第四章质点动力学(功和能)

1、第四章第四章 功和能功和能一、功与功率：一、功与功率：力力 在位移在位移 上的功定义为：上的功定义为： FSMM SSFF cosFSA SF ab考虑自考虑自a b的过程，变力的过程，变力 的功的功 FiS rirr ir F当当 n 足够大时，有：足够大时，有： Si 近似为直线；近似为直线；iirS 每一个每一个Si 上，质点受力可看作恒力上，质点受力可看作恒力力力 在在Si 上的功可写为：上的功可写为： F将此过程细分为将此过程细分为n个小过程，任取第个小过程，任取第i个。个。 （恒力，直线运动（恒力，直线运动 ） iiirFA cos )(,iirF 当当 n 时，则为：时，则为：

2、cosddrFA rFd 力力 在位移元在位移元 上的上的 FrdrFAd d 则：自则：自a b的过程，的过程，： F baAAd barFd barFdcos (功的一般表达式功的一般表达式)在在Rt 坐标系中：坐标系中： kj yi xrkFjFiFFzzyxdddd bazyxz)FyFx(FAdddabiS rirr ir F 自自a b的过程，变力的过程，变力 的功为：的功为： F baAAd barFd 从功的定义式看：从功的定义式看：；功是过程量，与运动路径有关。功是过程量，与运动路径有关。 功是标量。功是标量。 功的大小可以用图表示功的大小可以用图表示 Fr 曲线下的面积曲线

3、下的面积物体同时受物体同时受的作用的作用nFFF,21 BArFAd BAnrFFFd)(21 BAnBABArFrFrFddd21nAAA 21 iA平均功率：平均功率：tAP （瞬时）功率：（瞬时）功率：tAPt lim0tAdd trFPdd VF rFAdd 恒力恒力 baAAd barFd barFdcos 二、几种常见力的功：二、几种常见力的功：xyzoab1h2hjmgG 自自a 至至b 重力所作功：重力所作功： barGAdz)GyGx(Gzybaxddd ymgd 21hh)(21hhmg 可见：可见：重力做功只与始末位置有关，而与做功路径无关。重力做功只与始末位置有关，而与

4、做功路径无关。mgMmabrM 对对m 的引力为：的引力为：rrGmMF3 自自a 至至b 引力所作功：引力所作功： barFAd barrrGmMd32rrr 微微分分rrrr dd左左rrd2 rrd2 右右 rrrrdd barrrGmMAd3arbr barrrrGmMd2)11(abrrGmM 可见：可见：万有引力做功只与始末位置有关，而与做功路径无关。万有引力做功只与始末位置有关，而与做功路径无关。Fabox1x2xFx自自a 至至b过程中，过程中，弹性力：弹性力：ikxF 质点的位矢：质点的位矢：i xr ixrdd 自自a 至至b 弹性力所作功：弹性力所作功： barFAd b

5、ai xikxd 21dxxxkx)(212221xxk 可见：可见：弹性力做功只与始末位置有关，而与做功路径无关。弹性力做功只与始末位置有关，而与做功路径无关。三、保守力：三、保守力：作功时只与运动的始末位置有关而与运动路径无关的力。作功时只与运动的始末位置有关而与运动路径无关的力。包括：包括： 重力、弹性力、万有引力、库仑力。重力、弹性力、万有引力、库仑力。 rFd四、势能：四、势能：与质点位置有关的能量即为势能与质点位置有关的能量即为势能Ep。重力势能：重力势能：mghEp 弹性势能：弹性势能：221kxEp 引力势能：引力势能：rmMGEp 重力功重力功 )(21hhmgA 引力功引力

6、功 )11(abrrGmMA 弹性力功弹性力功 )(212221xxkA 0 L 机械能机械能 E = Ep + Ek 。 且各量均为状态的函数，且各量均为状态的函数， 即：状态量。即：状态量。 势能属于整个保守力产生的系统。势能属于整个保守力产生的系统。 势能是一个相对的量，与势能零点的选取有关。势能是一个相对的量，与势能零点的选取有关。通常：通常： 重力势能取地面为势能零点；重力势能取地面为势能零点；引力势能取引力势能取 r为势能零点；为势能零点；弹性势能取弹性势能取 x=0 为势能零点。为势能零点。 空间位置空间位置fEp 故可作出曲线：故可作出曲线：Eph， Epx， Epr， 统称势

7、能曲线。统称势能曲线。重力势能：重力势能：mghEp 弹性势能：弹性势能：221kxEp 引力势能：引力势能：rmMGEp pEh)(hfEp x)(xfEp r)(rfEp 则保守力为：则保守力为：)(kzEjyEixEFppp pEgrad 微分关系：微分关系：zzEyyExxEEppppdddd zFyFxFrFAzyxddddd pEAdd 又有：又有： xEFpx yEFpy zEFpz 积分关系：积分关系：pEA )(12ppEE pEkzjyix )111(五、动能定理：五、动能定理：kEA ab1V2VFrd barFAd barFdcos 自然坐标系中：自然坐标系中： FF

8、cos ma牛二牛二tVmdd bartVmAddd VmVd 21VV21222121mVmV 12kkEE kE 说明：说明：1、A为为合外力合外力的功。的功。2、动能定理为一过程规律。、动能定理为一过程规律。反映的实质：反映的实质：过程量过程量=状态量的增量状态量的增量3、适用于惯性系。、适用于惯性系。自自a 至至b 的过程中，合外力的过程中，合外力 的功为：的功为：FkEA 系统系统外界外界 i合内力合内力合外力合外力第第i 个质点有：个质点有：ikikiiEEAA0 外外内内对组成系统的全部对组成系统的全部n个质点有：个质点有： ikikiiEEAA0外外内内表示为：表示为：kkkE

9、EEAA 0外外内内kEAA 外外内内六、功能原理：六、功能原理：非非保保内内保保内内内内AAA kEAAA 外外非非保保内内保保内内pEA 保内保内)(0ppEE )()(00pkpkEEEEAA 非非保保内内外外0EE E EAA 非非保保内内外外系统的功能原理系统的功能原理0kkEE 七、机械能守恒：七、机械能守恒：EAA 非非保保内内外外0 非保内非保内外外若：若：AA0 E即：即：E=E 00 非保内非保内外外若：若：AA八、说明：八、说明：1 功能原理与质点系动能定理没有本质区别。功能原理与质点系动能定理没有本质区别。2 功能原理、机械能守恒是过程规律，属于系统。功能原理、机械能守

10、恒是过程规律，属于系统。3 适用于惯性系适用于惯性系4 一般解题步骤：一般解题步骤： 选系统、分过程及每一过程的始末态选系统、分过程及每一过程的始末态 进行受力分析进行受力分析外力外力内力内力保守内力保守内力非保守内力非保守内力 计算：计算：A外外+A非保内非保内0功能原理功能原理A外外+A非保内非保内= 0机械能守恒机械能守恒例例1：如图，用一弹簧把两块质量分别为：如图，用一弹簧把两块质量分别为m1和和m2的板连接起来。的板连接起来。问问 ：在板：在板m1上需加多大的压力以使力停止作用后，恰能使上需加多大的压力以使力停止作用后，恰能使m1 在跳起来时在跳起来时m2稍被提起？设弹簧的质量略去不

11、计。稍被提起？设弹簧的质量略去不计。m1m2解：解： 全过程可分为图示状态及分过程，全过程可分为图示状态及分过程，Am1x0Bm1FCx1m1Dx2最后一个过程中最后一个过程中m2受力如图受力如图.m2gf=kx2N0设弹簧原长时为零势能位。设弹簧原长时为零势能位。Ep=0则各过程分别有：则各过程分别有：A：弹簧原长，零势能。：弹簧原长，零势能。CD过程：过程：机械能守恒机械能守恒D：01B :kxgm 11C :kxFgm 212111C)(kxgxmE 222121DkxgxmE DCEE 022 kxgmNgmmF)(21 解：解：j tbi tar sincos)1( tbytax s

12、in cos cos sintbVtaVyx A(a,0)点：点：cos t=1 1 , sin t=02222212121 mbmVmVEyxkA 例例2: 一质量为一质量为m的质点，在的质点，在xoy平面上运动。平面上运动。其位置矢量为：其位置矢量为：其中其中a , b , 为正值常数，为正值常数，a b 。(1)求质点在求质点在A (a,0)点和点和B(0,b)点时的动能。点时的动能。(2)求质点所受的作用力以及当质点从求质点所受的作用力以及当质点从A运动到运动到B的过程的过程 中分力中分力 、 所做的功。所做的功。j tbi tar sincos xFyFB(0,b)点：点：cos t

13、=0 sin t=12222212121 mamVmVEyxkB cos sintbVtaVyx jmaimaFyx (2) 求质点所受的作用力以及当质点从求质点所受的作用力以及当质点从A运动到运动到B的过程中分力的过程中分力 及及 所做的功。所做的功。 A (a,0); B(0,b)xFyFtbataayx sincos22 j tmbi tma sincos22 2202021dcosd maxtmaxFAaaxx 2202021dsind mbytmbyFAbbyy 例例3. 一链条总长为一链条总长为l，质量为，质量为m 。放在桌面上并使其一部分下垂，。放在桌面上并使其一部分下垂， 下垂的长度为下垂的长度为a. 设链条与桌面的滑动摩擦系数为设链条与桌面的滑动摩擦系数为 ，令链条从，令链条从 静止开始运动，则：静止开始运动，则：在链条滑离桌面的过程中在链条滑离桌面的过程中, 摩擦力对链条做了多少功摩擦力对链条做了多少功?(1) 链条离开桌面时的速率是多少？链条离开桌面时的速率是多少？a l a xO解：解：(1)建坐标系如图建坐标系如图注意：注意：摩擦力作负功！摩擦力作负功！lxlmgf lalafxxllmgrfAd)(d 22)(2)21( allmgxlxlmgla 当链条下垂当链条下垂x时所受的摩擦力大小为：时所