工程力学(II)重修与辅导1

1、1 12一点的正应变与切应变一点的正应变与切应变变形体在受力后变形体在受力后, 整个介质区域内每一点都有可能发生形变和位移整个介质区域内每一点都有可能发生形变和位移. 现在来考现在来考察其中的某一点在平面内的相对变形察其中的某一点在平面内的相对变形, 最方便的描述是将此点在变形前取为长最方便的描述是将此点在变形前取为长方形方形. 于是于是, 其变形的描述可如下图示其变形的描述可如下图示.MLNx y N M L u v 此介质区域内的平均应变此介质区域内的平均应变:纵横纤维的角度变化纵横纤维的角度变化(角应变角应变)水平方向水平方向(x 轴方向轴方向)线应变线应变xumx 竖直方向竖直方向(y

2、 轴方向轴方向)线应变线应变yvmy NMLm 2对对M点点:dxduxuxx 0limdydvyvyy 0lim tgNMLMLMN)2(lim00注意注意: 这里的形变这里的形变相对于构件的原来相对于构件的原来的尺寸仍然是很微的尺寸仍然是很微小的小的.3例例1. 两边固定的薄板两边固定的薄板, 变形后变形后ab, ad 保持为直线保持为直线, a点沿垂直向下移动了点沿垂直向下移动了0.025mm. 求求: ab边的平均应变边的平均应变, ab, ad 两边的夹角的变化两边的夹角的变化.200250abda0.025解解:ab边的平均应变为边的平均应变为41025. 1200025. 0 a

3、baamab, ad两边的交角变化为两边的交角变化为4100 . 1250025. 02 tgdab 正应变也称线应变或伸长应变正应变也称线应变或伸长应变, 切应变也称角应变或剪应变切应变也称角应变或剪应变. 应变是由应力引起的应变是由应力引起的, 在各向同性材料的小变形力学效应中在各向同性材料的小变形力学效应中,正应力引起正应力引起正应变正应变, 切应力引起切应变切应力引起切应变.4杆件变形的基本形式杆件变形的基本形式1. 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩2. 剪切剪切键键, 销钉销钉, 铆钉铆钉等连接件等连接件(见见p9)53. 扭转扭转(圆轴圆轴)eMeM4.平面弯曲平面弯曲载荷在构件载荷在

4、构件(梁梁)的纵向的纵向对称面内对称面内, 且与轴向垂且与轴向垂直直.(见见p10)(见见p10)6 第一章第一章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩横截面上的力或合力过轴心线横截面上的力或合力过轴心线轴的纵向纤维均匀被拉压轴的纵向纤维均匀被拉压, 横截面上只有正应力横截面上只有正应力 一一. 轴力和轴力图轴力和轴力图 在杆件轴向拉压的状态下在杆件轴向拉压的状态下, 杆件截面上的力杆件截面上的力,称为轴力称为轴力,它是由外力引起的杆它是由外力引起的杆件内截面之间的相互作用力件内截面之间的相互作用力. 求某处轴力求某处轴力, 须在此处用截面法须在此处用截面法, 将此处截开将此处截开, 分析截开后的一段

5、杆件的平分析截开后的一段杆件的平衡衡,从而求得此处截面内的轴力从而求得此处截面内的轴力.横截面横截面: 与轴线垂直的截面与轴线垂直的截面 . 内力内力: 截面上应力的合成效应截面上应力的合成效应 . 轴向拉压时轴向拉压时, 杆中的内力称为轴力杆中的内力称为轴力. 内力的计算内力的计算 截面法截面法 轴力的正负规定轴力的正负规定: 轴力的正负与坐标轴的取向无关轴力的正负与坐标轴的取向无关, 而是与受力体的变形有关而是与受力体的变形有关. 使物体受拉的轴力使物体受拉的轴力为正为正, 使物体受压的轴力为负使物体受压的轴力为负. 7例例2 . 求活塞杆上横截面求活塞杆上横截面 1 1 , 2 2 上的

6、轴力上的轴力, 并作其轴力图并作其轴力图. ( p 12 14 )解解: 取活塞杆为研究对象取活塞杆为研究对象沿沿1 1 截面截开截面截开, 取左段分析取左段分析111F1NFkNF32. 13 kNF62. 21 kNF30. 12 1122ABC:0 xF 压压kNFFFFNN62. 201111 沿沿2 2 截面截开截面截开, 取右段分析取右段分析3F2NF22:0 xF 压压kNFFFFNN32. 103232 若若沿沿2 2 截面截开截面截开, 取左段分析取左段分析2NF kNF62. 21 kNF30. 12 1122AB所得的结果仍有所得的结果仍有: 压压kNFN32. 12 8

7、沿沿1 1 截面截开截面截开, 取左段分析取左段分析111F1NFkNF32. 13 kNF62. 21 kNF30. 12 1122ABC:0 xF 压压kNFFFFNN62. 201111 沿沿2 2 截面截开截面截开, 取右段分析取右段分析3F2NF22:0 xF 压压kNFFFFNN32. 103232 轴力图轴力图: kNFNx( )2.621.32(杆件内各截面受力情杆件内各截面受力情况描述的图像况描述的图像)杆件中间有载荷就会引起轴力的改变杆件中间有载荷就会引起轴力的改变(内力的改变由外力引起内力的改变由外力引起)9例例3. 作图示直杆的轴力和轴力图作图示直杆的轴力和轴力图,已知

8、约束及外载荷如图示已知约束及外载荷如图示.kN50NFx501020 轴力是内力轴力是内力,由外载荷引起由外载荷引起, 轴力是截面应力的集成量轴力是截面应力的集成量.解解: 由整体平衡求约束力由整体平衡求约束力kN20kN30kN40A kNFA50 由截面法取平衡体分析由截面法取平衡体分析可由载荷图求得轴力图可由载荷图求得轴力图10二二. 轴向拉压杆横截面上的应力轴向拉压杆横截面上的应力mmFFFmmNFFNFmm这里这里, 横截面上只有正应力横截面上只有正应力(正应力正应力: 垂直于截面的应力垂直于截面的应力)AFN 11 AW1NF2NF例例 4 图示一悬臂吊车的计算简图图示一悬臂吊车的

9、计算简图. 斜杆斜杆AB为直径为直径d = 20mm的钢杆的钢杆, 载荷载荷W = 15kN. 求求AB杆横截面上的应力杆横截面上的应力.解解: 取铰取铰A为研究对象为研究对象.388. 08 . 09 . 18 . 0sin22 WABC 0.8m1.9m:0 yF0sin1 WFN kNWFN7 .38sin1 MPaAFN18.123204107 .38231 AB杆横截面受杆横截面受123.18MPa拉应力拉应力12adFNABFNBCBF030CAB030F解解: 取取B点为研究对象点为研究对象:0 yF030sin0 FFNAB kNFFNAB202 :0 xF030cos0 NB

10、CNABFF kNFNBC310 例例5. 图示支架图示支架, AB杆为圆截面杆杆为圆截面杆, d = 30mm, BC杆为正方形截面杆杆为正方形截面杆, 其边长其边长 a = 60 mm , F = 10 kN . 试求试求AB杆和杆和BC 杆横截面上的应力杆横截面上的应力.AB杆横截面上应力杆横截面上应力:BC杆横截面上应力杆横截面上应力:MPaAFABNABAB3 .28304200002 (拉拉)MPaAFBCNBCBC8 . 4603100002 (压压)13例例6. 在图示的简易吊车中在图示的简易吊车中, BC为钢杆为钢杆, AB为木杆为木杆. 已知钢杆的横截面面积已知钢杆的横截面

11、面积 A1 = 5cm2 , 其许用应力其许用应力 =140Mpa;木杆的横截面面积木杆的横截面面积A2 = 100cm2 其许其许用应力用应力 2 =7Mpa. 试确定许可的吊重试确定许可的吊重P = ? AB木杆木杆C钢杆钢杆P300解解取取B点分析受力点分析受力P1NF2NFB030:0 yF030sin01 PFNPFN21 :0 xF030cos210 NNFFPFN32 1405002111 PAFNBC NP350001 7100003222 PAFNAB NP5 .404142 吊重的许可载荷为吊重的许可载荷为35000(N).14FFmmkk 三三. 直杆轴向拉伸或压缩时斜截

12、面上的应力直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力应力状态与所在的截面有关应力状态与所在的截面有关, 直杆轴向拉伸和压缩时直杆轴向拉伸和压缩时, 杆的横截面上只有正杆的横截面上只有正应力应力( 即垂直于截面的应力即垂直于截面的应力 ) . 如果考查与轴线成一角度的斜截面上的应力如果考查与轴线成一角度的斜截面上的应力, 则情况便有所不同则情况便有所不同. 截面截面m m 上上AF 截面截面k k 上上 AFpFF pkkFkk p : A斜截面面积斜截面面积 coscoscosAFAFAFp将斜截面上的应力将斜截面上的应力p 分解为正应力和切应力分解为正应力和切应力 2cos12coscos2p 2s

13、in2sincossinp15Fkk p 2cos12coscos2p 2sin2sincossinp重要结论重要结论: 截面的方位不同截面的方位不同, 其应力的表现就不同其应力的表现就不同. 当当 = 0, 斜截面斜截面k k 便成了便成了垂直于轴线的横截面垂直于轴线的横截面. 此时此时, = 0 , = max = AF 当当 = 45, 此斜截面上有此斜截面上有220045max45 16例例7 (习习2 6 ) 直径为直径为10mm的圆杆的圆杆, 在拉力在拉力F = 10kN的作用下的作用下,试求最大的切应试求最大的切应力力, 并求与横截面的夹角为并求与横截面的夹角为 = 300 的斜

14、截面上的正应力和切应力的斜截面上的正应力和切应力.FF030F030 030 解解: 由由 2cos12cos2 2sin2sincos 当当 = 45, 此斜截面上有此斜截面上有2max450 MPaAF66.631010104212123max MPa49.9560cos166.63030 MPa13.5560sin66.63030 17四四 . 轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形F F ll11bb轴向伸长轴向伸长lll 1轴向线应变轴向线应变ll 在线弹性变形阶段在线弹性变形阶段 E横向向线应变横向向线应变bbbbb 1 实验可得实验可得 称为泊松比称为泊松比, 是材料的一个

15、常数是材料的一个常数. 轴向拉压的虎克定律轴向拉压的虎克定律:EAFll 基本变形公式基本变形公式18例例8. 变截面直杆如图所示变截面直杆如图所示. 已知已知: A1 = 8cm2 , A2 = 4cm2 , E = 200GPa . 求求: 杆的总伸长杆的总伸长 l =? 40kN60kN200200A1A220kN04001020020020000800102002004000033221121 EALFEALFlNN A1截面上的轴力截面上的轴力FN1 = - 40kN, A2 截面上的轴力截面上的轴力FN2 = 20kN . NiiiiiAElFl1 19例例9. 上段由铜下段由钢做

16、成的直杆上段由铜下段由钢做成的直杆, 其两端固定其两端固定, 在两端连接的地方受到力在两端连接的地方受到力 P = 100kN作用作用. 已知已知 E铜铜 = 100GPa, E钢钢 = 200GPa. 设杆的横截面面积都为设杆的横截面面积都为 A =20cm2. 求杆内各段横截面上的应力求杆内各段横截面上的应力.铜铜钢钢40cm20cmP1NF2NF解解: 由静力平衡方程由静力平衡方程021 PFFNN 110100321 NNFF由于两端固定由于两端固定, 则有则有021 即即AElFAElFNN钢钢铜铜2211 32311020020010100400 NNFF 2412NNFF 由由(

17、1)、(2)可得可得: NFN311020 NFN321080 铜杆内应力铜杆内应力: 拉拉MPaAFN10200010203111 钢杆内应力钢杆内应力: 压压MPaAFN40200010803222 20第二章第二章 圆轴扭转圆轴扭转扭转实例扭转实例对称扳对称扳手拧紧镙帽手拧紧镙帽传动轴传动轴21外加力偶矩与功率和转速的关系外加力偶矩与功率和转速的关系tWP tMe eM602 nMe 功率功率功功时间时间力偶矩力偶矩角位移角位移角速度角速度每分钟每分钟的转数的转数min)/(2)(60rnkWPMe mNnPmkNnP.9549)(549. 9 一一. 外力偶矩的计算外力偶矩的计算. 扭

18、矩和扭矩图扭矩和扭矩图Me1 Me2 Me3 从动轮从动轮主动轮主动轮从动轮从动轮22杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号T 表示。表示。扭矩大小可利用扭矩大小可利用截面法截面法来确定来确定. .eMT AMe 11xTeMT Me Me ABT11BMe 扭矩矢量与截面外法线方向一致者为正，反之为负扭矩矢量与截面外法线方向一致者为正，反之为负.扭矩的符号规定扭矩的符号规定按右手螺旋法则确定按右手螺旋法则确定:T (+)T (-)TTTT23例例 1. 一传动轴如图，转速一传动

19、轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输入的功率主动轮输入的功率P1=36kW，三个，三个从动轮输出的功率分别为：从动轮输出的功率分别为： P2= 11kW， P3= 11kW， P4= 14kW。 试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。 首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩解：解： mN 1461mN)300369549(1 M m350NmN)300119549(32 MM mN 446mN)300149549(4 MBCAD1M2M3M4M24 m350N21 MT mN 700)(322 MMT mN 44643 MT分别计算各段分别计算各段的扭矩的扭

20、矩 :0 ixFm 021 MT :0 ixFm 0)(322 MMT :0 ixFm034 TM mNM.11461 mNM.3502 mNM.3503 mNM.4464 : 对待求的对待求的截面上的扭矩截面上的扭矩应设之方向与应设之方向与外法向一致外法向一致(正向假定正向假定)BCAD1M2M3M4M11223311x2M1T2Tx2M3M224M3T33D25BCAD1M2M3M4MTmax = 700Nm 在在CA段内段内M1 =1146N.mM2 = 350N.mM3=350 N.mM4 =446N.m350700446 m350N1 T mN 7002 T mN 44613 T扭矩

21、图扭矩图(内力图内力图)x mNT 11223326扭矩图的意义扭矩图的意义:BCAD1M2M3M4M350700446 轴内任轴内任意截面内意截面内力的大小力的大小及变化情及变化情况况113M11B2MC1TAD1M4M1T11dx1T1T 27BCD4M112233A1M2M3MTmax = 1146Nm 在在DA段内段内M1 =1146N.mM2 = 350N.mM3=350 N.mM4 =446N.m1146 m350N1 T mN 7002 T mN 44613 T扭矩图扭矩图(内力图内力图)350700 x mNT 如果将输入力偶如果将输入力偶M1 与输出力偶与输出力偶M4 对调对

22、调,(将主动轮移至轴右端将主动轮移至轴右端)28TT二二.圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力1. 变形几何关系变形几何关系dxdxeMeM实验观察实验观察横截面上存在剪应力横截面上存在剪应力,不存在正应力不存在正应力.平面截面假设平面截面假设: :圆轴的横截面变形后保持为平面，圆轴的横截面变形后保持为平面，圆轴右端截面上所绘的径向线保持圆轴右端截面上所绘的径向线保持直线。直线。取圆轴上取圆轴上dx一段分析变形与受力的关系一段分析变形与受力的关系dx29xdd 相对扭转角沿杆长的变化率，对于给定的横截面为常量相对扭转角沿杆长的变化率，对于给定的横截面为常量.即即xdd dDGGETTO1O2aba

23、bdxDAdDGGEO1O2DAdxd RdxdRR)(max显然有显然有 一般记一般记dxd (单位扭转角单位扭转角)( ( 单位扭转角单位扭转角, 单位单位:rad/m )( 的范围为的范围为0 R )302. 物理关系物理关系剪切胡克定律剪切胡克定律 GG3. 静力学关系静力学关系dTdA AAdAGdAT2 dAIAp 2 I Ip p称为极惯性矩，是截面的几何性质，称为极惯性矩，是截面的几何性质，仅与截面的几何形状、尺寸有关仅与截面的几何形状、尺寸有关Tdxd pAIGdAGT 2即即pGIT pGITdxd 于是有于是有或或dxdG 其中其中,记记TR31 GIp表示圆轴抵抗变形的

24、能力，称为圆轴的表示圆轴抵抗变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度抗扭刚度。pITG （横截面上剪应力的计算公式（横截面上剪应力的计算公式)tpWTITRR max 时时，当当RIWpt 式中式中 称为称为抗扭截面系数抗扭截面系数. GGpIT pGITdxd 又由又由pGITdxd dxGITl 0 如果在如果在l 长内长内T是常数是常数pGITl pGIT 32极惯矩极惯矩dAIDp 2抗扭截面系数抗扭截面系数RIWpt RRrR 空心圆轴空心圆轴薄壁圆筒薄壁圆筒实心圆轴实心圆轴4432121DRIp 3316121DRWt 44444444132112132121 DRdDrRIp 434311

25、61121 DRWt 32022 RRdRIp 22 RWt33r0TT mmnneMeMnnmml 薄壁圆筒扭转时的切应力薄壁圆筒扭转时的切应力 薄壁圆筒横截面上分布的切应力薄壁圆筒横截面上分布的切应力, 总体形成一力偶总体形成一力偶 扭矩扭矩T 202rMe 02 AMe 202 rTMe 002rdrdT 横截面上有与圆周相切的切应力且沿圆筒周向大体上均匀分布横截面上有与圆周相切的切应力且沿圆筒周向大体上均匀分布Tr0 对应微元面积应力形成的力偶为对应微元面积应力形成的力偶为:整个圆环截面上力偶整个圆环截面上力偶(扭矩扭矩): 2000022rrrT 对受一对力偶对受一对力偶Me而扭转的

26、薄壁圆筒而扭转的薄壁圆筒, 横截面切应力可表示为横截面切应力可表示为:34 切切(剪剪)应力互等定理应力互等定理:xyzdxdydz 对于受力处于平衡状态的变形体内对于受力处于平衡状态的变形体内, ,任意点处相互垂直的两个平面上，切任意点处相互垂直的两个平面上，切应力必成对出现，两切应力的数值相应力必成对出现，两切应力的数值相等，方向均垂直于该平面的交线，且等，方向均垂直于该平面的交线，且同时指向或背离其交线。同时指向或背离其交线。v切应力互等定理是由单元体的平衡条件导切应力互等定理是由单元体的平衡条件导出的，与材料的性能无关。所以不论材料出的，与材料的性能无关。所以不论材料是否处于弹性范围，

27、切应力互等定理总是是否处于弹性范围，切应力互等定理总是成立的。且不论单元体上有无正应力存在成立的。且不论单元体上有无正应力存在, ,切应力互等定理总是成立的切应力互等定理总是成立的. .单元体单元体: 描述变形体内应力和形变的微小的力学模型描述变形体内应力和形变的微小的力学模型,常用的单元体是微常用的单元体是微小的长方体或正方体小的长方体或正方体.35解：解：由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：)1(1643 DWt)2(11643DtDD 361024.29m 轴的最大剪应力轴的最大剪应力例例2.(书上例书上例3.2) 某汽车传动轴用某汽车传动轴用45号钢无缝钢管

28、制成，其外径号钢无缝钢管制成，其外径D = 90mm, 壁厚壁厚 t=2.5mm，使用时最大扭矩为，使用时最大扭矩为 T=1500 N.m,试校核此轴的强度试校核此轴的强度. 已知已知 =60MPa.若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相当，若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相当， 则实心轴的直径则实心轴的直径 D1为多大？为多大？tWTmaxmax MPa3 .511024.2910150033 MPa60 所以此轴安全。所以此轴安全。若此轴改为实心轴，令若此轴改为实心轴，令MPaWTt3 .511maxmax 31161DWt 式中式中解得：解得：mD053. 0103 .511

29、50016361 TT)(103 .51161500631PaD 36实心轴的横截面面积为实心轴的横截面面积为22115344 DA22206mm 空心轴的横截面面积空心轴的横截面面积 2222285904)(4 dDA空心轴与实心轴的重量之比：空心轴与实心轴的重量之比：%3122066871212 AAGG因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节约材料、比较经济。约材料、比较经济。2687mm 37例例3. 直径直径D = 50mm的圆轴的圆轴, 受到扭矩受到扭矩T = 3.14 kN . m 的作用的作用. 试求横截试求横截面上的轴心面上的轴

30、心O点点, 外缘外缘A点以及在距离轴心点以及在距离轴心10 mm 处的处的B点的剪应力点的剪应力. TTOBA10T解解: O点处点处, 0 A点处点处, MPaWTpA12816501014. 336 B点处点处, MPaITpB2 .513250101014. 346 38三三. 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形pGITdxd 又由又由pGITdxd dxGITl 0 如果在如果在l 长内长内T是常数是常数pGITl pGIT dxd 称为单位扭转角称为单位扭转角如果在如果在l 长内长内T是常数是常数l 从数学关系分析从数学关系分析, 的单位是的单位是弧度弧度/米米, 但是工程中习惯于但是

31、工程中习惯于/m, 故扭转刚度的条件是故扭转刚度的条件是 180maxmaxpGIT(单位扭转角单位扭转角)TTdx d39例例4. ( 书上例书上例3.4) 某组合机床主传动轴在正常工作时作用有如图的三个力偶某组合机床主传动轴在正常工作时作用有如图的三个力偶. M1 = 39.3N.m, M2 = 194.3N.m , M3 =155.0N.m . 设轴匀角速转动设轴匀角速转动 , 材料为材料为45号钢号钢 , 剪切模量剪切模量G = 80GPa . = 40MPa . = 1.5(/m) . 试设计此轴的直径试设计此轴的直径.1M2M3M解解: 由已知条件可作其内力图由已知条件可作其内力图

32、 mNT.x39.3155 由强度条件由强度条件 63maxmax104016155 DWTt 63104016155D mD027. 0 由刚度条件由刚度条件 5 . 118032108015549max DGITp8294103 .755 . 1108018032155 D mD0295. 0 取取D = 0.03 (m).40例例5. (书上习书上习3.25) AB和和CD两杆的尺寸相同两杆的尺寸相同. AB为钢杆为钢杆, CD为铝杆为铝杆.两种材料两种材料的切变模量之比为的切变模量之比为3:1. 若不计若不计BE和和ED两杆的变形两杆的变形, 试问试问F力将以怎样的比例力将以怎样的比例

33、分配于分配于AB和和CD两杆两杆?aaFABCDE解解:设作用在设作用在EB上的力为上的力为F1 形变协调条件是形变协调条件是AB和和CD杆的转角相等杆的转角相等 ppIGalFFIGalF铝铝钢钢11 ppIGalFFIGalF铝铝铝铝113 113FFF 431FF 显然显然, F力分配于力分配于AB、CD杆的力的比为杆的力的比为3:141例例12. 由两种不同的材料构成的圆筒与圆柱组成一等截面圆轴由两种不同的材料构成的圆筒与圆柱组成一等截面圆轴. 里层和外里层和外层材料的切变模量分别为层材料的切变模量分别为G1和和G2 且且G1 =2G2 . 圆轴受扭时圆轴受扭时, 里层和外层之里层和外

34、层之间无相对滑动间无相对滑动. 关于横截面上切应力分布有关于横截面上切应力分布有(a) 、(b )、(c) 、(d ) 四种所四种所示的结论示的结论. 试判断哪一种是正确的试判断哪一种是正确的?T2G1G a b c d解解:如果两层之间无相对滑动如果两层之间无相对滑动, 应有变形后应有变形后21 21 或或222111ppIGTIGT 2221212ppIGTIGT 22112ppITIT 111pIT 112222ppITIT (c) 的分布是正确的的分布是正确的.42 n n n n 四四. 圆轴扭转时斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力TTATTA?43 n n bef0 F0 F

35、0cossindsincosdd AAA 0sinsindcoscosdd AAA设斜截面设斜截面ef 的面积为的面积为dA取三角块为平衡受力体取三角块为平衡受力体联立求解可得斜截面上的正应力和剪应力分别为联立求解可得斜截面上的正应力和剪应力分别为: :,2sin 2cos 讨论：讨论：1. 0 当当0 max454 当当 min0 3.454 当当 max0 4.2.232 当当0 44x max max min min1. 0 当当0 max454 当当 min0 3.454 当当 max0 4.2.232 当当0 TTATT 低碳钢低碳钢(a) 、铸铁、铸铁(b)试件扭转时的破坏断面试件

36、扭转时的破坏断面:45 弯曲内力弯曲内力 剪力和弯矩剪力和弯矩 剪力和弯矩是由外载荷引起的梁内截面上的力和力偶剪力和弯矩是由外载荷引起的梁内截面上的力和力偶. 它们是梁内截面之间它们是梁内截面之间互相作用的内力互相作用的内力, 是截面上应力的合成效应是截面上应力的合成效应, 要求得梁内弯曲应力要求得梁内弯曲应力, 必须先知梁必须先知梁内的剪力和弯矩内的剪力和弯矩.剪力和弯矩正负号的规定剪力和弯矩正负号的规定:( p117)FFmnFFmnFsFsF F(+)(+)FsFsF F(-)(-)mnMMmnMMMM(-)(-)(+)(+) 材料力学中内力的正负规定取决于其内力所引起的材料的变形形状材

37、料力学中内力的正负规定取决于其内力所引起的材料的变形形状, 不取决于力系方程计算结果的正负不取决于力系方程计算结果的正负. 而由力系方程计算结果的正负而由力系方程计算结果的正负,表示的意义是与求解前假设的方向一表示的意义是与求解前假设的方向一致或相反致或相反.46 剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 梁内剪力和弯矩是由载荷引起的梁内剪力和弯矩是由载荷引起的, 并随载荷的变化而变化并随载荷的变化而变化. 但不管多复杂但不管多复杂, 它它们都是梁长的函数们都是梁长的函数. xFFss 剪力方程剪力方程: xMM 弯矩方程弯矩方程:对距梁端任意长对距梁端任意长 x 处求其剪力

38、与弯矩便得该梁的剪力与弯矩方程处求其剪力与弯矩便得该梁的剪力与弯矩方程例例1 求图示均布载荷下悬臂梁的剪力弯矩方程并作其剪力求图示均布载荷下悬臂梁的剪力弯矩方程并作其剪力 弯矩图弯矩图. AFAMBqAlAAFAMqMsFCxxy解解:建立坐标轴如图建立坐标轴如图47AFAMBqAlxy在距端点在距端点 x 处将梁截开处将梁截开,取右段分析取右段分析(如图如图) BxqMsFCxl :0 yF 0 xlqFs xlqFs 221xlqM :0 Cm 022 xlqM根据剪力和弯矩的方程可根据剪力和弯矩的方程可作出剪力和弯矩图作出剪力和弯矩图:sFxMxql22ql 又解又解:48例例2: 求图

39、示右端作用外力偶的简支梁的剪力弯矩方程并作其剪力求图示右端作用外力偶的简支梁的剪力弯矩方程并作其剪力 弯弯矩图矩图. 解解: 求支反力求支反力eMABl由平衡方程式可求得由平衡方程式可求得:lMFFeBA 方向如图示方向如图示AFBFMsFAAFCx截梁任意长截梁任意长x, 取左段分析取左段分析 0 yFlMFFeAS 0 Cm0 xFMAxFMA 49例例3. 简支梁受集中力简支梁受集中力F如图示如图示, 试列出其剪力弯矩方程并作剪力和弯矩图试列出其剪力弯矩方程并作剪力和弯矩图.BFlabACAFBF解解:求支反力求支反力:0 Am0 lFFaBFlaFB :0 yFFFFBA FlbFA

40、在距端点在距端点 x 处将梁截开处将梁截开,取左段分析取左段分析 在在AC段内段内xMAFsFA xllFaM FxlbM :0 yFFlbFs :0 Am ax 0 ax 0在在AC段外段外CB段内段内CxM:0 yF0 sAFFFFlaFs :0 Am0 FaxFMs lxa lxa 50BACFlabAFBF求支反力求支反力:0 Am0 lFFaBFlaFB :0 yFFFFBA FlbFA 在距端点在距端点 x 处将梁截开处将梁截开,取左段分析取左段分析 在在AC段内段内xMAFsFAFxlbM :0 yFFlbFs :0 Am ax 0 ax 0在在AC段外段外CB段内段内Axxl

41、xllFaM :0 Bm 0 xlFMs lxa :0 yF0 BsFFFlaFs lxa 又解又解:51BFlabAC在在AC段内段内 xllFaM FxlbM FlbFs ax 0 ax 0在在AC段外段外CB段内段内FlaFs lxa lxa MxsFx lFalFblFab剪力弯矩图剪力弯矩图:52利用微积关系作剪力利用微积关系作剪力 弯矩弯矩 图图1. 在剪力图中某点处切线的斜率在剪力图中某点处切线的斜率, 等于相应截面处的载荷集度等于相应截面处的载荷集度, 弯矩图中某点弯矩图中某点处切线的斜率处切线的斜率, 等于相应截面处的剪力等于相应截面处的剪力.2. 一段梁中一段梁中, 若载荷

42、为零若载荷为零, 则剪力图为水平直线则剪力图为水平直线, 而弯矩图为梁长的一次函数而弯矩图为梁长的一次函数. 若载荷为均匀分布若载荷为均匀分布, 则剪力图为梁长的一次函数则剪力图为梁长的一次函数,而弯矩图为梁长的二次数而弯矩图为梁长的二次数. 若载荷为线性分布若载荷为线性分布, 则剪力图为梁长的二次函数则剪力图为梁长的二次函数, 而弯矩图为梁长的三次函而弯矩图为梁长的三次函数数 , 依次类推依次类推3. 一段梁中一段梁中, 集中力引起剪力的突变集中力引起剪力的突变; 集中力偶引起弯矩的突变集中力偶引起弯矩的突变, 但对梁内的但对梁内的剪力没有影响剪力没有影响.4. 剪力图中剪力图中, 距原点某

43、处的剪力等于该段梁上的载荷集度面积和集中外力的距原点某处的剪力等于该段梁上的载荷集度面积和集中外力的代数和代数和.5. 弯矩图中弯矩图中, 距原点某处的弯矩等于该段梁上的剪力面积和集中外力偶矩的距原点某处的弯矩等于该段梁上的剪力面积和集中外力偶矩的代数和代数和.53ABFClablFblFa sFxM54PaMA PFA qqaP ABa2a aABaPaM CPxsFxM55( )FS 图图3Pa( + )Pa2PaM 图图Pa3ABaa( a ) Pam P56习习. 4.4 ( c ) aqa2ACB2qaMe 先求约束力先求约束力剪力图剪力图qa2 弯矩图弯矩图2qa2qa 习习. 4

44、.4 ( g ) qACB2a2a83qa8qa剪力图剪力图83qa8qa 弯矩图弯矩图83a8a12892qa162qa 57 弯曲应力弯曲应力中性轴中性轴zMzMxzy纵向对称面纵向对称面横截面对称轴横截面对称轴中性层中性层梁轴线梁轴线中性轴中性轴582. 物理方程物理方程(胡克定律胡克定律) yEE y 3. 静力学关系静力学关系zAMydA 平面弯曲中横截面上弯曲正应力的公式平面弯曲中横截面上弯曲正应力的公式1. 几何变形几何变形zzEIM 1zzIyM : : 平面纯弯曲梁上的横截面只存在正应力平面纯弯曲梁上的横截面只存在正应力, , 以中性轴为界分为拉力以中性轴为界分为拉力区和压力

45、区区和压力区. .中性轴过截面的形心中性轴过截面的形心. .min MMmax 59 常用截面的轴惯矩常用截面的轴惯矩:矩形截面矩形截面zybh1232bhdAyIAz 62bhWz 1232hbdAzIAz 62hbWy yzd64444dRIIyz 32433dRWWyz 44444444164114164141 DRdDrRIIyz 43431321141 DRWWyzRrzy圆及圆环圆及圆环形截面形截面平移轴定理平移轴定理: 截面对某一轴的惯性矩截面对某一轴的惯性矩, 等于该截面对平行此轴等于该截面对平行此轴且过质心的轴的惯性矩加上该截面面积乘以两轴距离的平方且过质心的轴的惯性矩加上该

46、截面面积乘以两轴距离的平方.2dAIIZcZ 60例例2. 长为长为l的矩形截面悬臂梁的矩形截面悬臂梁, 在自由端作用一集中力在自由端作用一集中力F,已知矩形截面上已知矩形截面上 b120mm，h180mm、l2m，F1.6kN， 试求试求B截面上截面上 a、b、c 各点各点的正应力的正应力. 2lFABC2lbh6h2habc123bhIZ ZaBaIyM 123213bhhFL MPa65. 1 6162 例例4. 图示外伸梁，受均布载荷作用，图示外伸梁，受均布载荷作用， 材料的许用应力材料的许用应力 =160MPa，试校，试校核该梁的强度。核该梁的强度。 解解: 先求出危险截面的弯矩值先

47、求出危险截面的弯矩值 202515Fs (kN)图图m5 . 2m5 . 1M(kN.m)图图2025.11 由弯矩图可见由弯矩图可见mkN20max MzWMmaxmax 62 . 01 . 0102023 MPa30 max 该梁满足强度条件，安全该梁满足强度条件，安全.kN45kN1510kN / m2m4m10020063 例例5. 图示图示T形截面简支梁在中点承受集中力形截面简支梁在中点承受集中力F32kN，梁的长度，梁的长度L2m。横截面对于中性轴横截面对于中性轴z轴的惯性矩轴的惯性矩Iz1.02108mm4。截面有关尺寸如图示。截面有关尺寸如图示. 求危求危险截面上的最大拉应力和最大压应力。险截面上的最大拉应力和最大压应力。AB4 .9650200max ymm