正态分布的概率密度与分布函数

1、第四章 正态分布4.1 4.1 正态分布的概率密度与分布函正态分布的概率密度与分布函数数正态分布是最常见因而也是最重要的分布正态分布是最常见因而也是最重要的分布: :1. 很多随机现象可以用正态分布描述或近似描述；2. 在一定条件下，某些概率分布可以利用正态分布近似计算；3. 在非常一般的充分条件下， 大量独立随机变量的和近似地服从正态分布；4. 数理统计中的某些常用分布是由正态分布推导得到的.正态分布的概率密度函数正态分布的概率密度函数 . ),(2NX记为记为的的概概率率密密度度为为若若连连续续型型随随机机变变量量 X)(xf ,e21222)(x , x,)0(,为常数为常数其中其中 的

2、的服从参数为服从参数为则称则称X,正态分布正态分布或或高斯分布高斯分布. ,0)( xf显显然然.1d)( xxf下下面面来来证证明明,)(tx 令令得到得到 xexd21222)( ，tetd2122 ,d22teIt 记记2I uteutdd2)(22 则有则有利用极坐标将它化成累次积分利用极坐标将它化成累次积分, 得到得到 2I 2002dde2 rrr ，2,0 I而而,2故有故有I 即有即有 ttde22 ,2于是于是 xxde21222)( ttde2122 .1性质性质: .1对称对称曲线关于曲线关于 x,0 h这这表表明明对对于于任任意意有有 XhP .hXP 时取到最大值时取

3、到最大值当当 x2)( f .21 ;3处处曲曲线线有有拐拐点点在在 x;4轴为渐近线轴为渐近线曲线以曲线以 x.)(的的图图形形如如图图所所示示xf,5 如果固定如果固定,的值的值改变改变 Ox则则图图形形沿沿着着轴平移轴平移, 而不改变其形状而不改变其形状, 可见正态分布的概率密可见正态分布的概率密 .)(所所确确定定的的位位置置完完全全由由参参数数度度曲曲线线 xfy 称称 为位置参数为位置参数. ,6当固定当固定,的大小时的大小时改变改变 图图形形的的对对)(xf称轴不变称轴不变, 而形状在改变而形状在改变, ,越小越小图形越高越瘦图形越高越瘦, ,越大越大图形越矮越胖图形越矮越胖.

4、分分布布函函数数为为)(xF txutde21222)( ,0 当当.1服服从从标标准准正正态态分分布布时时称称 X ,)(),(表表示示分分别别用用其其概概率率密密度度和和分分布布函函数数xx 即有即有 )(x ,e2122x )(x .de2122txt 标准正态分布的图形标准正态分布的图形 证明证明 . )(1)(xx 证明证明 xxxde2122 )( x xxxde2122 xxde2122 ，xxxde2122 . )(1x 标准正态分布分布函数的性质标准正态分布分布函数的性质 ; 5 . 0)0( ; 1)( ).(1)(xx 例例11 设X服从标准正态分布, ) 1 ,0(N求

5、);96. 1() 1 (XP).5 . 26 . 1()2(XP解：解：)96. 1(XP)96. 1 (;975. 0)5 . 26 . 1(XP)6 . 1()5 . 2()6 . 1 (1 )5 . 2()6 . 1 (1)5 . 2(9452. 019938. 0.9390. 0) 1 ()2(正态分布概率的计算正态分布概率的计算 )(xFxXP ? 原函数不是原函数不是 初等函数初等函数 txtde21222)( 方法一方法一:利用利用MATLAB软件包计算软件包计算方法二方法二:转化为标准正态分布查表计算转化为标准正态分布查表计算定理定理 , ),(2 NX若若Z证证 的的分分布

6、布函函数数为为 XZxZP X . )1 , 0( N xXP xXP ，txtde21222)( ,ut 令令得得 则则 xZP uxude2122 )(x由此知由此知 XZ. )1 , 0( N, ,(21xx则对于任意区间则对于任意区间有有 21xXxP 21xXxP .12 xx 定理定理 , ),(2 NX设设例例2 设随机变量X服从正态分布, )2 ,1 (2N求概率).4 . 26 . 1(XP解：解：)4 . 26 . 1(XP)216 . 1()214 . 2()3 . 1()7 . 0()3 . 1 (1 )7 . 0()9032. 01 (7580. 0. 2166. 0

7、?01. 0,)2(165)1()cm:()6,170(2车门顶碰头的几率小于车门顶碰头的几率小于使男子与使男子与车门的高度车门的高度问应如何设计公共汽车问应如何设计公共汽车的比例；的比例；求成年男子身高大于求成年男子身高大于单位单位高高设某城市成年男子的身设某城市成年男子的身cmNX例例3 61701656170165XPXP)83. 0( .7967. 0 解（解（1）)83. 0(1 , )6 ,170()2(2NX由题设知由题设知1lXPlXP 617061701lXP)6170(1 l ,01. 0 .99. 0)6170( l 即即,33. 26170 l查表得查表得. )cm(9

8、8.183 l故故 例例4 设随机变量X服从正态分布, ),(2N在区间),(kk内的概率，这里.,3 ,2 ,1k解：解：)(kXP)(kXkP)()(kk)()(kk)(1 )(kk, 1)(2k.,3 ,2 ,1k求X落查附表2得)(XP1) 1 (2,6826. 0)2(XP1)2(2,9544. 0)3(XP1)3(2.9973. 0说明：若, ),(2NX则)3(XP)3(1XP9973. 010027. 0.003. 0由此可知X落在)3,3(之外的概率小于3， 根据小概率事件的实际不可能性原理， 通常把区间这一原理叫做“三倍标准差原理三倍标准差原理”).3(法则或可能的取值)3,3(看作是随机变量X的实际区间.1.正态分布),(2N的概率密度：,e21)(222)(xxf.x2.标准正态分布) 1 ,0(N的概率密度与分布函数：)(x,e2122x.x小小 结结.e21)(22dtxxt 若随机变量, ),2(2NX且