 通项, 求和范围 或 NSum 通项, 求和范围 命令形式1: Sumf(i) , i ，imin，imax，h 功能：计算和 f(imin) +f(imin +h)+ f(imin +2h)+f(imin +nh) imax h imin + nh imax , h0例如：计算和12 +3 2 + +19

10、2 , 由连加的规律, 知通项为i2 Mathematica命令：In22: = Sum i2 , i , 1, 19 , 2 Out22= 1330命令形式2: Sum f(i) , I，imin，imax 功能：计算和 f(imin) +f(imin +1)+f(imin+2)+f(imax)例如：计算 Mathematica命令：In23: = s=Sum1/(k2-1), k, 3 , 20Out23=103/280命令形式3: Sum f(i , j)，i，imin，imax,j, jmin，jmax功能：计算二重和式例如 ：计算 Mathematica 命令: In24: =Sum

11、(i-j)3, i, 1 , 20, j, 1 , 10Out24= 149500例8: 计算: 解: Mathematica 命令为: In25: = s1=SumSink, k, 1 , 5 Out25= Sin1 + Sin2 + Sin3 + Sin4 + Sin5 In26: = s1=NSumSink, k, 1 , 5 Out26= 0.176162 In27: = s2=NSum1/k2 , k, 1，Infinity例9:设 用Sum命令生成s1(x), s3(x), s6(x),并在同一个坐标系中画出s1(x), s3(x), s6(x)在-1,1上的图形解: Mathem

12、atica 命令为: In28:= s1=Sum(k+1)*xk, k, 0, 1Out28=1+2xIn29:= s3=Sum(k+1)*xk, k, 0, 3Out29=1+2x+3x 2+4x3In30:= s6=Sum(k+1)*xk, k, 0, 6Out30=1+2x+3x2+4x3+5x 4+6x5+7x 6In31:= Plots1,s3,s6,x,-1,1 3.3.2 连续求积命令求积命令的一般形式为 Product 通项, 求积范围 或 NProduct 通项, 求积范围 式中的范围与求和命令Sum相同,具体形式有命令形式1: Product f(i) , i ，imin，

13、imax，h 功能：计算和 f(imin)f(imin +h) f(imin +2h) f(imin +nh) imax h imin + nh imax , h0例如：计算和1232 19 2 , 由连乘的规律, 知通项为i2 Mathematica命令： In32: = Product i2 , i , 1, 19 , 2 命令形式2: Product f(i) , i ，imin，imax 功能：计算和 f(imin) f(imin +1) f(imin +2) f(imax)命令形式3: Product f(i , j)，i，imin，imax, j ，jmin，jmax功能：计算二重

14、和式 例: 计算 Mathematica命令：In33: = s=Product1/(k2-1), k, 2 , 15例: 计算解: Mathematica 命令为: In34: = s=ProductCosk, k, 1 , 4Out34= Cos1 Cos2 Cos3 Cos4 In35: = s=NProductCosk, k, 1 ,4 方程求根 在数学中, 函数等于零的式子就称为方程。 fx= 0 (1)就称为一元函数方程.类似的有多元函数方程组: 1(x1 ,x2 , ,x n) = 0 2(x1 ,x2 , ,x n) = 0 . (2) n(x1 ,x2 , ,x n) = 0

15、 3.4.1 求多项式方程的根n次多项式方程的一般形式为:a0 +a1x+ a2x2 +anx n = 0式中a0 ,a1, a2,an为常数。求多项式方程的根的一般形式为 Solve 方程或方程组, 变量或变量表 或 NSolve 方程或方程组, 变量或变量表 具体形式有:命令形式1: Solveeqn, x功能：求多项式方程eqn的所有根，当多项式方程的次数n4时，给出eqn所有根的准确形式, 当n4时，不一定能求出所有的根, 此时，命令输出形式为 ToRulesRootseqn, x 命令形式2: Solveeqn1, eqn2, , eqnk, x1, x2, xk功能：求多项式方程组

16、eqn1, eqn2, , eqnk的所有根, 当其中每个多项式方程的次数n4时, 给出所有根的准确形式: ToRulesRootseqn1, eqn2, , eqnk, x1, x2, xk 命令形式3: NSolveeqn, x功能：求多项式方程eqn的所有根的近似形式。 命令形式4: NSolveeqn1, eqn2, , eqnk, x1, x2, xk功能：求多项式方程组eqn1, eqn2, , eqnk所有根的近似形式。例: 求方程 x3 -4x 2 +9x - 10 = 0 的所有根 解: Mathematica 命令为: In36: = Solvex3-4x2+9x-10=0

17、 , xOut36= x - 1 - 2 I, x - 1 + 2 I, x - 2所以，所求全部根为 x1=1-2I，x2=1+2I ， x3=2， I为虚数单位。例: 求方程x 2 -ax - 4b=0的所有根，a，b 为常数。 解: Mathematica 命令为: In37: = Solvex2-a*x-4*b=0 , x a - Sqrta2 +16b a + Sqrta2 + 6bOut37= x - -, x - - 2 2所求全部根为 a - Sqrta2 +16b a + Sqrta2 + 6b x1= -, x2 = - 2 2 例: 求方程组 x+3y=0 x2+y2=1

18、 的所有根。 解: Mathematica 命令为: In38: = Solvex+3y=0,x2+y2=1, x, y -3 1 3 1 Out38= x - -, y - - , x - -, y - - (-) Sqrt10 Sqrt10 Sqrt10 Sqrt10所求全部根为 -3 1 3 1x1= - , y1= -, x2= - , y2= - (-) Sqrt10 Sqrt10 Sqrt10 Sqrt10例:求方程 x6 -x2 +2x - 3 = 0 的所有根。 解: Mathematica 命令为: In39: = Solvex6-x2+2x-3=0 , xOut39= To

19、RulesRoots2 x x2 + x6 = = 3, x In40: = NSolvex6-x2+2x-3=0 , xOut40= x - -1.40825, x - -0.465869 - 1.19413 I, x - -0.465869 + 1.19413 I, x - 0.608047 - 0.885411 I, x - 0.608047 + 0.885411 I, x - 1.12389 得所求全部6个近似根为 x1=-1.40825, x2=-0.465869- 1.19413 I x3=-0.465869 + 1.19413 I, x4= 0.608047 - 0.885411

20、 I, x5= 0.608047 + 0.885411 I, x6= 1.12389 , I为虚数单位。例: 求方程组 a1+a2=1 x1 a1+x2a2=1/4 x12a1+x22 a2=1/9 x13a1+x23 a2=1/16 的所有根，这里x1 ，x2，a1，a2 是变量。解: Mathematica 命令为: In41:=Solvea1+a2=1,x1*a1+x2*a2=1/4,x12*a1+x22*a2=1/9, x13*a1+x23*a2=1/16, a1,a2,x1,x2 212 - 9 Sqrt106 212 + 9 Sqrt106 Out41= a1 - -, a2 - - , 424 424 15 - Sqrt106 180 + 12 Sqrt106 x2 - -, x1 - - , 42 504In42: = N%Out42=a1 - 0.281461, a2 - 0.718539, x2 - 0.112021, x1 - 0.602277, a1 - 0.718539, a2 - 0.281461, x2 - 0.602277, x1 - 0.112021In43: = N%