有限元法理论(二)

1、Finite Element Analysis Theory有限元法理论有限元法理论Chapter 2. Summarizing Finite Element Method第二章 有限元法概述 有限元法是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。还利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。从从 1960以后有限元法迅速发展。以后有限元法迅速发展。1970以后传入我国。以后传入我国。The Basic idea of FEMnIn a continuum structure, a corresponding natural elem

2、ents does not exist so that the continuum has to be artificially divided into a number of elements before the matrix method of analysis can be applied. 连续结构不存在自然的单元，须人为划分为单元。连续结构不存在自然的单元，须人为划分为单元。nThe artificial elements, which are termed finite elements or discrete elements, are usually chosen to b

3、e either rectangular or triangular in shape. 单元通常取为三角形或矩形。单元通常取为三角形或矩形。The Basic idea of FEM有限元法的基本思想n在力学模型上，将一个原来连续的物体离散成为有限个具有一定大小的单元，这些单元仅在有限个节点上相连接，并在节点上引进等效力以替代实际作用于单元上的外力。n对于每个单元，根据分块近似的思想，选择一种简单的函数来表示单元内位移的分布规律，并按弹性理论中的能量原理（或用变分原理）建立单元节点力和节点位移之间的关系。n把所有单元的这种关系式集合起来，就得到以节点位移为未知量的代数方程组，解这个方程组就可

4、以求出物体上有限个离散节点上的位移。The Basic Step of FEM有限元法的基本步骤n结构的离散化n单元分析n选择位移模式n建立单元刚度方程:n计算等效节点力n整体分析,形成整体刚度方程:n求解方程,得出节点位移n由节点位移计算单元的应变应力KFeeekFGive an Example about Physical System结构结构热热电磁电磁 几何体几何体 载荷载荷 物理系统物理系统The Model of FEM有限元模型n有限元模型有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象是真实系统理想化的数学抽象真实系统真实系统有限元模型有限元模型Degrees of Freedom自由度

5、n自由度自由度(DOFs) 完全确定一个物体在空间位置完全确定一个物体在空间位置所需要的独立坐标数目所需要的独立坐标数目,用于描述一个物理场的用于描述一个物理场的响应特性响应特性。结构结构 DOFs 结构结构 位移位移 热热 温度温度 电电 电位电位 流体流体 压力压力 磁磁 磁位磁位 方向方向 自由度自由度ROTZUYROTYUXROTXUZNode and Element 1节点和单元节点节点: 空间中的坐标位置，具有一定空间中的坐标位置，具有一定自由度和自由度和 存在相互存在相互物理作用物理作用。单元单元: 一组节点自由度间相互作用的数值、一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚

6、度或系数矩阵矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。等种类。有限元模型由一些简单形状的有限元模型由一些简单形状的单元单元组成，单元之组成，单元之间通过间通过节点节点连接，并承受一定连接，并承受一定载荷载荷。载荷载荷载荷载荷节点节点: 空间中的坐标位置，具有一定空间中的坐标位置，具有一定自由度和自由度和 存在相互存在相互物理作用物理作用。单元单元: 一组节点自由度间相互作用的数值、一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元单元有线、面

7、或实体以及二维或三维的单元等种类。等种类。有限元模型由一些简单形状的有限元模型由一些简单形状的单元单元组成，单元之组成，单元之间通过间通过节点节点连接，并承受一定连接，并承受一定载荷载荷。载荷载荷载荷载荷Node and Element 2n每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。n作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。n尽管梯子的有限元模型低于100个方程（即“自由度”），然而在今天一个小的 ANSYS分析就可能有5000个未知量，矩阵可能有25，000，000个刚度系数。Node and Element 3n信息是通过单元之间的公共节点传递的。.AB.AB.1 node2 nod

8、es. 分离但节点重叠的单元 A和B之间没有信息传递（需进行节点合并处理）具有公共节点的单元之间存在信息传递Node and Element 4n节点自由度是随连接该节点节点自由度是随连接该节点 单元类型单元类型 变化的变化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三维杆单元三维杆单元 (铰接铰接)UX, UY, UZ三维梁单元三维梁单元二维或轴对称实体单元二维或轴对称实体单元UX, UY三维四边形壳单元三维四边形壳单元UX, UY, UZ三维实体热单元三维实体热单元TEMPJPOMNKJIL三维实体结构单元三维实体结构单元ROTX, ROTY, ROTZUX, UY, UZUX, UY, U

9、Z单元形函数nFEA仅仅求解节点处的DOF值。n单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值到单元内所有点处DOF值的计算方法。n因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的“形状” 。n单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。n单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。单元形函数(续)真实的二次曲线真实的二次曲线.节点节点单元单元 二次曲线的线性近二次曲线的线性近 (不理想结果不理想结果).2节点节点单元单元 DOF值二次分布值二次分布.1节点节点 单元单元 线性近似线性近似(更理想的结果更理想的结果)真实的二次曲线真实的二次曲线. . . .3节点节点单元单元二次近似二次

10、近似 (接近于真实的二接近于真实的二次近似拟合次近似拟合) (最理想结果最理想结果).4单元形函数遵循原则nDOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单元内的平均值与实际情况吻合得很好。n这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的（如，结构应力，热梯度）。n如果单元形函数不能精确描述单元内部DOFs，就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。单元形函数遵循原则(续)n当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并接受该种单元类型所假定的单元形函数。n在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分析时有足够数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。

11、几个关键问题n有限元离散过程中，相邻单元在同一节点上场变量相同达到连续，但未必在单元边界上任一点连续；在把载荷化为节点载荷的过程中，只是考虑单元总体平衡，在单元内部和边界上不能保证每点都满足控制方程。n关键问题：单元形状；单元的近似函数；建立单元刚度方程的方法；收敛、精度等问题。Chapter 3. The Aims of FEA and Configuration Model第三章 有限元分析目的及其结构模型n设计方面，有确认结构或机械的强度，确认性能等。n单个部件而言，有求应力的，有求位移的，也有求与这些分析目的相对应，就有结构和机械的模型化问题存在特征值等。n所谓模型化，就是将结构或机械

12、按照分析目的进行理想化处理和简化处理。Examplesn以火箭和活塞为例，集中在应力分析方面具体地加以说明。火箭（壳结构例子）n火箭、压力容器或室内球场的屋顶等等都做成薄壳的圆筒形或球形结构。火箭的模型化n横风吹向发射以后的火箭，火箭就边控制方向边向着目的地飞去。我们称这为姿态控制。n姿态控制中的火箭，受到很大的弯曲载荷的作用。从远处来眺望火箭n以搞清火箭的似近强度为目的，就从远处来眺望火箭。如此，可以把火箭转化成一支铅笔那样。从铅笔的样子，容易想像到作为近似的模型把整个火箭转换成梁单元的一个集合体。n梁单元的剖面特性，从适当位置处的火箭的横剖面结构中计算出来。n吹向火箭的横风可以转换成作用在

13、梁单元节点上的水平方向上的载荷，而惯性力可以转化成对应于它所在方向上的作用在节点上的载荷。从远处来眺望火箭n这之后，就可以从结构力学的教科书中找到梁的公式计算出来就行了n注意: 火箭是悬浮在空中的。在近处眺望火箭n在近处眺望火箭，可以认清火箭的壳体是圆筒形状的，在近处眺望火箭，并且因为加强而用了板条状和环状样的骨架（称为加强筋lib）。n在圆筒形的外壳和加强它们的加强构件相结合的部位容易产生应力集中，是进行强度校核时的重点部位。n这种情况下，结构的模型化这样来做，将外壳部分用壳单元，那么板条和骨架等的加强构件用梁单元怎样?在近处眺望火箭n吹向火箭的横风，转化成作用在壳单元和梁单元结合部的节点上的水平方向上的集中载荷就可以了。再近一点眺望火箭n再近一点眺望火箭，则从火箭本身到助推发动机结构的细节处都可以看得到。n例如，壳体部分和助推发动机的连接部分因为是容易发生应力集中的部位，需要充分进行校核。n为了评价局部区域的3 维应力状态用局部放大的方法就很方便，可以将这些结构作为细密的立体单元的集合体来进行模型化处理。再近一点眺望火箭n和“在近处眺望火箭”用的壳单元和梁单元来作模型化的分析模型相比,可以作更细的局部结构的分析。活塞（实体形状的例子）活塞简化n种一般的块状3 维结构，用实体单元将