微积分无穷小量

1、第二章 极限与连续本章学习要求： 了解函数极限的概念，知道运用“”和 “X ”语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。第三节

2、 无穷小量、无穷大量一.无穷小量及其运算性质二. 无穷大量 简言之, 在某极限过程中, 以 0 为极限的量称该极限过程中的一个无穷小量.例1 . , 0 0,lim ) 1 (220是一个无穷小量时 xxxx . sin , 0 0,sinlim )2(0是一个无穷小量时xxxx . 1 , 0,1lim )3(是一个无穷小量时xxxx . cos , 2 0,coslim )4(2是一个无穷小量时xxxx 0,0 lim )5(在任何一个极限过程中, 常值函数 y = 0 均为无穷小量. , )0( 0 , 0使当若X , )| ( | 0 0时Xxxx | )(|xf , )( )( ,0

3、时当则称成立xxxxf . 为无穷小量分析 , | 0 , 0 , )(lim 00时当则若xxaxfxx , |0)( | |)(|axfaxf . )( , 0是一个无穷小量时即当axfxx , )( 0)( , )()( 0且则令xxxaxfx . )( )()(0 xxxaxf反之亦然. 由以上的分析, 你可得出 什么结论 ? 由此可看出, 寻找函数极限运算法则可归结为寻找无穷小量的运算法则. )(lim)(0axfxxx, )()(xaxf . )( , ( 0)( , 0 xxxx其中 同一个极限过程中的有限个无穷小量之和仍是一个无穷小量. 同一个极限过程中的有限个无穷小量之积仍为

4、无穷小量. 常数与无穷小量之积仍为无穷小量. 在某极限过程中, 以极限不为零的函数除无穷小量所得到商仍为一个无穷小量. 在某一极限过程中, 无穷小量与有界量之积仍是一个无穷小量.证明：在某极限过程中, 两个无穷小量之 和仍是一个无穷小量.证 , , 0则时的两个无穷小量为设xx , 0, 2 | , | 0 , 0101时当xx, 2 | , | 0 , 0202时当xx , | 0 , ,min 021有时则当取xx , 22 | | . , 0是一个无穷小量时即 xx 证明: 在某一极限过程中, 无穷小量与 有界量的积仍是一个无穷小量.证 , 0 0 , )( 10和即时的有界量是设Mxx

5、xf . | )(| , ),U( 10Mxfxx时使当 , 0 , 0 , )( 0)( 20使当则又设xxx . | )(| , | 020Mxxx时 , | 0 ,min 021时则当令xxMMxxfxxf | )(| )(| | )()(| . )()( , 0为无穷小量时故当xxfxx例2证0sin1limxxx证明) ( , 01 lim 无穷小量因为xx) ( , ),( 1 |sin|有界量xx . 0sin1lim xxx故有界量与无穷小量的乘积证明：在某极限过程中以极限不为零的函数 除无穷小量所得到商仍为一个无穷小量.证 . )( 0)( ; 0 , )(lim 00 xx

6、xaaxfxx设 , | 0 , 0 ,2| 000有时当则取xxa , 2| |)(|aaxf , ),U( |2 )(1 2| | )(| 00 xxaxfaxfa故 . )(1 , 0有界时即xfxx . 0)()(lim 0 xfxxx故(i) 一般说来,有界量的倒数不一定有界. 例如, f (x) = x, x(0, 1).(ii) 我们没有涉及两个无穷小量商的极限的 情形,因为它的情形较复杂,将在以后专 门讨论.： . ,3 , , , 0 ,223223的情况时可观察例如xxxxxxx 例3. 4lim 230 xxx求解 ) ( , 0lim 30无穷小量由于xx ) ( ,

7、4)4(lim20极限不为零xx . 04lim 230 xxx故 , | , 0 , 0有时当若XxXMMxf | )(| , )( ,记为时的无穷大量为则称成立xxf. )( )( )(limxxfxfx或 . )(lim ,)( 称为正无穷大量则换成xfMxfx . )(lim ,)( 称为负穷大量则换成xfMxfx例4, (i)2xy ,ln (iii)xy .lim2xx,lnlim0 xx.lnlimxx,tan (iv)xy ,tanlim2xx.tanlim2xx, (ii)3xy .lim3xx(iii), (iv) 自己画画图会更清楚.例5 ? )2( , 是否为无穷大量时

8、当nnxn解有时则当取 , , log 2NnMNMn |)2( | . )2(limlim nnnnx故 , 0M 2 |)2( | | Mxnnn要 , log2Mn 无穷大量是按绝对值定义的.例6无穷大量是否一定是无界量 ?在某极限过程中,无界量是否一定是无穷大量 ? . 2) 1( , , 0 ,2 , 0 , , 4 , 0 , 2 , 0 : ,nnxnxnnn例如 0 , , 的项使总有等于时当取多么大不论NnN |Mxn . , ,不是无穷大量时故当不成立nxn但该数列是无界的. 当 x 时, 函数 sinx、cosx, 是否为无穷大量 ？因为sinx、cosx 是有界函数,

9、所以在任何极限过程中它们都不是无穷大量. ( 无穷大量的倒数为无穷小量, x 0 )( 无穷小量的倒数为无穷大量, x 0 )则例7 . 0 ),( , 1)( xxxxf且设. 01lim ) 1 (xx.1lim )2(0 xx在某一极限过程中 请自己根据定义自已进行证明. , 0)( )( xfxf是一个无穷大量且若 . )(1 为无穷小量则xf , 0)( )( xfxf是一个无穷小量且若 . )(1 为无穷大量则xf ,)(lim xf若无穷大量一定是同一极限过程中的无界量.反之不真反之不真 . | )(|lim xf则在某极限过程中,两个无穷大量之积仍是一个无穷大量.在某极限过程中

10、, 无穷大量与有界量之和仍为无穷大量. , 0 , , 0 , 0 :nnyx , 8 , 6 , 4 , 2 :nnyx ,) 1( , , 4 , 3 2, , 1 :nxnn ,) 1( , , 4 , 3 2, , 1 :1nynn此时时显然 . , , ,nnyxn例8两个无穷大量的和是否仍为无穷大量?考察考察例9有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？ 不着急, 看个例题: , )( )(1xxxf 1, 1 | )(| , ) 1 | ( 2xxgxx时不妨设当 . )( 011)()( 21xxxxxgxf而 , )( )(32xxxf . )( 1)()(232xxxxxg

11、xf例9有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？ 不着急, 看个例题: , )( )(1xxxf 1, 1 | )(| , ) 1 | ( 2xxgxx时不妨设当 . )( 011)()( 21xxxxxgxf而 , )( )(32xxxf . )( 1)()(232xxxxxgxf不一定再是无穷大量.在某个极限过程中, 无穷大量一定是无界量, 但无界量不一定是无穷大量.两个无穷大量的和不一定是无穷大量. 无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量.设 , 是同一个极限过程中的两个无穷小量.则称 是 的若, 0lim记为. )(o高阶无穷小,此时, ,lim也可称 是 的低阶无穷小.若0limCC

12、，为常数,记为则称 与 是同阶无穷小,. )(O若0 , 0limkCCk，为常数,则称 为 的 k 阶无穷小, 记为. )(Ok . ,是同阶无穷小与此时k则称 是 的若, 1lim记为. 等阶无穷小,不存在, 但又不是无穷大,若lim则称 与 是不能比较的无穷小.x 0 时的几个无穷小量的比较：).0( )(o , 0lim ) 1 (220 xxxxxxxxxx2sinlim )2(0, 32limsinlim00 xxxxxx)O(2sinxxx)0( x例1xxx20sincos1lim )3(21sin2sin2lim22220 xxxxx)0( )(sinOcos1 2xxx1s

13、inlim )4(0 xxx)0( sin xxxxxx220sin2sin2lim)0 , 0( ln1 axaxax证明1ln1 lim 0axaxx即要证 , 1 xay令ayyxaln)1ln()1 (logaxaxxln1lim 0故)0( ln1 xaxax从而且时则 , 0 , 0 yx)1ln(lim0yyy1)1ln(1lim10yyy有何想法？例2证 ).0( )1ln( ,xxx得到由该例的证明过程 , 21cos1lim 20 xxx因为所以 1 cos x = O( x2 ) ( x 0 ) . )0( 21cos1 2xxx还有例3xxxxxx1sin lim1si

14、nlim 00 x 0 时,xx1sin不可比较的无穷小.不存在, 但不是无穷大, 与 x 是例4设在某一极限过程中, ) ( lim 或为若a . limlim 则, , 证综上所述, , lim 则设a , limlimlimlimlimlima , 0 , 0lim , lim 的情形即则设a . lim , 0lim 故于是 . limlim限过程中的第三个变量.z 是该极 设在某极限过程中, limlimzz( 或为 ), 则若, limaz zz lim lim，a由定理 1, 得0 1limz, 故 lim z = . 综上所述,设 则, limaz z limlim则设 ， 0

15、 1lim z, lim z . limlimzz证设在某极限过程中, , , 则 .传递性无穷小量可以用其等价无穷小量替代.定理告诉我们:在计算只含有乘、除法的极限时,例例 .21sintanlim 30 xxxx直接计算可得 如果在加减法中用等价无穷小量替代, 则会产生错误: . 0limsintanlim3030 xxxxxxxx ) .sin ;tan , 0 (xxxxx时将常用的等阶无穷小列举如下: xx sinxx tan2cos12xxxx )1ln( mxxm11211xx nxxn1)1 (xex1axaxln12sintan3xxx xx arcsinxx arctan.

16、 0 , , , aNnm其中 当 x 0 时xxx53lim053xxx5sin3tanlim0 xxx5sin3tanlim0求例5解xxx1sinlim2xxx1sinlim2求xxx1lim2xxlim例6解xxxxtansin21lnlim0 xxx21lim0 xxxxtansin21lnlim0求xxxtan)1ln(21lim0 xxxtansin2lim0 xxx2lim0212例7解3221lnlimxxx02limxx3221lnlimxxx求322limxxx例8解2)(cos2lim0 xbaebxx12)()(lim 210 xbaxbax。，babxaxeebxa

17、xxsinsinlim0求bxaxeebxaxxsinsinlim02)(sin2)(cos2) 1(lim)(0 xbaxbaeexbabxx2)(sin1lim)(0 xbaexbax 和差化积例9解 此题也可先在分子处加 1 减 1xbxaxnmx11lim0 xbxxaxnxmx11lim11lim00nbmaxbxnxaxmxx1lim1lim00 xbxaxnmx) 11() 11(lim0 xbxaxnmx11lim0求例10解证明：若在某极限过程中0, 0, . 0lim在某极限过程中, 若 , 则1limlim011lim1且 0, 则 的充要条件是例11证反之, , 0li

18、m 若则lim)(lim101lim1故. ? 55 , 0 332的几阶无穷小量是时当xxxx , 55 55333232xxxx由于 , 555lim55 lim330303232xxxxxx . 32 55 ,0 332阶无穷小量的是时故xxxx)O(5532332xxx例12解 )(limCxxfk解例13 . )122( lim xxxxx求 ,0 , ,1 于是时则令yxyxyyyy11221lim0原式yyyyy)11 (2121lim0yyyyyy11lim2121lim00 . 011解例14 . )2cos1cos(1lim 40 xxx求 ),0( 2cos1 2得由xx

19、x420402)2cos1 (lim )2cos1cos(1lim xxxxxx . 28)2(lim22)2(lim4404220 xxxxxx解例15 . )sin1 (lim cos1120 xxxxe求xxexexxxxxcos1)sin1ln(limexp)sin1 (lim 20cos1120 , )0( 2cos1 , )1ln( 2得由xxxxx220sin 2limexpxxexx . sinlim2lim exp22200exxexxx 也可再用等价无穷小替代 ?这样做行不行 .sin 0 , , 1sinlim 22220 xxexxxexxx时所以由于 )(1lim)s

20、in1 (lim cos1120cos1120 xxxxxxxe故 .)1 (lim22 202exxx) )0( ,21cos1 (2xxx请看下面的定理. , 等价无穷小量为某极限过程中的两个和设 ,)1lim( ,)(lim ,)(axx又在该极限过程中 .)1lim()1lim( )()(axx则有证证 )1lim()1ln()(lim)1ln(lim)()(xxeex )(lim)(limxxee )()1ln(lim)1ln()(limxeex .)1lim()(x ).1ln()1ln( , :则若还可得到等价无穷小 替代解例16 . )( )sin1 ()sin1 ()sin1)(sin1 (lim 132Nnxxxxnnx求 , )0( 11 故由于xmxxmxxxxxxnxsin1sin1sin1sin1sin1sin1lim32原式xxxxxxnxsin11) 1(sin1sin11) 1(sin1sin11) 1(sin1lim32 . ! 113121nn解例17 .coslncoslim 20 xxexx求)1(cos1ln(cos1)1(cos1ln(1lim20 xxxexx原式)1(cos1ln(cos1lim0 xxx)1(cos1ln(1lim20 xexx1coslim20 xxx1coscos1lim0 xxx.)1