数值分析§43Romberg算法

1、1第三节第三节 RombergRomberg算法算法2 2009, Henan Polytechnic University24.3.1 4.3.1 步长的选取步长的选取: : 通过上述截断误差可以看出用复化的求积公通过上述截断误差可以看出用复化的求积公式提高了计算精度，但是对给定的误差限，应将式提高了计算精度，但是对给定的误差限，应将a,b分成多少份？由截断误差可以大概算出步长的分成多少份？由截断误差可以大概算出步长的取值情况，但是比较麻烦，接下来我们考虑步长的取值情况，但是比较麻烦，接下来我们考虑步长的选取。选取。3 2009, Henan Polytechnic University3)

2、()(12)(2,22nbannnfnababTdxxfnnbaTT 梯梯形形公公式式，则则等等分分的的复复化化等等分分及及分分别别表表示示将将及及若若用用，则则变变化化不不大大，即即在在若若)()(,)(2nnffbaxf )()2(12)(222nbanfnababTdxxf 4)()(2 banbanTdxxfTdxxf4 2009, Henan Polytechnic University4）（从而从而nnbanTTTdxxf 2231)( nbannTxfTT22)(,时时由由此此可可以以认认为为，当当）（即即：nnbanTTTdxxf 2231)(5 2009, Henan Pol

3、ytechnic University5.2,的的步步长长作作为为计计算算复复化化梯梯形形公公式式取取此此时时nab 要要求求为为止止。足足，重重复复这这一一过过程程直直至至满满算算然然后后缩缩小小步步长长一一半半，计计，计计算算，即即按按照照这这种种方方法法，可可先先取取211TTabhn 。来计算来计算现，可用现，可用为了在计算机上便于实为了在计算机上便于实nnTT26 2009, Henan Polytechnic University6则则设设,nabh nT24h2 nx2x0 xnx1x1 nx3x 2)( af)( )()(111021bfxfxfnknkkk )()(2)(41

4、1bfxfafhnkk 1021)(2nkkxfh 1021)(221nkknxfhT7 2009, Henan Polytechnic University7 1T 10sindxxxx00.1250.250.3750.50.6250.750.8751f(x)10.99739780.98961580.97672670.9588510.93615560.90885160.87719250.8414709例例：用变步长的梯形法计算：用变步长的梯形法计算解解： 2T)1()0(21ff 9207355. 0 121T)5 . 0(21f 9397933. 0 002. 0 8 2009, Hena

5、n Polytechnic University8 8T 221T 4T注：若精度达不到，则应继续二分下去。注：若精度达不到，则应继续二分下去。类似于梯形公式，也可得到变步长的类似于梯形公式，也可得到变步长的Simpson公式及公式及Cotes公式。公式。221)75. 0()25. 0(ff 9445135. 0 421T241)875. 0()625. 0()375. 0()125. 0(ffff 9456909. 0 9 2009, Henan Polytechnic University94.3.2 Romberg 求积公式求积公式根据复化梯形法的误差公式，我们推得根据复化梯形法的误差

6、公式，我们推得)(31)(22nnbanTTTxf )(31)(22nnbanTTTxf 若若用用公公式式nnTT31342 希望得到的结果更精确。希望得到的结果更精确。nT2 )1(10 2009, Henan Polytechnic University10 224)()(banbanSdxxfSdxxf)(141)(222nnnbaSSSdxxf nnSS15115162 类似的，可得类似的，可得)2(2nS 11 2009, Henan Polytechnic University11 324)()(banbanCdxxfCdxxf 用用(1) (2) (3)来计算积分来计算积分, ,

7、得到的结果应更精确。得到的结果应更精确。)3(6316364)(141)(22232nnnnnnbaCCCCCCdxxf 12 2009, Henan Polytechnic University12)4(312nnTT nnnTTT313422 ) )(221(4311021nnkknTxfhT )(22311021nnkknTxfhT )(2311021 nkknxfhT )(2)()(2)(231102111 nkknkkxfhbfxfafh )(4)()(2)(6102111 nkknkkxfbfxfafhnS 13 2009, Henan Polytechnic University

8、13精度如此高的积分公式其实就是复化的精度如此高的积分公式其实就是复化的Simpson公式。公式。)(1412122nnnnnTTTTS 即：即：同样地，也可推得：同样地，也可推得：)(1412222nnnnnSSSSC nnnnnnnCCCCCC6316364)(141R22322 记：记：上述公式称为上述公式称为Romberg公式。公式。14 2009, Henan Polytechnic University14 综上所述，用对分区间的方法，先算出综上所述，用对分区间的方法，先算出T2n，再由再由(1)(2)(3)(1)(2)(3)很容易算出很容易算出S2n,C2n及及R2n，通过这种，

9、通过这种方法，能将粗糙的积分值逐步加工成精度较高的积方法，能将粗糙的积分值逐步加工成精度较高的积分值分值流程图如下：流程图如下：15 2009, Henan Polytechnic University15)2()2()2()2(24)1()2()2()(223)1()2()T(222)1(2)21(1)20)3()2()1(223442332210RCSTRCSTCSSTTNkk由由由由由由龙龙贝贝格格序序列列柯柯特特斯斯序序列列辛辛浦浦生生序序列列梯梯形形序序列列区区间间等等份份数数 依依次次类类推推。，否否则则，则则取取，并并判判断断若若，否否则则在在表表中中算算，则则取取若若 )2()

10、()2()2( )2(),2(),2(),2()2()( )1()2(222345RxfRRRCTTRxfRRbaba 16 2009, Henan Polytechnic University16例：例：用用Romberg算法计算算法计算x00.1250.250.3750.50.6250.750.8751f(x)10.99739780.98961580.97672670.9588510.93615560.90885160.87719250.8414709 10sindxxx解：计算过程如下表：解：计算过程如下表： 1T 2T)1()0(21ff 9207355. 0 121T)5 . 0(2

11、1f 9397933. 0 17 2009, Henan Polytechnic University17 8T 221T 4T221)75. 0()25. 0(ff 9445135. 0 421T241)875. 0()625. 0()375. 0()125. 0(ffff 9456909. 0 k0123kT222 kC32 kR12 kS0.92073550.93979330.94451350.94569090.94614590.94608690.94608330.94608300.94608310.946083118 2009, Henan Polytechnic University

12、18龙贝格求积法算法实现龙贝格求积法算法实现用梯形公式计算积分近似值用梯形公式计算积分近似值按变步长梯形公式计算积分近似值按变步长梯形公式计算积分近似值 将区间逐次分半将区间逐次分半, ,令区间长度令区间长度 )()(21bfafabT ), 2 , 1 , 0(2 kabhk 102)(2221nkknnxfhTT计算计算)2(kn 19 2009, Henan Polytechnic University19 按加速公式求加速值按加速公式求加速值 322nnnnTTTS 1522nnnnSSSC 6322nnnnCCCR 梯形加速公式：梯形加速公式： 辛普森加速公式：辛普森加速公式： 龙贝格求积公式：龙贝格求积公式： 20 2