自动控制原理课件之第七章_数字控制系统分析(1

1、自动控制原理杭州电子科技大学“自动控制原理精品课程课题组2021.122006年度浙江省精品课程第七章 线性离散系统的分析7.1 引言7.2 信号的采样与保持7.3 z变换理论7.4 离散系统的数学模型7.5 离散系统的稳定性和稳态误差7.6 离散系统的动态性能分析7.1 引言1. 什么是离散系统？依据系统中的信号形式分类：连续时间系统：所有信号都是时间变量的连续函数离散时间系统：某些信号是一串脉冲或数码采样控制系统：离散信号是脉冲序列；数字控制系统：离散信号是数字序列。2. 为什么要研究离散系统？科技进步，数字控制器取代模拟控制器：脉冲技术；数字式元部件；数字计算机；微处理器。数字控制优势：

2、计算机在控制精度、速度、性能价格比的优越性 ；计算机具有很好的通用性，可以方便改变控制规律 ；直接数字控制开展到计算机分布控制; 对单一的生产过程进行控制到实现整个工业过程的控制;从简单的控制规律开展到更高级的优化控制、自适应控制等。分析与设计根底:离散系统理论。采样与保持；z变换理论；脉冲传递函数。3. 采样控制系统 其特征是系统中有一处或多处采样开关，如以下图所示。采样开关后的信号就不是连续的模拟信号，而是在时间上离散的脉冲序列，称为离散信号。 采样的方式是多样的，例如周期采样、多速率采样、随机采样等，本章只讨论周期采样。 图7-1 采样控制系统4. 数字控制系统 以数字计算机为控制器去控

3、制具有连续工作状态的被控对象的闭环控制系统。采样开关的功能是通过计算机程序来实现的。模拟信号经A/D采样器转换后，不仅在时间上离散，在幅值上也是离散的，称为数字信号 。 图7-2 数字控制系统7.2 信号的采样与保持1 采样过程采样器采样开关：把连续信号变换为脉冲序列的装置。采样过程：可以用如图7-3所示的一个周期性闭合的采样开关S来表示。采样开关每隔T秒闭合一次，闭合的持续时间为 。图7-3 实际采样过程理想采样器采样开关的闭合时间=0。图7-4 理想采样过程采样开关的周期性动作相当于产生一串理想脉冲序列 输入模拟信号经过理想采样器的过程相当于调制在载波上的结果 因为只在采样瞬间时才有意义，

4、故上式也可写成2 保持器原因：连续信号经过采样器后转换成离散信号，经由脉冲控制器处理后仍然是离散信号，而采样控制系统的连续局部只能接收连续信号，因此需要保持器来将离散信号转换为连续信号。零阶保持器：一种采用恒值外推规律的保持器。它把前一采样时刻的的不增不减地保持到下一个采样时刻，其输入信号和输出信号的关系如以下图所示。 图7-5 零阶保持器的输入和输出信号零阶保持器的单位脉冲响应如以下图所示，可表示为 上式的拉氏变换式为图7-6 零阶保持器的单位脉冲响应令式中的 sj，可以求得零阶保持器的频率特性 图7-7 零阶保持器的幅频特性和相频特性零阶保持器T=0.4T=0.8T=0.2T=3几点说明：

5、幅值随角频率的增大而衰减，具有明显的低通特性； 除了主频谱外，还存在一些高频分量； 产生相角滞后，使闭环系统稳定性变差；输出信号为阶梯信号，产生半周期的时间滞后；输出信号为阶梯信号同时增加系统输出纹波。 3 香农采样定理问题的提出：采样信号的信息并不等于连续信号的全部信息，如何从采样信号中不失真地复现原来的连续信号？信号频谱：连续信号：单一频谱，m为频谱中的最大角频率采样信号：以采样角频率s为周期的无穷多个频谱之和图7-9 采样信号频谱图7-8 连续信号频谱采样信号的频谱T(t) =s=2/T为采样角频率,Cn是傅氏系数,其值为：T(t) =连续信号的频谱为采样信号的频谱为m-m0m-m0s2

6、s3s-3s-2s-sm-m0s-sm-m0s2s3s-3s-2s-ss = 2m滤波器的宽度满足什么条件时能从得到?!s 2m或：T/m采样定理: 如果被采样的连续信号 e(t) 的频谱为有限宽，且频谱的最大宽度为m ，又如果采样角频率 ，并且采样后再加理想滤波器，那么连续信号可以不失真地恢复出来。此时，采样频谱各分量无相互交叠，采样信号无畸变，可通过理想滤波器保持器复现原频谱。理想的低通滤波器在物理上是不可实现的，在实际应用中只能用非理想的低通滤波器来代替理想的低通滤波器。图7-10 理想滤波器的频率特性7.3 z 变换理论一、z 变换的定义连续函数 f(t) 的拉氏变换为 f(t) 的采

7、样信号为 f*(t)对上式进行Laplace变换，得引入新的变量z=eTs采样信号 f*(t) 的 z 变换定义为：注意：z 变换实质为采样函数拉氏变换 是为了书写方便，并不意味是连续函数的z变换F(z) 和 f*(t) 是一一对应的。二、z 变换的性质其中 和 为任意实数。1线性定理假设 和 z变换为 和 ，那么证明：2实数位移定理假设 的z变换为 ，那么证明:3复位移定理 的z变换函数为 ，那么证明：4初值定理设 存在，那么 当 时，上式右边除第一项外，其余各项均趋于0。 证明：5终值定理如果 f(t) 的z变换为 F(z)， f(nT)(n=0,1,2)为有限值，且极限 存在，那么 证明

8、：由实数移位定理和上面两式相减并取极限 ，得6卷积定理如果 ，那么 证明：令kn=j，那么k=0时，j=n 7Z域尺度定理假设 的z变换函数为 ，那么证明：其中， 为任意常数。 三、 z 变换的方法1级数求和法思想：只要知道连续函数 f (t) 在各个采样时刻的数值，即可按照z变换的定义求得其z变换。设 ，那么 由于 在时刻 的脉冲幅度为1，其余时刻的脉冲幅度均为零，所以有例7-1 求单位脉冲信号的z变换。 解：例7-2 求单位阶跃信号的z变换。 解： 设 ，那么 该级数的收敛域为 ，在该收敛域内，上式可以写成如下闭合形式例7-3 求单位斜坡信号的z变换。 设 ，那么上式两边对z求导数，并将和

9、式与导数交换，得上式两边同乘 ，便得单位斜坡信号的z变换 解：例7-4 求指数函数的z变换。解：设 ，那么2局部分式法思想：先求出连续函数 f (t) 的拉氏变换 F(s), 然后将其展开成局部分式之和的形式，求出相应每一局部的z变换再叠加即可。例7-5：设 ，求 的z变换。解：上式两边求Laplace反变换，得例7-6：求 的z变换。解：四、 z 反变换z反变换是z变换的逆运算。其目的是由象函数 求出所对应的采样脉冲序列 ，或 ，记作 z反变换只能给出采样信号 ，而不能给出连续信号 。 注意1 局部分式法查表法假设象函数 是复变量z的有理分式，且所 有的极点 互异，那么 可展成如下形式：上式两边同乘z，再取z反变换得例7-7： ，求其z反变换。解：首先将 展成局部分式 2 长除法-幂级数法 比照z变换定义可知 假设z变换函数 是复变量z的有理函数，那么可将 展成 的无穷级数，即例7-8： 求其z反变换。解：由