微积分基本公式储宝增高数一PPT教案

1、微积分基本公式储宝增高数一微积分基本公式储宝增高数一在变速直线运动中在变速直线运动中, 已知位置函数已知位置函数)(ts与速度函数与速度函数)(tv之间有关系之间有关系:)()(tvts物体在时间间隔物体在时间间隔,21TT内经过的路程为内经过的路程为)()(d)(1221TsTsttvTT这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .)()(的原函数是这里tvts第1页/共26页定积分定积分 attfd)(积分上限函数积分上限函数,bax ).(x 记记为为 注注)d)( xaxxf一定要分清函数的一定要分清函数的如果上限如果上限 x 在区间在区

2、间a,b上任意变动上任意变动,每一个取定的每一个取定的x值值,则对于则对于定积分有一个对应值定积分有一个对应值,所以它所以它在在a,b上定义了一个函数上定义了一个函数,设设f (x)在在a,b中可积中可积,则对任一点则对任一点x )(x 与与自变量自变量x积分变量积分变量t.xtt二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数第2页/共26页 xattfxd)()( 这个函数的几何意义这个函数的几何意义 下面讨论这个函数的可导性下面讨论这个函数的可导性.是如图是如图红色部分红色部分的面积函数的面积函数.ab)(xfy Oxyx)(x 第3页/共26页)(xfy xbaoy)(xxhx, ,)

3、(baCxf则变上限函数则变上限函数xattfxd)()(证证:, ,bahxx则有则有hxhx)()(h1xahxattfttfd)(d)(hxxttfhd)(1)(f)(hxxhxhxh)()(lim0)(lim0fh)(xf)(x定理定理1. 若若.,)(上的一个原函数在是baxf,)(baCxf第4页/共26页1) 定理定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的证明了连续函数的原函数是存在的.2) 变限积分求导变限积分求导:bxttfxd)(dd)(xf)(d)(ddxattfx)()(xxf同时为同时为通过原函数计算定积分开辟了道路通过原函数计算定积分开辟了道路 .)()(d)(ddx

4、xttfx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx第5页/共26页3241xxtdtdxd3241xxtdtdxd解解 xxxx2113118212第6页/共26页)sin(2cosxex0limxtextd1cos22x解解:原式原式0limx00 x2e21例例3 3+. 确定常数确定常数 a , b , c 的值的值, 使使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解:,0sin0 xxax时,0c. 0 b00原式原式 =)1ln(coslim20 xxaxcxxax20coslim c 0 , 故故. 1a又由又由221cos1xx,

5、 得得.21c第7页/共26页 ttf txfxd)()(0,0)(,),0)(xfxf且内连续在设证明证明)(xFttf txd)(0ttfxd)(0在在),0(内为单调递增函数内为单调递增函数 . 证证:)(xF20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxttfxfxd)()(0)(tx0.)0)(内为单调增函数，（在xF只要证只要证0)( xF 20d)(ttfxxfx)()( )(xf)0(x第8页/共26页证证, 1)(2)(0 dttfxxFx)(2)(xfxF , 1)( xf)(xF在在1 , 0上上为为单单调调增增加加函函数数., 01)0( F 10)(1

6、)1(dttfF 10)(1dttf, 0 所以所以0)( xF即原方程在即原方程在1 , 0上只有一个解上只有一个解.令令, 0 第9页/共26页上的一个原在是连续函数设,)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba( 牛顿牛顿 - 莱布尼兹公式莱布尼兹公式) 证证: 根据定理根据定理 1,)(d)(的一个原函数是xfxxfxa故故CxxfxFxad)()(,ax 令, )(aFC 得因此因此)()(d)(aFxFxxfxa,bx 再令得得)()(d)(aFbFxxfba记记作作)(xFab)(xFab定理定理2.函数函数 , 则则第10页/共26页解解:11111xxxxxdxxd

7、xxdxx2111211111111212111dxxdxxdxdx25dxx211第11页/共26页.1d312 xx解解:xxxarctan1d31213) 1arctan(3arctan3127例例8 8. 计算正弦曲线计算正弦曲线轴所围成上与在xxy, 0sin的面积的面积 . 解解:0dsinxxAxcos0112)4(yoxxysin第12页/共26页 xxxxxf或000sin21 在dttfxx0，设设 ，求求内的表达式内的表达式. . 00000dtdttfxxxx时，解解:当当 时 x0 xtdtdttfxxxcos121sin2100当当 xxdttdtdttfx10si

8、n2100时当x第13页/共26页综上得综上得 xxxxx10cos12100第14页/共26页 0,110,11xexxxfx 的值，求dxxf11解解: 1001111111dxxdxedxxfx10011ln1lnxexe1ln第15页/共26页速停车速停车,2sm5a解解: 设开始刹车时刻为设开始刹车时刻为,0t则此时刻汽车速度则此时刻汽车速度0v)(10sm)(sm3600100036刹车后汽车减速行驶刹车后汽车减速行驶 , 其速度为其速度为tavtv0)(t510当汽车停住时当汽车停住时,0)(tv即即,0510 t得得(s)2t故在这段时间内汽车所走的距离故在这段时间内汽车所走的

9、距离为为20d)(ttvs20d)510(tt22510tt (m)1002)(36hmk刹车刹车, , 问从开始刹问从开始刹到某处需要减到某处需要减设汽车以等加速度设汽车以等加速度车到停车走了多少距离车到停车走了多少距离? 第16页/共26页二二. .微积分基本公式微积分基本公式1.1.积分上限函数积分上限函数 xadttfx)()(2.2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数)()(xfx )()()(aFbFdxxfba Newton-LeibnizNewton-Leibniz公式沟通了微分学与积分学公式沟通了微分学与积分学之间的关系之间的关系一一. . 变限积分求导公式变限积分求导公式

10、 第17页/共26页, )()(, ,)(xfxFbaCxf且设则有则有 微积分基本公式微积分基本公式xxfbad)(积分中值定理积分中值定理)(abF)()(aFbF微分中值定理微分中值定理)(abf牛顿牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式第18页/共26页思考题思考题 设设)(xf在在,ba上上连连续续，则则dttfxa )(与与duufbx )(是是x的的函函数数还还是是t与与u的的函函数数？它它们们的的导导数数存存在在吗吗？如如存存在在等等于于什什么么？第19页/共26页思考题解答思考题解答dttfxa )(与与duufbx )(都都是是x的的函函数数)()(xfdttfdxdxa )()(

11、xfduufdxdbx 第20页/共26页填空填空： 1 1、 baxdxedxd22=_ .=_ . 2 2、 xadxxfdxd)(_ _ . . 3 3、 223)1ln(xdtttdxd_ ._ . 4 4、 20)(dxxf_， 其中其中 21 ,210 ,)(2xxxxxf . . 练练 习习1 0)()(afxf )1ln(23 xx65第21页/共26页练习练习2 2 求求 .,max222 dxxx解解由图形可知由图形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122 第22页/共26页

12、练习练习3 设设,01,( )2,120,xxf xxx其它。求0( )( )xxf t dt 在（，）内的表达式。解解：定积分为常数定积分为常数 ,10( )d,f tta设axxf2)( 则10d)(ttfa22xax201a221,21a所以1)( xxf练习练习4 设设f(x)为连续函数为连续函数,且且,)(2)(10dttfxxf求求 f(x)第23页/共26页3234)(2xxxf解解：1. 设,d)(2d)()(20102xxfxxfxxxf求).(xf定积分为常数 ,d)(10axxf设bxxf20d)(abxxxf2)(2, 则10d)(xxfa33x22bxax20120d)(xxfb33x22bxax202ab2231ab423