各种湍流模式的比较与分析_张晓前1153373

1、-张晓前 1153373 工程力学（创新试验区）研究湍流的目的最终是为了预测和控制湍流。为了做到这些必须了解湍流的本质。随着电子计算机的发展，利用数值模拟方法研究湍流成了必不可少的方法。如果从流动控制方程出发，进行最精细的数值模拟，称为直接数值模拟（DNS，Direct Numerical Simulation）。只需预测湍流的统计量时，从雷诺平均方程出发的模拟，称为雷诺平均数值模拟（RANS，Reynolds Average Numerical Simulation）。介于DNS和RANS之间的是大涡模拟（LES，Large Eddy Simulation）。LES的思想是大尺度脉动用数值方

2、法计算，小尺度脉动对大尺度的作用通过 模型假设处理。以下我们主要讨论雷诺平均 数值模拟（RANS）的封闭模式。湍流模式的基本思想在雷诺方程中建立雷诺应力 和平均运动场间的关系式，就可以使雷诺方程封闭，此模式称为低阶矩模式。如果以雷诺方程和雷诺应力输运方程联立作为湍流统计平衡的控制方程，这种模式称为二阶矩模式。此外，依据封闭关系式的数学方程模式，湍流模式又可分为代数模式或者微分模式。湍流的直接数值模拟（DNS）不存在封闭性问题，原则上可以求解所有湍流问题。由于计算机资源的限制，迄今为止DNS只能求低雷诺数的湍流简单问题。雷诺统计平均模式（RANS）计算速度快而且符合设计精度要求，成为目前工程应用

3、的唯一方法。RANS的缺点是缺乏普适性，要使这种方法称为一种简单可靠的方法还需要做很深入的工作。大涡数值模拟方法（LES）只对小尺度脉动做封闭模型，因此可能有较宽的适应范围。建立湍流统计模式的一般原理建立足够的雷诺应力方程组（代数、微分或一般泛函）使得平均运动方程可解。雷诺应力是平均速度场和初边值条件的泛函，待封闭项是平均速度场、边界速度脉动和边界湍动能的泛函。而泛函的具体形式很难用解析、实验或者直接数值模拟的方式确定。因而湍流统计矩具有以下性质： 1、泛函表达式不是局部的 2、脉动场的泛函形式除了与平均速度场有关，还隐含流场的几何边界。综上所述，湍流脉动的统计矩中包含丰富的脉动场的性质，但是

4、他们不可能用解析方法表达出来。因而我们不得不做各种假设，各个假设又有自己的适用范围。应用湍流模式既需要理性又需要经验。封闭模式方程的约束条件封闭模式方程的约束条件脉动速度的高阶矩是张量，统计量之间是张量关系式。张量关系的封闭式必须满足客观性原则：张量函数的可表性原则 关于参照系统的不变性原则真实性原则渐近性原则常用的一些封闭模式常用的一些封闭模式涡粘模式是工程中广泛应用的模式，表达式和分子粘性类似。涡粘模式2阶矩模式（也称为雷诺应力模式）比涡粘模式多6个雷诺应力的偏微分方程代数涡粘模式（零方程模型）代数涡粘模式（零方程模型）雷诺应力表达式即bussinesqe涡团粘度模式。 为平均切变率张量。

5、目前在工程上广泛应用的代数涡粘模式是Baldwin-Lomax模式。代数涡粘模式的评价 计算量少，只要附加粘性模块就可以利用通常的N-S数值计算程序，是最受工程师们欢迎的方法。没有普适性，适合对特定的流动做各种修正。 结论：二维薄层湍流预测结果满意，三维复杂湍流基本不能满意。iiijijTjiuuSuu312ijS标准标准 模式模式（两方程（两方程模型模型1）由涡粘模式发展而来，把涡粘系数和湍动能及湍动能耗散率联系在一起。 ， 为无量纲系数。上式依据是脉动动量输运的物理机制。 q为脉动速度的特征量， 为脉动长度尺度。在 模式中，k和 分别在他们的输运方程中解出。湍动能消耗的机制十分复杂，对它的

6、方程做逐项模化几乎是不可能的。现在采用的是基于类比方法，基本思想是湍动能耗散的生成、扩散以及消失等项和湍动能方程中的对应项有类似的机制和公式。其封闭的方程如下：-k/2kCTCkqklqlT,/,2/3l-k模型方程的常数如下：关于标准 模式的评价主要缺点：1假定雷诺应力和当地的平均切应变成正比，不能反应雷诺应力沿流向的松弛效应；2 模式是各向同性的，不能反应雷诺应力的各向异性，尤其是近壁湍流；3不能反应平均涡量的影响。为了克服 模式的缺点，发展了近代的非线性 模式。jkkjkkUPDtx jjUPDEtx ikijjUPu ux ()kTkkkDxx1iijjUPCu ukx (/)TkkD

7、xx22ECk120.09,1.3,1.45,1.90CCC-k非线性非线性 模式模式我们把雷诺应力的泛函表达式近似为代数表达式，并把他做Taylor展开，并保留到2阶项，得如下二次式:此模式不仅仅是代数意义上的二次式，它包括了涡粘系数的各向异性，历史效应以及平均涡量的影响。此模式能够预测到方管湍流中的二次流，而标准 模式只能预测到流向均匀的单向平均流动。-k)31(2322312ijmnmnkjikijijjiSSSSkSkCkuu)31(232ijmnmnkjikk)(233ikjkkjikSSk)(235kijkijxSutSk非线性 模式较之标准 模式有很大改进，但仍具有涡粘模式的固有

8、缺陷，如没有包括雷诺应力的松弛效应等。同时，在平均切变流很大的流场内， 模式有可能不满足真实性条件。最后，理论上 模式是以湍动能生成和耗散相平衡为基础的，在固壁处分子粘性扩散将在湍动能中起重要作用，实际应用中我们使用壁函数而不是数值积分对其处理。壁面律的最大缺陷是难以推广到三维和复杂的湍流中，如果网格分辨率足够，我们还可以对近壁 模式修正，称为低雷诺数模型。-k-k-k-k-k 模式模式（两方程模型两方程模型2） 为湍动能比耗散率。此模式主要求解湍动能及它的比耗散率的对流输运方程。已经证明， 两方程模式在粘性子层比 模式模式有更好的数值稳定性。同时由于 在壁面处 较大，此模式不需要显式的壁面衰

9、减函数。雷诺应力的涡粘性方程 为涡粘性， 为流体密度， kk-k2 (/3) 2/3tijtijnnijijSSk t=/tkK和 的输运方程为各个参数为边界条件y1为离开避免第一个点的距离。()jttijijjjkku kSktxx 2()jttijijjjuStxxk539,0.5,0.5,Pr0.9940100t216k=0=10y和（ ）单方程涡粘系数输运模式（一方单方程涡粘系数输运模式（一方程模型）程模型）标准 模式是局部平衡模式，不能准确预测平均流动有剧烈变化的湍流，如流线曲率突然变化、分离流动以及有激波的可压缩湍流。既要保持涡粘模式的简单形式，又要考虑雷诺应力的松弛效应，Spal

10、art提出了单方程涡粘系数模式。仍然采用涡粘形式的雷诺应力公式，但是放弃 ，而直接导出涡粘的输运方程。对平均应变率表达式的平方求质点导数并代入雷诺应力输运方程，再加上雷诺应力输运方程的封闭模式，就能得到涡粘系数的封闭模式。常用的有Baldwin-Barth（BB）模式和Spalart-Allmaras（SA）模式。-k/2kCT涡粘模式的评价涡粘模式的评价涡粘模式在工程中应用比较方便，主要缺点是它的局部性（Spalart模式除外）。如果从雷诺应力输运方程出发，雷诺应力的历史效应就可以模拟，此封闭模式成为二阶矩模式。2阶矩模式的封闭式（阶矩模式的封闭式（RSM）脉动速度2阶矩的目的就是封闭以下雷

11、诺应力输运方程：待封闭项为 ， 和 。2阶矩模式分别封闭扩散、耗散和压强速度梯度相关项。ijijijkkCu uu uUtx ()ijijjjiiikjkkkjiPUuUupu uu uxxxx ()2ijijjijjiijkikijkkkkkDEp uu uup uuu u uxxxx ijijDijE雷诺应力再分配项的模式：b为无量纲化的雷诺应力偏张量：模式常数由典型湍流的实验结果确定如下：最后一项称为壁面项，只在极近壁处有较大贡献，通常忽略或者合并到其他项。12342()()3ijijijikijjkikmnmnijikjkjkklijC bC kSC k b Sb Sb SC k bb

12、 11()3ijijijijbu uu uk 12343.6,0.8,0.6,0.6CCCC雷诺应力耗散项的模式：在湍流统计方程的封闭模式中，湍流输运的耗散模式是最难建立的。耗散包括大涡耗散，小涡耗散，湍动能耗散的扩散项，湍动能耗散的耗散项和湍动能耗散的分子扩散项。目前常用各向同性的耗散模型。 。这是不得已而为之，但是目前还未提出工程中更实用、更好的耗散模式。23ijij雷诺应力扩散项的模式：扩散项包括3阶矩和压强脉动速度关联，一般情况，后者相对前者小得多，所以把其放在3阶项里一起处理。扩散项通常采用梯度形式封闭，简单的模型采用各向同性形式考虑各向异性还有其他推广形式。 是雷诺应力。模式常数

13、。22()()3jijjkijiikjkikijkskijkp uu up uku u uCxxxx ij0.11sC 2阶矩模式的评价包括了雷诺应力的发展过程，能很好的预测复杂湍流。近壁雷诺应力各向异性很强，各向同性的耗散模式有待改进。2阶矩模式的不足之处在近壁湍流，强旋转湍流中尤其突出。代数形式的代数形式的2阶矩模式（阶矩模式（ASM）雷诺应力输运局部平衡假定：不计雷诺应力质点导数，只有生成、耗散和再分配3项。Rodi提出代数应力模式（ASM），忽略雷诺应力沿平均轨迹的变化和扩散，得到雷诺应力的隐式代数方程。代入各项得实用公式：ASM模式和 模式一样是基于局部平衡假定，在这方面有同样的缺点。但ASM放弃了雷诺应力和平均切变率间各向同性的假定，因此在准平衡的三维定常湍流的预测比 模式要好，但在二维并没有比 模式有多大优势。0ijijijP 21222(1)()()033ijijijijkC PCu ukC Pk 关于湍流模式的综合评述关于湍流模式的综合评述湍流模式是目前预测复杂湍流的唯一工具。即使直接数值模拟复杂湍流成为现实，快速准确地预测湍流统计特性的模型仍