弹性力学 平面问题的基本理论PPT学习教案

1、会计学1弹性力学弹性力学 平面问题的基本理论平面问题的基本理论2目录主要内容主要内容2.1 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题2.2 2.2 平面微分方程平面微分方程2.3 2.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态2.4 2.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移2.5 2.5 物理方程物理方程2.6 2.6 边界条件边界条件第1页/共146页3目录主要内容（续）主要内容（续）2.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用2.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题2.9 2.9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程2.

2、10 2.10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数第2页/共146页4目录2.1 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题q 弹性力学平面问题共有应力、应变和弹性力学平面问题共有应力、应变和位移位移8 8个未知函数，且均为个未知函数，且均为 。q 弹性力学空间问题共有应力、应变和位移15个未知函数，且均为 ；zyxf,yxf,第3页/共146页5目录2.1 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 （4 4）约束约束作用于板边，平行于板的中面，沿板作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变。厚不变。 （3 3）面力面力作用于板边，平行于板

3、的中面，沿板作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变；厚不变； （2）体力作用于体内，平行于板的中面，沿板厚不变；条件是：条件是： 第一种：平面应力问题第一种：平面应力问题 （1）等厚度的薄板；第4页/共146页6目录2.1 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 坐标系如图选择。第5页/共146页7目录2.1 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题简化为平面应力问题简化为平面应力问题： 故只有平面应力故只有平面应力 存在。存在。0,2zzyzxz(在V中) , 0,zyzxz 由于薄板很薄，应力是连续变化由于薄板很薄，应力是连续变化的，又无的，又无z

4、向外力，可认为：向外力，可认为：（1 1）两板面上无面力和约束作用，故）两板面上无面力和约束作用，故xyyx, ,第6页/共146页8目录2.1 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 所以归纳为平面应力问题所以归纳为平面应力问题：a.a.应力中只有平面应力应力中只有平面应力 存在；存在；b.b.且仅为且仅为 。yxf,xyyx, ,（2 2）由于板为等厚度，外力、约束沿）由于板为等厚度，外力、约束沿z z向向不变，故应力不变，故应力 仅为仅为 。yxf,xyyx, ,第7页/共146页9目录2.1 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题如：如：弧形

5、闸门闸墩弧形闸门闸墩计算简图：计算简图：深梁深梁计算简图：计算简图：Fyfyf第8页/共146页10目录2.1 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题因表面无任何面力，因表面无任何面力，0,0yxff 即：. 0,zyzxz. 0,zyzxzAB例题例题1 1：试分析试分析ABAB薄层中的应力状态薄层中的应力状态。故接近平面应力问题。故接近平面应力问题。故表面上，有：在近表面很薄一层内：第9页/共146页11目录2.1 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 （2 2）体力体力作用于体内，平行于横截面，沿柱体作用于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不

6、变；长度方向不变；第二种：平面应变问题条件是： （1）很长的常截面柱体； （3 3）面力面力作用于柱面，平行于横截面，沿柱作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；体长度方向不变； （4 4）约束约束作用于柱面，平行于横截面，沿柱作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变。体长度方向不变。第10页/共146页12目录2.1 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题坐标系选择如图：坐标系选择如图：oxzyozxy对称面zy第11页/共146页13目录2.1 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 故任何故任何z z 面（截面）均为对称面。面（截面）

7、均为对称面。（平面位移问题）只有 ; , 0u,vw（平面应变问题）只有 ., , 0,0, 00 xyyxzyzxzyzxzw（1 1）截面、外力、约束沿）截面、外力、约束沿z z 向不变，外力、约束向不变，外力、约束 平行平行xy面，柱体非常长；面，柱体非常长；简化为平面应变问题：简化为平面应变问题：第12页/共146页14目录2.1 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题（2 2）由于截面形状、体力、面力及约束沿）由于截面形状、体力、面力及约束沿z向 均 不 变 ， 故 应 力 、 应 变 和 位 移 均 为向 均 不 变 ， 故 应 力 、 应 变 和 位 移 均

8、 为 。yxf,yxf,xyyx,第13页/共146页15目录2.1 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题隧道隧道挡土墙挡土墙yxyx第14页/共146页16目录2.1 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题且仅为 。故只有 ，本题中：本题中：0, 0zyzxzyxf,xyyx,oxyz例题2：试分析薄板中的应变状态。故为平面应变问题。. 0,zyzx第15页/共146页17目录2.2 2.2 平衡微分方程平衡微分方程 平衡微分方程平衡微分方程-表示物体内任一点的表示物体内任一点的微分体的平衡条件微分体的平衡条件。 注意建立平衡微分方程时应用的基本

9、假注意建立平衡微分方程时应用的基本假定，定， 考虑的三个平衡条件，方程中各项的量考虑的三个平衡条件，方程中各项的量纲等。纲等。 第16页/共146页18目录2.2 2.2 平衡微分方程平衡微分方程 在任一点（在任一点（x，y）取出一微小的平行六取出一微小的平行六面体面体 , ,作用于微分体上的力：作用于微分体上的力：体力：体力： 。1dd yxyxff ,应力：作用于各边上， 并表示出正面上 由坐标增量引起 的应力增量。第17页/共146页19目录2.2 2.2 平衡微分方程平衡微分方程应用的基本假定应用的基本假定：连续性假定连续性假定应力用连续函数来表示。应力用连续函数来表示。小变形假定用变

10、形前的尺寸代替变 形后的尺寸。 第18页/共146页20目录2.2 2.2 平衡微分方程平衡微分方程列出平衡条件列出平衡条件：合力合力 = = 应力面积，体力体积；应力面积，体力体积； 以正向物理量来表示。以正向物理量来表示。平面问题中可列出平面问题中可列出3 3个平衡条件。个平衡条件。第19页/共146页21目录2.2 2.2 平衡微分方程平衡微分方程其中一阶微量抵消，并除以 得： . 01dd1d1)dd(1d1)dd(, 0yxfxxyyyyxxFxyxyxyxxxxxyxdd0.(a)yxxxfxy0yF0.(b)yxyyfyx第20页/共146页22目录2.2 2.2 平衡微分方程平

11、衡微分方程 , 0cM 当 时，得切应力互等定理,得,d21d21yyxxyxyxxyxy0d,dyx.(c)xyyx第21页/共146页23 代表A中所有点的平衡条件， 因位（ ，）A；目录2.2 2.2 平衡微分方程平衡微分方程 适用的条件适用的条件-连续性，小变形；连续性，小变形；xy对平衡微分方程的说明： 应力不能直接求出； 对两类平面问题的方程相同。第22页/共146页24弹性力学考虑微分体 的平衡（精确）。材料力学考虑有限体 的平衡（近似）。 目录2.2 2.2 平衡微分方程平衡微分方程理论力学理论力学考虑整体考虑整体 的平衡（只决定整的平衡（只决定整体的运动状态）。体的运动状态）

12、。 VVVd比较:第23页/共146页25目录2.2 2.2 平衡微分方程平衡微分方程 当当 均平衡时，保证均平衡时，保证 ， 平衡；平衡；反之则不然。反之则不然。 VVVd 所以弹力的平衡条件是严格的，并且是精确的。 第24页/共146页26目录2.2 2.2 平衡微分方程平衡微分方程理力（理力（ V ）材力（材力（ ）弹力（弹力（ ）bxhVd1dddyxVhV dxdy dx第25页/共146页27目录2.3 2.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态 已知已知坐标面上应力坐标面上应力 ， 求求斜面上的应力。斜面上的应力。问题的提出：问题的提出：xyyx, ,第26页/共1

13、46页28求解求解：取出一个三角形微分体（包含取出一个三角形微分体（包含x 面，面，y面，面，n面），边长面），边长目录).,(),(nnyxpppp.,mdsPAldsPBdsAB斜面应力表示：2.3 2.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态第27页/共146页29目录2.3 2.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态由平衡条件，并略去高由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得阶分量体力项，得(1)(1)求求（ , , ）(a)(a)xpyp,xyyyyxxxlmpmlp其中：其中：l=cos(n,x), m=cos(n,y)。第28页/共146页30目录2.3 2

14、.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态(2)(2)求求（ ）将将 向法向，向法向，切向投影，得切向投影，得nn ,),(yxppp 22222, (b)()().nxyxyxynyxyxxylpmpl m lmlpmplm lm第29页/共146页31目录2.3 2.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态 设某一斜面为主面，则只有由此建立方程，求出:, 0,nn(3)求主应力求主应力121221,22tan .xxyxyxyxy(c c)第30页/共146页32目录2.3 2.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态将将x，y放在放在 方向，列出任一斜

15、面上方向，列出任一斜面上应力公式，可以得出（设应力公式，可以得出（设 ）21, 21 . 45 ,2,2121的斜面上应力成发生在与主nmaxminnmaxmin(4)(4)求最大，最小应求最大，最小应力力说明：以上均应用弹力符号规定导出。说明：以上均应用弹力符号规定导出。(d)第31页/共146页33目录2.4 2.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移几何方程几何方程表示任一点的微分线段表示任一点的微分线段 上形变与位移之间的关系。上形变与位移之间的关系。通过点通过点P( (x, ,y) )作两作两正坐标向的正坐标向的微分线段微分线段, ,dyPBdxPA第32页/共146页34目录2.4

16、 2.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移变形前位置：变形前位置： 变形后位置：变形后位置： 各点的位置如图。各点的位置如图。 , , ,P A B,P A B第33页/共146页35目录2.4 2.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移32sin,3!cos11,2!tan.应用基本假定应用基本假定：连续性；连续性；小变形小变形。当很小时，第34页/共146页36目录2.4 2.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移().xuudxuuxdxx由位移求形变：由位移求形变：PA 线应变线应变PA 转角转角tan.vdxvxdxx第35页/共146页37目录2.4 2.4 几何方程几何方程 刚

17、体位移刚体位移.yvyPB 线应变线应变PB 转角转角同理，同理，yu. , ,yuxvyvxuxyyx所以平面问题的几何方程平面问题的几何方程为：第36页/共146页38目录2.4 2.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移 适用于区域内任何点，因为（适用于区域内任何点，因为（x, ,y） A A；对几何方程的说明：对几何方程的说明： 适用条件：适用条件：a.a.连续性；连续性；b.b.小变形。小变形。 应用小变形假定，略去了高阶小量应用小变形假定，略去了高阶小量 线性的几何方程线性的几何方程；第37页/共146页39目录2.4 2.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移 几何方程是变形后物

18、体连续性条件几何方程是变形后物体连续性条件 的反映和必然结果。的反映和必然结果。 形变和位移之间的关系：形变和位移之间的关系： 位移确定位移确定 形变完全确定：形变完全确定： 从物理概念看，各点的位置确定，从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上的形变确定则微分线段上的形变确定 。 从数学推导看，位移函数确定，则从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定其导数（形变）确定 。第38页/共146页40目录2.4 2.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移 从物理概念看，从物理概念看， ， 确定，物体还确定，物体还可作刚体位移。可作刚体位移。 从数学推导看，从数学推导看， ， 确定，求位移

19、确定，求位移是积分运算，出现待定函数。是积分运算，出现待定函数。形变确定，位移不完全确定形变确定，位移不完全确定： 第39页/共146页41目录2.4 2.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移由由 , ,两边对两边对y积分，积分，由由 , ,两边对两边对x积分，积分，例：若例：若 , ,求位移：求位移：0 xyyx0,(a)xyvuxy0 xxu0yyv).(0),(1yfyxu).(0),(2xfyxv代入第三式第40页/共146页42目录2.4 2.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移分开变量，分开变量， 12d ( )d ( ) ( ).(b)ddfyfxyx 因为几何方程第三式对任

20、意的（因为几何方程第三式对任意的（x，y）均应满足。当均应满足。当x（y）变化时，式变化时，式( (b) )的左，的左，右均应右均应= =常数常数 ，由此解出，由此解出 。可得。可得21, ff , . (c)oouuyvvx 第41页/共146页43目录2.4 2.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移物理意义：物理意义：00,vu表示物体绕原点的刚体转动。表示物体绕原点的刚体转动。表示表示x，y向的刚体平移，向的刚体平移，第42页/共146页44目录2.4 2.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移结论 形变确定，则与形变有关的位移可形变确定，则与形变有关的位移可以确定，而与形变无关的刚体

21、位移以确定，而与形变无关的刚体位移则未定。则未定。须通过边界上的约束条件须通过边界上的约束条件来确定来确定 。,oovu,oovu第43页/共146页45目录2.5 2.5 物理方程物理方程物理方程物理方程表示（微分体上）应力和形变表示（微分体上）应力和形变 之间的物理关系。之间的物理关系。11(), ,11(), ,11(), .xxyzyzyzyyzxzxzxzzxyxyxyEGEGEG即为即为广义胡克定律广义胡克定律：第44页/共146页46目录2.5 2.5 物理方程物理方程物理方程的说明物理方程的说明： 正应力只与线应变有关；切应力只与切正应力只与线应变有关；切应力只与切 应变有关。

22、应变有关。 是线性的代数方程；是线性的代数方程； 是总结实验规律得出的；是总结实验规律得出的； 适用条件适用条件理想弹性体；理想弹性体；第45页/共146页47 物理方程的两种形式物理方程的两种形式： 应变用应力表示，用于应变用应力表示，用于 按应力求解；按应力求解； 应力用应变（再用位移表示）应力用应变（再用位移表示） 表示，用于按位移求解。表示，用于按位移求解。目录2.5 2.5 物理方程物理方程)(f )(f第46页/共146页48目录2.5 2.5 物理方程物理方程平面应力问题的物理方程：平面应力问题的物理方程： 代入代入 ，得：，得：在在z z方向方向0zyzxz11(), (),(

23、a)2(1).xxyyyxxyxyEEE).( , 0yxzzE第47页/共146页492.5 2.5 物理方程物理方程 代入代入 得得, 0zyzxz221(),11(),(b)12(1).xxyyyxxyxyEEE平面应变问题的物理方程平面应变问题的物理方程在在z z方向，方向，).(,0yxzz第48页/共146页502.5 2.5 物理方程物理方程.1 ,12EE变换关系变换关系：.1 ,)1()21(2EE平面应变物理方程平面应变物理方程平面应力物理方程：平面应力物理方程：第49页/共146页512.5 2.5 物理方程物理方程思考题第50页/共146页522.6 2.6 边界条件边

24、界条件 位移边界条件位移边界条件 设在设在 部分边界部分边界上给定位移分量上给定位移分量 和和 , ,则有则有),()( ),()(svvsuuss（在 上)。（a）usus)(su)( sv 边界条件边界条件 表示在边界上位移与约表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系。束，或应力与面力之间的关系。第51页/共146页532.6 2.6 边界条件边界条件 若为简单的若为简单的固定边固定边， 则有则有位移边界条件的说明：位移边界条件的说明：sus, 0 vu, 0)( , 0)(ssvuus（在在 上）。（上）。（b） 它是它是在边界上在边界上物体保持连续性的条物体保持连续性的条 件，或

25、件，或位移保持连续性的条件位移保持连续性的条件。 它是它是函数方程函数方程，要求在，要求在 上每一点上每一点 ， 位移与对应的约束位移相等。位移与对应的约束位移相等。第52页/共146页542.6 2.6 边界条件边界条件在在23 中，通过三角形微分体的平衡条件，中，通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力与斜面应力的关系式，导出坐标面应力与斜面应力的关系式，应力边界条件应力边界条件设在设在 上给定了面力上给定了面力分分 量量 , ,xyyyyxxxlmpmlp).( ),(sfsfyxs（在（在A中）。（中）。（c）第53页/共146页552.6 2.6 边界条件边界条件将此三角形移到边界

26、上，并使斜面与边界将此三角形移到边界上，并使斜面与边界面重合，则得面重合，则得应力边界条件应力边界条件: :()( ), . (d)()( ),xyxsxyxysylmfssmlfs（在 上）第54页/共146页562.6 2.6 边界条件边界条件 它是边界上微分体的静力平衡条件；它是边界上微分体的静力平衡条件；应力边界条件的说明：应力边界条件的说明： 式（式（c）在在A中每一点均成立，而中每一点均成立，而 式（式（d）只能在边界只能在边界 s上成立；上成立； 它是它是函数方程函数方程，要求在边界上每一点，要求在边界上每一点s 上均满足，这是精确的条件；上均满足，这是精确的条件；第55页/共1

27、46页572.6 2.6 边界条件边界条件 所有边界均应满足，无面力的边界所有边界均应满足，无面力的边界 （自由边）（自由边） 也必须满足。也必须满足。 式（式（d）中，中， 按应力符号规定，按应力符号规定， ， 按面力符号规定；按面力符号规定；yfxf 位移位移, ,应力边界条件均为每个边界两应力边界条件均为每个边界两 个，分别表示个，分别表示 ， 向的条件；向的条件；, 0yxffxyxyyx, ,第56页/共146页582.6 2.6 边界条件边界条件若若x=a为正为正x 面，面，l = 1, m = 0, 则式则式( (d) )成为成为( ), (). (e)x ax x axxyyf

28、f当边界面为坐标面时，当边界面为坐标面时，yxbaxfyfxxfyfxyxxy第57页/共146页592.6 2.6 边界条件边界条件若若x=-b为负为负x 面，面，l = -1, m = 0 , 则式则式( (d) )成为成为( ), (). (f)xbx xbxxyyffyxbaxfyfxxfyfxyxxy第58页/共146页602.6 2.6 边界条件边界条件应力边界条件的两种表达式：应力边界条件的两种表达式： 在同一边界面上，应力分量应等于对在同一边界面上，应力分量应等于对 应的面力分量（数值相等，方向一应的面力分量（数值相等，方向一 致）。致）。即在同一边界面上即在同一边界面上, ,

29、应力数值应应力数值应 等于面力数值等于面力数值( (给定给定),),应力方向应同面应力方向应同面 力方向力方向( (给定给定) )。 在边界点取出微分体，考虑其平衡条在边界点取出微分体，考虑其平衡条 件件，得式（，得式（d）或（或（e），（，（f ）；）；第59页/共146页612.6 2.6 边界条件边界条件 在斜面上，在斜面上， 在坐标面上，由于应力与面力的在坐标面上，由于应力与面力的符号规定不同，故式（符号规定不同，故式（e），（，（f ）有区有区别。别。例如：.)( ,)(yyxsxfpfps第60页/共146页622.6 2.6 边界条件边界条件lh/2h/2qyxoyyxxyyyx

30、x例例1 1列出边界条件：列出边界条件：1q第61页/共146页632.6 2.6 边界条件边界条件0( )0 ( )0.x 0 x 0 x,u,v边界()0, ()0.xx lxyx lxl,边界() ()0.yhyxhyy22xhy,q,2l边界1()0, ().yhyxhyy22hy,q2边界第62页/共146页642.6 2.6 边界条件边界条件yxoqqqqbbaa例例2 2列出边界条件：列出边界条件：xyyyxx第63页/共146页652.6 2.6 边界条件边界条件显然，边界条件要求在显然，边界条件要求在 上，上， 也成抛物线分布。也成抛物线分布。b()0, ()0.yyyxyb

31、yb 边界：axx2()( ) , ()0.xxaxyxaxayqb 边界：第64页/共146页662.6 2.6 边界条件边界条件 部分边界上为位移边界条件，另部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件；一部分边界上为应力边界条件；混合边界条件： 同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。第65页/共146页672.6 2.6 边界条件边界条件ax .0)(, 0)(,axxyaxuaxyxoa第66页/共146页682.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用 弹性力学问题是微分方程的边值问题。弹性力学问题是微分方程的边值问题。应力，形变，位移等未知函数必须

32、满足应力，形变，位移等未知函数必须满足A内的方程和内的方程和S上的边界条件。主要的困难在上的边界条件。主要的困难在于难以满足边界条件。于难以满足边界条件。 圣维南原理可用于简化小边界上的应力边界条件。第67页/共146页692.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用 如果把物体的如果把物体的一小部分边界一小部分边界上的面力，上的面力，变换为分布不同但变换为分布不同但静力等效的面力静力等效的面力（主矢量（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），相同，对同一点的主矩也相同），那么，那么，近处近处的应力分量将有显著的改变，的应力分量将有显著的改变，但但 远处远处所受的影响可以不计。所受的影响可

33、以不计。圣维南原理：第68页/共146页702.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用1.圣维南原理只能应用于一小部分边界 （小边界，次要边界或局部边界）；圣维南原理的说明：4 4. .远处远处 指指“近处近处”之外。之外。3 3. .近处近处 指面力变换范围的一，二倍指面力变换范围的一，二倍 的局部区域；的局部区域；2 2. .静力等效静力等效 指两者主矢量相同，对指两者主矢量相同，对 同一点主矩也相同；同一点主矩也相同；第69页/共146页712.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用 圣维南原理表明，在小边界上进行面力圣维南原理表明，在小边界上进行面力的静力等效变换后

34、，只影响近处（局部区域）的静力等效变换后，只影响近处（局部区域）的应力，对绝大部分弹性体区域的应力没有的应力，对绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响。明显影响。 圣维南原理推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。第70页/共146页722.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用hFF/2 F/2F/2F/2FF/b3465421321 )(bh 6543214321 第71页/共146页732.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用0 0 0 03412 0 02 01第72页

35、/共146页742.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用第73页/共146页752.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用圣维南原理在小边界上的应用：圣维南原理在小边界上的应用：lx 精确的应力边界条件精确的应力边界条件如图，考虑 小边界，第74页/共146页762.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用。)(),(),(),(yfyxyfyxylxxyxlxx(a)在边界在边界 上，上，lx 第75页/共146页772.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用 在小边界在小边界x=l上，用下列条件代替式上，用下列条件代替式(a)的条件：的条件： 在同一

36、边界在同一边界 x=l 上，上， 应力的主矢量应力的主矢量 = = 面力的主矢量（给定面力的主矢量（给定) ); ; 应力的主矩应力的主矩( (M) = ) = 面力的主矩（给定）面力的主矩（给定）. .),(yxFF数值相等数值相等,方向一致方向一致.(b)圣维南原理的应用积分的应力边界条件第76页/共146页782.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用 右端面力的主矢量，主矩的数值及方右端面力的主矢量，主矩的数值及方向，均已给定；向，均已给定； 左端应力的主矢量，主矩的数值及方左端应力的主矢量，主矩的数值及方向，应与面力相同，并按应力的方向规定向，应与面力相同，并按应力的方向规

37、定确定正负号。确定正负号。第77页/共146页792.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用具体列出具体列出3 3个积分的条件：个积分的条件：)( 1)(1)()(1)(1)()( 1)(1)(2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/ShhylxhhxyhhxlxhhxNhhxlxhhxFdyyfdyMydyyfydyFdyyfdy第78页/共146页802.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用即：即： 应力的主矢量，主矩的数值应力的主矢量，主矩的数值=面力的主面力的主矢量，主矩的数值；矢量，主矩的数值； 应力的主矢量，主矩的方向应力的主矢量，主矩的方向=面力的主

38、面力的主矢量，主矩的方向。矢量，主矩的方向。 式中应力主矢量，主矩的正方向式中应力主矢量，主矩的正方向,正负号的确定：正负号的确定： 应力的主矢量的正方向应力的主矢量的正方向，即应力的正方向，即应力的正方向， 应力的主矩的正方向应力的主矩的正方向，即（正应力），即（正应力） （正（正的矩臂）的方向。的矩臂）的方向。第79页/共146页812.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用讨论： 1. 1.如果只给出面力的主矢量，主矩如图，则如果只给出面力的主矢量，主矩如图，则式式(c)右边直接代入面力的主矢量，主矩；右边直接代入面力的主矢量，主矩； 2. 2.在负在负 x 面，面， ，由于应

39、力，面力的符号，由于应力，面力的符号规定不同，应在式规定不同，应在式(c)中右端取负号；中右端取负号； 3. 3.积分的应力边界条件积分的应力边界条件(b)或或(c)虽是近似的，虽是近似的，但只用于小边界，不影响整体解答的精度。但只用于小边界，不影响整体解答的精度。lx第80页/共146页822.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用比较：第81页/共146页832.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用思考题x第82页/共146页842.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题 平面应力问题与平面应变问题，除平面应力问题与平面应变问题，除物理方程的弹性系数须变换外

40、，其余完全相物理方程的弹性系数须变换外，其余完全相同。因此，两者的解答相似同。因此，两者的解答相似, ,只须将只须将 进进行变换。以下讨论行变换。以下讨论平面应力问题平面应力问题。1.1.平面问题的基本方程及边界条件平面问题的基本方程及边界条件,E第83页/共146页852.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题0,0.yxxxyxyyfxyfyx 平面域平面域A内的基本方程内的基本方程: :平衡微分方程平衡微分方程（在（在A内）内）第84页/共146页862.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题, , .xyxyuvvuxyxy11(),(),2(1).xxyyyxxy

41、xyEEE几何方程几何方程物理方程物理方程（在（在A内）内）（在（在A内）内）第85页/共146页872.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题应力边界条件应力边界条件 位移边界条件位移边界条件 （在 上）（在 上）(),().xyxsxyxysylmfmlfs),(vuxyyxxyyxus( ),( ).ssuuvvS上边界条件: 8个未知函数 必须满足上述方程和边界条件。第86页/共146页882.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题 按位移求解（位移法）按位移求解（位移法）取取 ， 为基为基本未知函数，从方程和边界条件中消去形本未知函数，从方程和边界条件中消去形变和

42、应力，导出只含变和应力，导出只含 ， 的方程和边界条的方程和边界条件，从而求出件，从而求出 ， ；再求形变和应力。；再求形变和应力。2.2.解法解法消元法消元法 uvuvuv第87页/共146页892.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题 按应力求解（应力法）按应力求解（应力法）取取 为基本未知函数，从方程和边界条件中消为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移和形变，导出只含应力的方程和边去位移和形变，导出只含应力的方程和边界条件，从而求出应力；再求形变和位移。界条件，从而求出应力；再求形变和位移。xyyx, 这是弹力问题的两种基本解法这是弹力问题的两种基本解法。第88页/共14

43、6页902.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题3. 按位移求解按位移求解uvu vu vu v 将其他未知函数用将其他未知函数用 ，表示：，表示： 形变形变用用 ，表示，表示几何方程几何方程; ; 应力应力先用形变来表示（物理方程），先用形变来表示（物理方程）， 再代入几何方程，用再代入几何方程，用 ，表示，表示: : 取取 ， 为基本未知函数；为基本未知函数；第89页/共146页912.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题2222()(),11()(),(a)11().2(1)2(1)xxyyyxxyxyEEuvxyEEvuyxEEvuxy第90页/共146页922

44、.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题 在在A中导出求中导出求 ，的基本方程，的基本方程将式将式( (a) ) 代入平衡微分方程，代入平衡微分方程，22222222222211()0,122( ) (b)11()0.122xyEuuvfxyx yAEvvufyxx y u vu v上式是用 ，表示的平衡微分方程。第91页/共146页932.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题位移边界条件位移边界条件 （在 上）(d)（在 上）(c).)(,)(vvuussus.)(21)(1,)(21)(122ysxsfyuxvlxuyvmEfxvyumyvxulEs应力边界条件应力边

45、界条件将式将式(a)代入应力边界条件代入应力边界条件， 在S上的边界条件第92页/共146页94式(b)，(c)，(d)是求解 ， 的条件;也是校核 ， 是否正确的全部条件。2.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题uvuvuv归纳：第93页/共146页952.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题 求函数式解答困难，但在近似解法（变分法，差分法，有限单元法）中有着广泛的应用。 适用性广可适用于任何边界条件。第94页/共146页962.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题gffyx , 0 xoyloyxgg(a) (b)第95页/共146页972.8 2.8

46、按位移求解平面问题按位移求解平面问题解：解：为了简化，设为了简化，设位移位移 按位移求解，位移应按位移求解，位移应满足式满足式( (b),(),(c),(),(d) )。代入式代入式( (b),),第一式自第一式自然满足，第二式成为然满足，第二式成为, 0).(, 0yvvu.2222Egdyvdyvxoyloyxgg (a) (b)第96页/共146页98 均属于位移边界条件，代入均属于位移边界条件，代入 ，2.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题.22BAyyEgvly, 00( )0,yv0;B v得得得得( )0,y lv.2gAlE解出第97页/共146页992.8 2.

47、8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题).2(2),2(2),(22ylgylEgylyEgvyy在 处，2ly. 0y代入代入 ，并求出形变和应力，并求出形变和应力，v第98页/共146页1002.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题思考题思考题试用位移法求解图试用位移法求解图( (b) )的位移和应力。的位移和应力。第99页/共146页1012.9 2.9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程（1 1）取）取 为基本未知函数；为基本未知函数；xyyx,1.按应力求解平面应力问题（2）其他未知函数用应力来表示:第100页/共146页102 位移用形变位移用形变

48、应力表示，须通过积分，应力表示，须通过积分，不仅表达式较复杂，而且包含积分带来的未不仅表达式较复杂，而且包含积分带来的未知项，因此位移边界条件用应力分量来表示知项，因此位移边界条件用应力分量来表示时既复杂又难以求解。故时既复杂又难以求解。故在按应力求解时在按应力求解时，只考虑全部为应力边界条件的问题只考虑全部为应力边界条件的问题, ,即即 。 形变用应力表示（物理方程）。形变用应力表示（物理方程）。)0,(usss2.9 2.9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程第101页/共146页103 在在A内求解应力的方程内求解应力的方程.22222yxxyxyyxvu(b) 从几

49、何方程中消去位移从几何方程中消去位移 ， ，得，得相容方相容方程（形变协调条件）程（形变协调条件）： 补充方程补充方程从几何方程，物理方程中从几何方程，物理方程中消去位移和形变得出消去位移和形变得出 : :平衡微分方程平衡微分方程 （2个）。个）。 ( (a) )2.9 2.9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程第102页/共146页104 代入物理方程，消去形变，并应用平衡代入物理方程，消去形变，并应用平衡微分方程进行简化，便得微分方程进行简化，便得用应力表示的相容用应力表示的相容方程方程 ： 2()(1)(),(c)yxxyffxy .22222yx其中 (4) 应力边

50、界条件假定全部边界上均为应力边界条件 。)0,(usss2.9 2.9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程第103页/共146页105（1 1）A内的平衡微分方程；内的平衡微分方程；（2 2）A内的相容方程；内的相容方程；（3 3）边界）边界 上的应力边界条件；上的应力边界条件；（4 4）对于多连体，还须满足位移的单值条）对于多连体，还须满足位移的单值条 件（见第四章）。件（见第四章）。 归纳：归纳：xyyx,ss (1)(1)- -(4)(4)也是校核应力分量是否正确的全部条件也是校核应力分量是否正确的全部条件。 按应力求解平面应力问题按应力求解平面应力问题 ，应力应力

51、必须满足下列条件必须满足下列条件：2.9 2.9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程第104页/共146页1062.2.形变协调条件（相容方程）的物理意义形变协调条件（相容方程）的物理意义形变协调形变协调对应的位移存在对应的位移存在位移必然连续；位移必然连续；形变不协调形变不协调对应的位移不存在对应的位移不存在不是物体实不是物体实际存在的形变际存在的形变微分体变形后不保持连续。微分体变形后不保持连续。 形变协调条件是与形变对应的位移存在形变协调条件是与形变对应的位移存在且连续的必要条件。且连续的必要条件。 形变协调条件是位移连续性的必然结形变协调条件是位移连续性的必然结果。

52、连续体果。连续体位移连续位移连续几何方程几何方程形变协调形变协调条件。条件。2.9 2.9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程第105页/共146页107点共点（连续），点共点（连续），变形后三连杆在变形后三连杆在 点共点，则三连杆点共点，则三连杆的应变必须满足一的应变必须满足一定的协调条件。定的协调条件。例例1 1三连杆系统，由于物体是连续的，三连杆系统，由于物体是连续的，变形前三连杆在变形前三连杆在 DD FDD2.9 2.9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程第106页/共146页1081.1.试比较按位移求解的方法和按应力求解的试比较按位移求解的

53、方法和按应力求解的 方法，并与结构力学中的位移法和力法作方法，并与结构力学中的位移法和力法作 比较。比较。2.2.若若 是否可能是否可能成为弹性体中的形变？成为弹性体中的形变？3.3.若若 是是否可能为弹性体中的应力？否可能为弹性体中的应力？,)(,22xybabxayxyyx, 0, 022xyyxyxbyaxff思考题思考题2.9 2.9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程第107页/共146页1092.10 2.10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数 相容方程相容方程 ( (A) () (a) )1.1.常体力情况下按应力求解的条件常体力情况下按

54、应力求解的条件0)(2yx0, 0yxyyxyxxfxyfyx(A) (b) 平衡微分方程平衡微分方程 第108页/共146页1102.10 2.10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数 应力边界条件应力边界条件 ss .)( ,)(ysxyyxsyxxflmfml(S) (c)0,(usss 多连体中的位移单值条件。 (d)第109页/共146页1112.10 2.10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数 在在 - - 条件下求解条件下求解 的全部的全部条件条件( (a) )，( (b) )，( (c) )中均不包含弹性常数，中均不包含弹性常数，故故

55、与弹性常数无关。与弹性常数无关。2.2.在常体力在常体力, ,单连体单连体, ,全部为应力边全部为应力边界条件（界条件（ ）下的应力）下的应力 特征：特征：ss xyyx,xyyx,xyyx,第110页/共146页1122.10 2.10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数结论：不同材料的应力不同材料的应力( )( )的理论解相的理论解相 同，用试验方法求应力时，也可以用不同，用试验方法求应力时，也可以用不 同的材料来代替。同的材料来代替。xyyx,两类平面问题的应力解（两类平面问题的应力解（ ）相）相同，试验时可用平面应力的模型代替平面应同，试验时可用平面应力的模型代替平

56、面应变的模型。变的模型。 xyyx,第111页/共146页1132.10 2.10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数 3. 3.常体力下按应力求解的简化常体力下按应力求解的简化, , 0. (e)xxyyxyf xf y 22222, , . (f)xyxyyxx y 对应的齐次微分方程的对应的齐次微分方程的通解通解，艾里已求，艾里已求出为出为 非齐次微分方程非齐次微分方程( (b) )的任一的任一特解特解，如取，如取（1 1）常体力下平衡微分方程的）常体力下平衡微分方程的通解通解是：是： 非齐次特解非齐次特解+ +齐次通解。齐次通解。第112页/共146页1142.10

57、 2.10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数. yxy,fxx,fy2xyy22yx22x所以满足所以满足平衡微分方程的通解为平衡微分方程的通解为: :( (g)g)为艾里应力函数。为艾里应力函数。第113页/共146页1152.10 2.10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数如果，如果，则则A，B均可用一个函数表示，即均可用一个函数表示，即说明：说明：).()(xfyyfx),()(ByAx. ,xfByfAa.a.导出艾里（导出艾里（Airy）应力函数应力函数 ，是应用偏，是应用偏导数的相容性，即导数的相容性，即第114页/共146页1162.1

58、0 2.10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数d. 由由 再去求应力（式（再去求应力（式（g）, ,必然满足平必然满足平衡微分方程，故不必再进行校核。衡微分方程，故不必再进行校核。c. 仍然是未知的。但已将按应力仍然是未知的。但已将按应力 求解转变为按应力函数求解转变为按应力函数 求解，求解，从从3 3个未知函数减少至个未知函数减少至1 1个未知函数个未知函数 。b. .导出应力函数导出应力函数 的过程，也就证明了的过程，也就证明了 的的存在性，故可以用各种方法去求解存在性，故可以用各种方法去求解 。),(yx),(xyyx第115页/共146页1172.10 2.10

59、常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数（2 2）应力应满足相容方程（）应力应满足相容方程（a），），将式将式 （g）代入（代入（a），），得得 2240. (h) ss （3）若全部为应力边界条件（ ）， 则应力边界条件也可用 表示。第116页/共146页1182.10 2.10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数归纳：归纳：（1 1）A A内相容方程内相容方程（h）；）；（2 2） 上的应力边界条件上的应力边界条件；（3 3）多连体中的位移单值条件多连体中的位移单值条件。ss 求出求出 后，可由式（后，可由式（g）求得应力。求得应力。 在常体力下求解平面问

60、题在常体力下求解平面问题 ，可转，可转变为变为按应力函数按应力函数 求解求解， 应满足应满足: :第117页/共146页1192.10 2.10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数1 1，在常体力，单连体和全部为应力边界，在常体力，单连体和全部为应力边界条件条件下，对于不同材料和两类平面条件条件下，对于不同材料和两类平面问题的，问题的， 和均相同。试问其余的应和均相同。试问其余的应力分量，应变和位移是否相同？力分量，应变和位移是否相同？xyxy思考题第118页/共146页1202.10 2.10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数2 2，对于按位移，对于