周期信号的连续时间傅里叶级数

1、傅里叶生平傅里叶生平 17681768年生于法国年生于法国 18071807年提出年提出“任何周期任何周期信号都可以用正弦函数信号都可以用正弦函数的级数来表示的级数来表示” 拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表 18221822年首次发表年首次发表“热的热的分析理论分析理论” 18291829年狄里赫利第一个年狄里赫利第一个给出收敛条件给出收敛条件176818301N 3N 7N 19N 4.2 三角形式傅里叶级数三角形式傅里叶级数 Gibbs现象现象! !100N 4.2 三角形式傅里叶级数三角形式傅里叶级数 傅里叶的两个最重要的贡献 “周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号周期信号都可以表示

2、为成谐波关系的正弦信号 的加权和的加权和” 傅里叶的第一个主要论点傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示示” 傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点4.2 三角形式傅里叶级数三角形式傅里叶级数 4.2 三角形式傅里叶级数三角形式傅里叶级数 将任意周期信号在将任意周期信号在三角函数三角函数或或复指数函数复指数函数组成的完备正交组成的完备正交函数集函数集 或或 内分解而得到的级数统称为内分解而得到的级数统称为傅里叶级数（傅里叶级数（FSFS）将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义意

3、义:1.1.从信号分析的角度从信号分析的角度 将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合, ,为不同为不同信号之间进行比较提供了途径。信号之间进行比较提供了途径。 2. 2.从系统分析角度从系统分析角度 已知单频正弦信号激励下的响应，利用叠加特性可求已知单频正弦信号激励下的响应，利用叠加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应；而且每个得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应；而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。0,0, 1, 2,.jnten 00sin,cos,0,1,2,.ntnt n将

4、任意一个周期信号表示成傅立叶级数具有如下一些显著优点：将任意一个周期信号表示成傅立叶级数具有如下一些显著优点： 三角函数和复指数函数是自然界中三角函数和复指数函数是自然界中最常见，最基本最常见，最基本的函数；的函数； 三角函数和复指数函数是简谐函数，用它们表示时间信号，三角函数和复指数函数是简谐函数，用它们表示时间信号，自然地建立起了时间和频率这两个基本物理量间的联系；自然地建立起了时间和频率这两个基本物理量间的联系； 简谐信号较其他信号更容易产生和处理；简谐信号较其他信号更容易产生和处理； 三角信号或复指数信号通过线性时不变系统后，仍为三角三角信号或复指数信号通过线性时不变系统后，仍为三角函

5、数和复指数函数，其函数和复指数函数，其频率不变频率不变，只是幅度和相位产生变，只是幅度和相位产生变化，同时，线性时不变系统对三角函数或复指数函数的响化，同时，线性时不变系统对三角函数或复指数函数的响应求解非常方便；应求解非常方便； 4.2 三角形式傅里叶级数三角形式傅里叶级数 许多系统的特性主要由其频域特性来描述，因此常常需要许多系统的特性主要由其频域特性来描述，因此常常需要关心的并不是这些系统的冲激响应，而是其冲激响应所对关心的并不是这些系统的冲激响应，而是其冲激响应所对应的频率特性；应的频率特性； 时域中的卷积运算在频域中会转化为乘积运算，从而找到时域中的卷积运算在频域中会转化为乘积运算，

6、从而找到了计算卷积的一种新方法，使时域中难于实现的卷积求解了计算卷积的一种新方法，使时域中难于实现的卷积求解便于实现。便于实现。4.2 三角形式傅里叶级数三角形式傅里叶级数 1,cos,cos2,.,sin,sin2,.tttt0000如何将任意一个周期信号在三角函数或复指数函数组成的如何将任意一个周期信号在三角函数或复指数函数组成的完备正交函数集分解得到傅立叶级数？完备正交函数集分解得到傅立叶级数？正交区间为（正交区间为（t0 , t0+T），），完备正交函数集：完备正交函数集：2T0=00sin,cos,0,1,2,.ntnt n傅里叶系数傅里叶系数0123123( )coscos2cos

7、3sinsin2sin3atatatatbtbtbtf0000002=+1.将一个周期为将一个周期为 T 的函数的函数 表示为这个正交函数集中各函数表示为这个正交函数集中各函数的线性组合：的线性组合：2T0=基波角频率基波角频率0001(cossin)2nnnaantbnt4.2 三角形式傅里叶级数三角形式傅里叶级数 ( ) tf2. 傅立叶系数：傅立叶系数：0002( )tTtaf t dtT直流系数直流系数余弦分量系数余弦分量系数正弦分量系数正弦分量系数0002( )costTntaf tntdtT0002( )sintTntbf tntdtTa0/2:直流直流分量分量nnnnbbaa是是

8、 n 的偶函数的偶函数是是 n 的奇函数的奇函数4.2 三角形式傅里叶级数三角形式傅里叶级数 3. 周期信号的另一种三角级数表示：周期信号的另一种三角级数表示：cossincos()nnnnantbntAnt000+=+直流直流分量分量基波分量基波分量（n =1的项）的项） 谐波分量谐波分量（n1）001( )cos()nnnf tAAnt00001=( )( )2tTtaAf t dtf tTnnnnAA是是 n 的偶函数的偶函数是是 n 的奇函数的奇函数4.2 三角形式傅里叶级数三角形式傅里叶级数 f (t) 为偶函数时的傅立叶级数为偶函数时的傅立叶级数22)(10TTdttfTa f (

9、 t ) = f ( t )20)(2TdttfT 偶函数的傅立叶级数只有直流分量和余弦分量，无正偶函数的傅立叶级数只有直流分量和余弦分量，无正弦分量。弦分量。2022( )cosTTnaf tntdtT02004( )cosTf tntdtT2022( )sinTTnbf tntdtT4.2 三角形式傅里叶级数三角形式傅里叶级数 f (t) 为奇函数时的傅立叶级数为奇函数时的傅立叶级数22)(10TTdttfTaf ( t ) = f ( t )00 奇函数的傅立叶级数只有正弦分量，无直流分量和奇函数的傅立叶级数只有正弦分量，无直流分量和余弦分量。余弦分量。2022( )cosTTnaf t

10、ntdtT2004( )sinTf tntdtT2022( )sinTTnbf tntdtT4.2 三角形式傅里叶级数三角形式傅里叶级数 例例： 求周期矩形脉冲的三角形式傅里叶级数展开式。求周期矩形脉冲的三角形式傅里叶级数展开式。000222( )ddTAaf ttA tTTT000000002221( )cosdcosdsinsinTnAaf tnt tAnt tAntnTTTnn 解：解：0000022( )sindsind(1 cos)TnAbf tnt tAnt tnTTn 00011000011( )cossin2sincos(1 cos)sinnnnnnnaf tantbntAAA

11、nntnntTnn 4.2 三角形式傅里叶级数三角形式傅里叶级数 正交区间为（正交区间为（t0 , t0+T），），完备正交函数集：完备正交函数集：02T=0,0, 1, 2,.jnten 0000221,.,.jtjtjtjteeee00002201212( ).jtjtjtjtf tFF eF eFeFe0( )jntnnf tF e 0000000*( )()()tTjnttntTjntjnttf tedtFeedt系数：系数：复振幅复振幅0001( )tTjnttf t edtT引入了负频率引入了负频率4.3 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 0001( )tTjntntFf

12、t edtT0001( )tTjntntFft edtT000*1( )()tTjnttftedtT f (t) 为实函数为实函数000*1( ) ()tTjnttftedtT000*1( )tTjnttft edtT*nFnnjnnjXReFFnnnnnFFnnnnXXRR4.3 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 0000000011jjjjj011( )cossin2eee-ee222jnnnnntntntntntnnnnnnaf tantbntaabF两种展开式的系数间的关系两种展开式的系数间的关系:一个周期信号既可展成三角形式一个周期信号既可展成三角形式傅立叶级数，同时也可展成

13、复指数形式的傅立叶级数，二傅立叶级数，同时也可展成复指数形式的傅立叶级数，二者之间存在着明确的关系（欧拉公式）者之间存在着明确的关系（欧拉公式）0002aFAj-j1je1, 2221+je1,222nnnnnnnnnAabnFAabn ， 3,， 3,负频率的理解：负频率的理解：00jj-j-j0eeeecos22nnntntnnnnAAAnt4.3 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 例例: 已知已知正弦信号正弦信号 ，求其傅里叶级数表示式求其傅里叶级数表示式。解解：直接：直接利用欧拉公式得到傅里叶级数表示式：利用欧拉公式得到傅里叶级数表示式：可以看出，上式中：可以看出，上式中：0(

14、 )sin()f tt00jj0eesin()2jttt1111,0,12j2jnFFFn 4.3 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 例例：求周期方波的复指数展开式。求周期方波的复指数展开式。111( )02tTf tTTt解：信号的基波周期是解：信号的基波周期是T T，基波频率是，基波频率是 02T111202211=ddTTTTTFttTTT当当 时时0n 10 10 1100011jjjjj20020 10 101112eeededej2j2sin()sin()TTnTnTTntntntTnTTFttTTnTnTnTnTnTn 4.3 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 例

15、例: 求周期冲激信号的指数形式傅立叶级数表示式求周期冲激信号的指数形式傅立叶级数表示式nTnTtt)()(n=0, 1, 2, .0 0 T T 2T2T-T-T-2T-2T3T3Tt t-3T-3TT(t)解：求系数：解：求系数：2021( )TTjntnTFt edtT0( )jntTnntF e则：02T2021( )TTjntt edtTT101jntneT01jntneT4.3 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 4.3.4 周期信号的频谱及其特点周期信号的频谱及其特点周期信号的两种展开式：周期信号的两种展开式：njnnFF e=njneA21 均为均为 的函数，的函数，nnA

16、、0n 分别组成分别组成 f(t) 的第的第 n 次谐波分量的次谐波分量的振幅和相位振幅和相位频谱图频谱图相位频谱相位频谱振幅频谱振幅频谱以振幅为纵坐标所画出的谱线图以振幅为纵坐标所画出的谱线图以相位为纵坐标所得到的谱线图以相位为纵坐标所得到的谱线图以以为横坐标为横坐标复振幅复振幅001( )cos()nnnf tAAnt0( )jntnnf tF e4.3 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 例例:( )1 3cos(10 )2cos(220 )0.4cos(345 )0.8cos(630 ),f ttttt 试画出试画出 f (t) 的振幅谱和相位谱。的振幅谱和相位谱。 解：解： 为

17、周期信号，题中所给的为周期信号，题中所给的 表达式可视表达式可视 的傅的傅里叶级数展开式。根据里叶级数展开式。根据 001( )cos()nnnf tAAnt可知，其基波频率：可知，其基波频率：(rad/s)，基本周期，基本周期T=2s，=2、3、 6 分别为二、分别为二、 三、六次谐波频率。三、六次谐波频率。4.3 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 ( )f t( )f t( )f t4 . 03A 453其余其余 0nA31A10A 00( )13 cos(10 )2 cos(220 )0.4 cos(345 )0.8 cos(630 ),f ttttt101 20222A8 .

18、06A 306单边单边频谱频谱4.3 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 1|2nnFAnnFFnn双边双边频谱频谱4.3 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 例例:试画如下周期信号的振幅谱和相位谱。试画如下周期信号的振幅谱和相位谱。000411( )cos()cos(3)cos(5)23252Af tttt解：其基波频率解：其基波频率 ，0分别有一、分别有一、 三、五三、五奇次谐波分量奇次谐波分量其余其余 0nA，AA41，00A， 0021，343AA 23振幅频谱振幅频谱相位频谱相位频谱3573537537537534.3 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 例：例：

19、周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号otT2T2TT222 TEf (t)22,222TttTt当当02T=0)(Etf000sin2( )2jntnnEf tenT 复系数复系数: :00sin22nEnT =002sin()2nEnT =0)2ESTna(=01( )jntnTFf t edtT0221jntE edtT002201()jnjnEeeTjn 4.3 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 Sa(x)2323x1o取样函数定义为：取样函数定义为： xxxSasin)( 偶函数偶函数x0时，时，Sa(x)=1当当x=k时，时，Sa(k)=0 4.3 指数形式的傅里叶级数指数形式的

20、傅里叶级数 因此：因此：可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即 由复振幅的表达式可知，频谱谱线顶点的连线所构成的包由复振幅的表达式可知，频谱谱线顶点的连线所构成的包络是络是 的形式的形式)(xSa02nnEFSaT 4.3 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 画周期矩形脉冲的频谱：画周期矩形脉冲的频谱：1. 1. 找出谐波次数为零的点（即包络与横轴的交点）找出谐波次数为零的点（即包络与横轴的交点）包络线方程为包络线方程为: :与横轴的交点由下式决定：与横轴的交点由下式决定：)3 , 2 , 1 (k6,4,20n离散自变量离散

21、自变量02nnEFSaT 02nk 02kn4.3 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 2. .确定各谐波分量的幅度确定各谐波分量的幅度当当002n =00n=即即为最大值为最大值nFET：基波分基波分量的幅度：量的幅度：二次谐波分二次谐波分量的幅度：量的幅度：02nnEFSaT 02ESaT 022ESaT 4.3 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 3. .相位的确定相位的确定njnneFF0nF当当 时：时：0nF当当 时：时：)sin(cosnnnjF是是 的实函数的实函数0nnnFcos0sin0cosnn0n0sin0cosnnn02nnEFSaT 4.3 指数形式的傅

22、里叶级数指数形式的傅里叶级数 是是 的偶函数的偶函数0nnF是是 的奇函数的奇函数0nn4.3 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 周期信号频谱的特点：周期信号频谱的特点：v离散性：离散性：v收敛性：收敛性：v谐波性：谐波性：由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱；每条谱线间的距离为此频谱称为不连续谱或离散谱；每条谱线间的距离为 02T=每一条谱线只能出现在基波频率每一条谱线只能出现在基波频率 的整数倍频率上，即含的整数倍频率上，即含有有 的各次谐波分量，而决不含有其他频率分量。的各次谐波分量，而

23、决不含有其他频率分量。00各次谐波分量的振幅虽然随各次谐波分量的振幅虽然随 的变化有起伏变化，但总的的变化有起伏变化，但总的趋势是随着趋势是随着 的增大而逐渐减小。的增大而逐渐减小。 当当 时，时，|Fn|0。 0n0n0n4.3 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 T相同，不同相同，不同值时周期矩形信号的频谱值时周期矩形信号的频谱4.3 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 02nnEFSaT 12.5T25T相同，不同相同，不同T值时周期矩形信号的频谱值时周期矩形信号的频谱4.3 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 02nnEFSaT 25T12.5T T 不变，不变， 不变：不变：0即谱线的疏密不变即谱线的疏密不变若若 ： 则则 收敛速度变慢，收敛速度变慢，nF幅度减小，幅度减小，包络零点间隔增大。包络零点间隔增大。 不变：不变：即谱线变密，即谱线变密，包络零点间隔不变。包络零点间隔不变。T若若 ：幅度减小，幅度减小， 当当 时：时：T谱线无限密集，谱线无限密集， 幅度趋于无穷小，幅度趋于无穷小，周期信号趋于非周期信号周期信号趋于非周期信号0连续谱连续谱4.3 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 信号的频带宽度与信号的持续时间成反比！信号的频带宽度与信号的持续时间成反比！周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线，周期矩形脉冲信