气体动力学讲义(冯喜平编)(修改版)

1、I气体动力学气体动力学多维流动基础多维流动基础冯喜平编冯喜平编西北工业大学二一二年三月II气体动力学气体动力学多维流动基础多维流动基础.I第一章第一章 基础知识（场论概要）基础知识（场论概要）.11.1 矢量代数.1一、矢量概念1二、矢量的加法、减法2三、矢量与数量的乘法3四、矢量的数量级（矢量的点积ba）4五、矢量的矢量积（矢量的叉积ba）5六、三个矢量的混合积7七、三个矢量的混合积81.2 矢量分析.11一、矢性函数11二、矢性函数的导数和微分13三、矢性函数的积分181.3 场论.19一、 场的概念19二、数量场的方向导数和梯度22三、矢量场的通量和散度25四、矢量场的环量和旋度291.

2、4 哈密顿算子的运算规则.331.5 曲线坐标系概念.401. 曲线坐标的概念402. 坐标曲线的弧微分433. 正交曲线坐标系中的梯度、散度、旋度及调和量的表达式 444. 柱坐标系中的梯度、散度、旋度及调和量的表达式 495. 球坐标系中的梯度、散度、旋度及调和量的表达式 506.基矢量321e ,e ,e的导数公式51第二章第二章 可压缩流体流动的控制方程可压缩流体流动的控制方程.52III2.1 第二章的运算符号.522.2 引言 .532.3 连续介质的数学描述.54一、系统，控制体和控制面54二、外延和内涵参数56三、参数场56四、系统或拉格朗日法57五、控制体或欧拉法58六、实质

3、导数592.4 加速度表达式.61一、加速度在直角坐标系中的表达式61二、流体加速度在圆柱坐标系中的表达式642.5 流体微团运动的分解定理.692.6 系统和控制体之间的关系.762.7 连续方程.812.8 动量方程.862.9 动量方程.922.10 熵方程.982.11 小结 .99习 题 .100第三章第三章 无粘性可压缩流体定常多维绝热流动的一般特征无粘性可压缩流体定常多维绝热流动的一般特征.1023.1 第三章的运算符号.1023.2 引言.1023.3 关于可压缩流体定常多维绝热无粘性流动的控制微分方程 .103一、笛卡尔坐标系104IV二、圆柱坐标系1053.4 流线、轨迹、

4、流体线和流管.1153.5 环量、旋转和旋度.120一、环量120二、旋转121三、旋度和涡管1243.6 对于可压缩流体定常绝热无粘性流动的欧拉动量方程.128一、沿流线的定常运动129二、定常无旋流动1303.7 KELVIN定理.1303.8 CROCCO定理.1323.9 HELMHOLTZ定理.1363.10 可压缩流体定常无粘性流动的热力学 .139一、状态方程140二、音速方程1413.11 速度势函数.142一、速度势函数的定义142二、利用的运动方程1433.12 流函数.148一、流函数的定义148二、流函数的物理解释150三、速度势函数与流函数的关系1513.13 几种简

5、单的势流及其叠加.154一、匀直流154二、点源155三、偶极子156四、点涡158五、匀直流加点源159六、匀直流加偶极子161V七、匀直流加偶极子加点涡1633.14 小结.166习 题.171第四章第四章 固体火箭发动机的流动方程固体火箭发动机的流动方程.1744.1 引言.1744.2 喷管纯气相流动方程.1744.3 燃烧室纯气相流动方程.1784.4 二相流的概念.1824.5 燃烧室和喷管中的二相流动方程 .185一、燃烧室中的一维非定常二相流动方程185二、喷管中轴对称二相流动方程1874.6 方程的守恒型式.1904.7 方程的张量表示式.193一、应力张量与应变率张量的关系

6、193二、关于张量的粗浅概念197三、方程的张量表示形式1991第一章第一章 基础知识（场论概要）基础知识（场论概要）矢量代数、矢量分析和场论是多维气体力学的基础知识，同时也是研究其他许多学科的有用工具。本章根据多维气体力学学习要求，简要地介绍矢量代数、矢量分析和场论方面的基础知识，并且着眼于工程应用，不拘泥于严格的数学推导。1.1 矢量代数矢量代数一、一、 矢量概念矢量概念（1）矢量的定义在研究力学、物理学和其他应用科学时，通常会遇到这样一类量，它们既有大小，又有方向，这一类量称为矢量矢量。例如：力、力矩、速度、加速度、动量等等。（2）矢量的表达方法在数学上，用有向线段表示矢量。有向线段的长

7、度表示矢量的大小，有向线段的方向表示矢量的方向。以1M为起点，2M为终点的的有向线段所表示的矢量矢量，记为21MM（图 1-1） 。有时经常用粗体字母或用加上箭头的小写字母表示矢量。例如：a，M，v，F 或，M，v，F等等。直角坐标系中矢量的分解表达式为：k kj j)()()(12121221xxxxxxMMi。直角坐标系中矢量的坐标表达式为：zyxaaaMM,21。其中：),(111zyx，),(222zyx分别是直角坐标系中起点1M和终点2M的坐标。 zyxaaa,分别是直角坐标系中矢量21MM在三个坐标轴的投影（3）矢量的模矢量的大小称为矢量的模模。矢量21MM，a a，a记为21MM

8、， a a，a。（4）单位矢量模等于 1 的矢量称为单位矢量单位矢量。模等于 0 的矢量称为零矢量零矢量。零矢量用 0 或0表示。（5）矢径M1M2图 1-12如果矢量的起点位于坐标原点O，终点为M，则该矢量OM称为点M对点O矢径矢径，常用粗体字 r r 表示。直角坐标系中矢径的分解表达式为：k kj jzyxMM i21。直角坐标系中矢径的坐标表达式为：zyxOM,。由于矢径的起点位于坐标原点，因此矢径的坐标和其终点坐标一致。（6）矢量的模与方向余弦的坐标表达式二、二、 矢量的加法、减法矢量的加法、减法定义和运算法则定义和运算法则根据力学实验结果，两力合力的计算按照平行四边形法则。对于速度、

9、加速度也有相同的结果。对矢量的减法规定如下：设矢量OAa，OBb，以OA和OB为边作一平行四边形OACB，取对角线OC，它表示一矢量，记为OBc（图 1-2） ，称矢量c为矢量a和矢量b的和，记为：bac。这种用平行四边形对角线矢量规定两矢量和的方法称为矢量加法的平行四边形法则平行四边形法则。和(或合成)是矢量c，它是把矢量b的起点放置在矢量a的终点处，再连接矢量a的起点到矢量b的终点而得到，这一方法称为矢量加法的三角形形法则三角形形法则。CCBOc=a+bbcaA图 1-2图 1-3AOba3矢量b是和b矢量大小相等方向相反的矢量，矢量a与b的差可以看成矢量a与b的和。)( babac矢量的

10、加法、减法的运算规律矢量的加法、减法的运算规律矢量的加法、减法矢量符合下列运算法则（1）交换律 abba（2）结合律 )()(cbacbacba利用矢量坐标，可得矢量的加法、减法以及矢量与数量乘积的运算法则。设 zyxaaa,a，zyxbbb,b，即 zyxaaiaa，zyxbbbb，有 )()()(zzyyxxbabaibaba)()()(zzyyxxbabaibaba)()()(zyxaaiaa结论：矢量的加法、减法以及矢量与数量乘积，只需对矢量的各个坐标分别进行运算。结论：矢量的加法、减法以及矢量与数量乘积，只需对矢量的各个坐标分别进行运算。三、三、 矢量与数量的乘法矢量与数量的乘法设是

11、一数量，a是一矢量。矢量a与数量乘积乘积a规定为：当0时，a表示一个矢量，它的方向和a相同，模aa；Cc=a+bb图 1-2图 1-3AOba-b4当0时，表示一个零矢量，0a；当0时，a表示一个矢量，它的方向和a相反，模aa。运算规律矢量与数量的乘法符合下列运算法则(1) 结合律 )()()(aaa(2) 分配律 aaa)(图 1-4例题四、四、 矢量的数量级（矢量的点积矢量的数量级（矢量的点积ba）1.1. 定义定义设有矢量a和矢量b，夹角为，其数量积c定义为这两个矢量的模与其夹角余弦的乘积。即 cosbbacosbbcaaa,（1.1.1）2.2. 矢量点积的坐标表示法矢量点积的坐标表示

12、法在直角坐标系中，设zyxaaa,a，zyxbbb,b，则 zzyyxxzyxzyxbabababbbaaabc,a（1.1.2）iizyxaaaaa222aa（1.1.3）3.3. 点积的运算规则点积的运算规则符合交换律 abba符合分配律 cabacba符合规则 mbabmabambam54.4. 应用应用（1） 求解某个方向分矢量已知一个方向动量方程，计算另一个方向动量方程时，可用前一个方向动量方程和后一个方向矢量的数量积。（2） 计算通过一曲面的流体流率例例 1 1 设有一曲面，通过曲面的流体的速度为V，求通过曲面的流体流量？解： 在曲面上取微元面（如图 1-4 所示）矢量ndAAd，

13、n为微元面法矢量，V和n夹角为，则通过微元面的流体体积流率为速度矢量和微元面法矢量的数量积，为cosVdAAdVmd 利用曲面积分概念，则通过曲面的流体流量为dAVAdVmdmcos五、五、 矢量的矢量积（矢量的叉积矢量的矢量积（矢量的叉积ba）1.1. 定义定义矢量a和b的叉积是一个矢量。所以又称为矢量积，记为cba。叉积c的大小规定为矢量a与b的大小同它们的夹角正弦的乘积；方向垂直a与b所在的平面，且使cba、形成一个右手系（a至b以最短途径绕矢量c） 。baba,absin（1.1.4）这是以ba,为邻边的平行四边形的面积。见下图所示。bacbabacba 2.2. 叉积的运算规则叉积的

14、运算规则6 交换律不成立 abba 而是 abba 符合分配律 cabacba 数乘两矢量的叉积，具有如下的性质： mmmmbabababa由叉积的定义及运算规则可得如下的关系 0332211eeeeee或 0iiee ;213132321eeeeeeeee若a和b不是零矢量，且0ba，则a平行于b。两矢量和的叉积ijjijiabbabaljkijikiljjiljjkiinmnmnm111111（1.1.5）3.3. 矢量叉积及其分量之间的关系矢量叉积及其分量之间的关系在给定的坐标系中，设,321321bbbaaaba则 321321321eeeeeeeeeba122131132332321

15、321bababababababbbaaa或321321bbbaaa321eeeba（1.1.6）4.4. 两矢量共线（或平行）条件两矢量共线（或平行）条件若,/ba则0ba，即ba的三个分量全为零。其式为7 221112213311311333222332000babababababababababababa所以332211bababa （对应分量成正比例）（1.1.7）（2.8）式就是用分量表示的两矢量共线或平行的条件。六、六、 三个矢量的混合积三个矢量的混合积三个矢量ba、和c的点乘和叉乘，可以组成三种形式的乘积：cbacba、和cba。因为ba得一数量，cba为数乘矢量c，其性质已在1

16、.2 中讨论过。这里不再重述。下面讨论其余两种形式乘积的性质。 cba因为cb得一矢量，a与cb的点积为数量，因此乘积cba称为数量三重积或框积，也称为混合积。如右图所示，n为以b和c为邻边的平行四边形的法向单位矢量，方向与cb相同。cb的模bcsin等于该平行四边形的面积。所以 、cbcbnacbah可见，三矢量的混合积是一个数量，其绝对值等于以ba,和c为棱的平行六面体的体积。若a与cb不在由b和c确定的平面的同一侧，则cbana, 0，得到负值。但是以矢量cba、为棱的平行六面体的体积V本身不会是负值，因此 h c n b a cb 8Vcba（1.1.8）如果矢量cba、表示为 321

17、321321eeeceeebeeea321321321cccbbbaaa可得 321321321122133113223321321321cccbbbaaacbcbacbcbacbcbacccbbb321eeeacba（1.1.9）根据行列式的性质，三矢量的混合积有下述性质：按顺序轮换三矢量混合积的三个因子，其积不变；对调两个相邻的因子，要改变乘积的符号。即abccabbcabacacbcba若0V表示cba、共面。因此三矢量共面的条件为 0cba（1.1.10）只要cba、中任意两个矢量共线， （1.1.10）式都成立。七、七、 三个矢量的混合积三个矢量的混合积cba乘积cba为一矢量，故称

18、它为矢量三重积。矢量cba垂直于cb，而cb又垂直于cb、确定的平面，因此矢量cba在cb、确定的平面上且垂 a c b cba c cb 9直于a（如右图所示） 。因此根据（1.2）式，cba可以写成b和c的线性组合：cbcbarq （1.1.11）此处rq、为两个待定的实数。在cb、确定的平面内作矢量c，使cc ，并使、cbcc组成一个右手系。对方程（1.1.11）的两边点乘矢量c，得 cbccbaq （1.1.12）根据三矢量混合积的轮换法，得 accbccba因为矢量cbcc、互相垂直，且组成右手系，所以乘积ccb的方向必须与矢量c同方向。矢量cb的大小为cb,bcsin，又因为矢量c

19、b与c垂直，所以乘积ccb的大小为 cbcbcbccb,90,cosccbsinccbsincbsinc 因此 cbccbcccb,coscb cbacaccb由三矢量混合积的轮换法，得cbcacbacccba代回（1.1.12）式，只要0cb，得 cbqcbca 所以 （1.1.13）Q=AC将（1.1.13）式代入（1.1.11）式，得rcbcacba10用矢量a点乘等号两边，因为矢量cba与a是垂直的，所以0cbaa0carbacabar将上式代入（1.1.11）式，最后得 cbabcacba（1.1.14）同理 acbcabacb（1.1.15） bacabcbac（1.1.16）这些

20、都是矢量三重积的重要关系式。若将上述三式相加，则得到一恒等式 0bacacbcba（1.1.17）从（1.1.14）（1.1.16）式，可以明显看出 cbacba 即，三个矢量的乘积不符合结合律。111.2 矢量分析矢量分析本节学习矢性函数及其微积分，其在工程数学中被称为矢量分析，是矢量代数知识的深入和延续。一、矢性函数一、矢性函数1. 矢性函数的概念矢性函数的概念在矢量代数中，模和方向都保持不变的矢量称为常矢量常矢量；模和方向或其中之一改变的矢量称为变矢量变矢量。变矢量可以以函数形式出现，其应具备函数具有的连续、极限、微分、积分等特征。定义：定义：设有变矢A和数性变量t，如果t在某个范围G内

21、取一定值，A总有一确定值和它对应，则称A为数性变量t的矢性函数矢性函数，记为 ( )AA t（1.2.1）并称G为函数A的定义域定义域。表达形式：表达形式：矢性函数A(t)在Oxyz直角坐标系中的表示式为 A=AAAxyzijk (1.2.2)显然，三个坐标系分量应为t的函数：A ( )xt，A ( )yt，A ( )zt其中i,j,k为沿x,y,z三个坐标轴正向的单位矢量。可见，一个矢性函数和三个有序的数性函数构成一一对应的关系。2.2. 矢端曲线矢端曲线定义：定义：如图所示，将A(t)的起点作为坐标原点，此时，A(t)变为矢径r。当t变化时，矢量A(t)的终点M就描绘出一条曲线l，称此曲线

22、为矢性函数的矢端曲矢端曲线线，亦称矢性函数A(t)的图形图形，同时称（1.2.1）或（1.2.2）为此曲线的矢量方程矢量方程。矢径: OM,用r表示：12lrOMxiyjzk对应的曲线l的以t为参数的参数方程参数方程A ( ),A ( ),A ( )xyzxtytzt （1.2.3）容易看出，曲线l的矢量方程（1.2.2）和参数方程（1.2.3）之间有着明显的一一对应关系，知道其一，就可以计算出另一个。3.3. 矢性函数的极限和连续性矢性函数的极限和连续性（1）矢性函数极限的定义：矢性函数极限的定义： 设矢性函数A(t)在点0t的某个邻域内有定义，对于给定的任意正数，总存在一个正数，使得满足0

23、0tt的一切t，对应的A(t)满足 0tAA则称0A为矢性函数A(t)当0tt时代极限极限，记作 00limtttAA （1.2.4）矢性函数的一些运算法则： 000limtlimlimtttttttu t Au tA （1.2.5） 000limttlimtlimtttttttABAB （1.2.6） 000limttlimtlimtttttttABAB （1.2.7） 000limttlimtlimtttttttABAB （1.2.8）其中 u t为数性函数， t ,tAB为矢性函数；且当0tt时， ,t ,tu tAB均有极限存在。（2）矢性函数连续性的定义：矢性函数连续性的定义： 若矢

24、性函数A(t)在点0t的某个邻域内有定义，而且有13 00limttttAA （1.2.9）则称A(t) 在0tt处连续。容易看出：矢性函数A(t)在点0t处连续的充要条件是它的三个坐标函数A ( )xt，A ( )yt，A ( )zt都在0t处连续。若矢性函数A(t)在某个区间内的每一点处都连续，则称它在该区间连续在该区间连续。二、二、矢性函数的导数和微分矢性函数的导数和微分1.1. 矢性函数的导数矢性函数的导数如图所示，设有起点在o点的矢性函数 tA ，当数性变量t在其定义域内从t变到0ttt 时，对应的矢量分别为 tAOM；A ttON 则 tA ttAMN 其叫做矢性函数 tA的增量，

25、记作A，即 tAA ttA （1.2.10）定义定义 设矢性函数 tA在点t的某一邻域内有定义， tA对应于t的增量A与t之比为 tA ttAAtt 在0t 时，如果其极限存在，则称此极限为矢性函数 tA在点t处的导数导数（简14称导矢导矢） ，记作dAdt或 A t ，即 00tlimlimttA ttAdAAdttt （1.2.11）若 tA由坐标式给出： tA ( )A ( )A ( )xyzAt it jt k且函数A ( ),A ( ),A ( )xyzttt在点t可导，则有0000limlimlimlimyxzttttAAAdAAijkdttttt yxzdAdAdAijkdtdt

26、dt即 A ( )A ( )A ( )xyzA tt it jt k （1.2.12）可见，对矢性函数的导数归结为三个数性函数的求导。2.2. 导矢的几何意义导矢的几何意义如图，l为 tA的矢端曲线，At是在l的割线MN上的一个矢量。当0t 时，其指向与A一致，即指向对应t值增大的一方；当0t 时，其指向与A相反，如图，但此时A指向对应t值减少的一方，从而At仍指向对应t值增大的一方。在0t 时，由于割线MN绕点M转动，且一点M处的切线为其极限位置。此15时，在割线上的矢量At的极限位置，自然也就在此切线上，这就是说，导矢 0limtAA tt 当其部位零时，是在点M处的切线上，且由上述可知，

27、其方向恒指向对应t值增大的一方，故导矢在几何上为一矢端曲线的切向矢量，指向对应t值增大的一方。3.3. 矢性函数的微分矢性函数的微分（1）微分的概念与几何意义设有矢性函数 tA，我们把 dAA t dt dtt （1.2.13）称为矢性函数 tA在t处的微分。由于微分dA是导矢 A t与增量t的乘积，所以它是一个矢量，在点M处与 tA的矢端曲线l相切，但其指向：当0dt时，与 A t的方向一致；而当0dt时，则与 A t的方向相反。如图，微分dA的坐标表示式，可由（2.3）式求得，即 dAA t dtA ( )A ( )A ( )xyzt dtit dtjt dtk或XYZdAdA idA j

28、dA k （1.2.14）16（2）drds的几何意义如果我们把矢性函数 A tAtAtAtxyzijk看作其终点( , )M x y z的矢径函数rxiyjzk这里 At ,At ,Atxyzxyz，则（2.5）式又可以写为drdxidyjdzk （1.2.15）其模222drdxdydz（1.2.16）若在l上取定一点0M作为计算弧长s的起点，并以l之正向（即t值增大的方向）作为s增大的方向，则在l上任一点M处，弧长的微分是222dsdxdydz 按下述办法取右端符号：以点M为界，当ds位于s增大的一方时取正号；反之取负号，如图由此可见drds（1.2.17）就是说，矢性函数的微分的模等于

29、弧微分的绝对值，从而由drdrdrdsdsdsds有171drdrdsds（1.2.18）再结合导矢的几何意义，便知：矢性函数对（其矢端曲线的）弧长s的导数drds在几何上为一切向单位矢量，恒指向s增大的一方。（3）矢性函数的导数公式设矢性函数 ,AA tBB t及数性函数 uu t在t的某个范围内可导，则下列公式在该范围内成立（1）0dCdt（C为常矢） ；（2）ddAdBABdtdtdt；（3）ddAkAkdtdt（k为常数） ；（4）()ddudAuAAudtdtdt；（5）ddBdAABABdtdtdt特例：22ddAAAdtdt（其中2AAA）（6）ddBdAABABdtdtdt（7

30、）复合函数求导公式：若 ,AA u uu t，则dAdA dudtdu dt三、矢性函数的积分三、矢性函数的积分矢性函数的积分和数性函数的积分类似，也有不定积分和定积分两种，现分述于下：1.1.矢性函数的不定积分矢性函数的不定积分18定义定义 若在t的某个区间I上，有 B tA t，则称 B t为 A t在此区间上的一个原函数原函数，在区间I上， A t的原函数的全体，叫做 A t在I上的不定积分不定积分，记作 A t dt（1.2.19）这个定义和数性函数的不定积分定义完全类似，故和数性函数一样，若已知 B t是 A t的一个原函数，则有 ,A t dtB tC（C为任意常矢）（1.2.20

31、）而且，数性函数不定积分的基本性质对矢性函数来说也仍然成立。例如 kA t dtk A t dt （1.2.21） A tB tA t dtB t dt （1.2.22） =u t adt a u t dt （1.2.23） a A t dtaA t dt（1.2.24） a A t dtaA t dt （1.2.25）其中k为非零常数，a为非零常矢。据此，若已知xyzAA iA jA k，则由（3.4）与（3.5）式有 xyzA t dti At dtjAt dtk At dt （1.2.26）此式把求一个矢性函数的不定积分，归结为求三个数性函数的不定积分。此外，数性函数的换元积分法与分部积

32、分法亦适用于矢性函数，但由于两个矢量的矢量积服从于负交换律，即ABBA ，故其分部积分公式的右端应为两项相加AB dtABBAdt（1.2.27）2.2.矢性函数的定积分矢性函数的定积分定义 设矢性函数 A t在区间12,T T上连续，则 A t在12,T T上的定积分是指下面形式的极限： 2100limnTiiTiA t dtAt（1.2.28）19其中101.nTttt；i为区间1,iitt上的一点；1,maxiiiitttt，1,2,.in 可以看出，矢性函数的定积分概念也和数性函数的定积分完全类似。因此，也具有和数性函数定积分相应的基本性质。例如:若 B t是连续矢性函数 A t在区间

33、12,T T上的一个原函数，则有 2121TTA t dtB TB T（1.2.29）其他的性质就不一一列举了。此外，类似于（1.2.26）式，求矢性函数的定积分也可归结为求三个数性函数的定积分，即有 22221111TTTTxyzTTTTA t dtiAt dtjAt dtkAt dt1.3 场论场论一、一、 场的概念场的概念1. 场的概念场的概念设有一空间(有限或无限)，对于这个空间内的每一点，如果都对应着某物理量确定值，即该物理量在空间作一定的分布，这时我们就说在这空间内确定了该物理量的一个场，若所确定的物理量是数量，则称确定了一个数量场数量场，如温度场、浓度场等。若所确定的量是矢量，则

34、称确定了一个矢量场矢量场，如速度场、力场等。若空间内每一点对应一个确定的张量，则称确定了一个张量场张量场，如应力场、变形率场等。若场中各点的物理量的值不随时间而改变，则称为稳定场，否则，称为不稳定场。本节只讨论稳定场。所谓给定了一个数量场，在数学上相当于给定了一个数量函数)(M，M代表空间中的点。如果给定了一个矢量场，就相当于给定了一个矢量函数)(Ma，因此场中的每一点的位置都可以由矢径决定，故当讨论一个数量场或矢量场时，就意味着对于每一个矢r径都有一个确定的数量函数或矢量函数 的量，此时自变量是矢径r。r)(ra(r)在直角坐标系中，M点的位置可用坐标321,xxx表示，所以数量场还可以表示

35、为：),()(321xxxM20同样，矢量场可表示为：),()(321xxxMaa2. 数量场的等位面数量场的等位面 物理概念：在同一瞬时把具有相同函数值的诸点联成的面，称为等值面等值面或等位面等位面。数学概念：在给定瞬时，在直角坐标系中等位面的方程显然为cxxx),(321式中c为常数。不同的常数将形成不同的等位面(总称等位面族)，在等位面上不同的函数值是相等的。这些等位面的充满了整个数量场所在的空间，且互不相交。通过数量场的每一点都有一个等位面；一个点只在一个等位面上。有了等位面的概念，使得函数在空间的变化率问题就转换为从一个等位面到另一个等位面变化率的问题，这样在分析问题时将带来许多方便

36、。3. 矢量场的矢线矢量场的矢线前面我们引进的等位面的概念形象的描绘了数量场，对于矢量场)(Ma，则引入矢线的概念，以直观的表示他的分布情况。所谓矢线，就是这样的曲线，在给定瞬时它的每一点的切线方向和对应于该点的矢量a的方向重合。对于流体的速度矢量场，矢线就是流线。所以矢量场中的每一点均有一条矢线通过，矢线族充满了整个矢量场所在的空间。静电场中的电力线，磁场中的磁力线都是矢线的例子。若已知矢量场),(321xxxaa ，怎样求出矢线方程呢？设),(321xxxM为矢线上的任一点，其矢径为 321eeer321xxx其微分 321eeer321dxdxdxd在点M处与矢线相切，按矢线定义，rd必

37、定在M点与矢量321eeea321aaa共线。由于矢量adr、共线，其对应分量必成比例，因此有21332211adxadxadx 这就是矢线的微分方程。若利用共线条件，也可得到它的矢量形式的方程 0ard 例例 已知流体的运动速度的速度分量为, 0,31221VcxVcxV其中c是正的常数，试求该速度场的流线族。解解：这是一个定常流动。因为流线的微分方程是 2211VdxVdx所以 1221cxdxcxdx即 02211dxxdxx积分后得 Cxx2221所以流线族是以坐标原点为圆心的同心圆，如图所示。为了进一步确定流体运动的方向，求出速度V与21,xx轴夹角的余旋： 若M点处于第一象限，1x

38、和2x都为正值，则0,cos1xV，故V与1x轴成钝角，因而流体运动的方向是逆时针方向的。二、数量场的方向导数和梯度二、数量场的方向导数和梯度1. 数量场的方向导数数量场的方向导数在数量场中除了解物理量在场中的分布情况，更要了解物理量在 场中各点的 沿每一22211222221211,cos,cosxxxVVxxxxVVxVV22方向的变化情况，例如变化率即导数。一般来说，这个导数的大小在不同方向上是不同的。为此，需要引进方向导数的定义。在数量场中取一点)(rM，该点的函数值为。经过此点引一任意射线l，并用l表示沿射线)(r的单位矢量，如上图所示。然后在此射线上取与M相邻的一点)(rrM.当M

39、点移到M点时，函数得一增量)()()(rrrr 由导数概念得lrrrrrrr00lim)()(lim (1.3.1)我们称l 为函数沿l方向的导数。由(1.3.1)我们可见，力向导数l 是一数量，它代表了函数沿方向l对空间距离的变化率。在直角坐标系中，方向导数有以下定理：定理定理 1 若函数( , , )x y z在000(,)M xyz点可微，cos，cos，cos为l方向的方向余弦，则函数( , , )x y z在000(,)M xyz沿方向的方向导数必存在：coscoscosllxyz (1.3.2)x，y，z是函数在点 M 处得偏导数。定理定理 2 函数)(M在M点沿给定曲线c(正向)

40、对弧长s的导数等于该函数在点M处沿切线方向(指向c 的正向一侧)的方向导数。曲线c的正向规定为弧长增大的方向。函数沿给定曲线对弧长的导数与函数在M点沿曲线切线方向的方向导数相等。dsd代表沿曲线正向单位长度弧长上函数的变化量。232. 数量场的梯度数量场的梯度函数)(M在同一点M处，沿不同方向的变化率是不同的。然而，从一给定点出发有无穷多个方向，因此函数沿哪个方向变化率最大呢？最大的变化率是多少呢？为了回答这些问题，现作如下分析：在直角坐标系中，由式coscoscosllxyz可得：l方向上单位矢量(cos ,cos,cos )l，而令 G=(,)xyz，则(1.3.2)式可写为cos( ,

41、)lG lGG ll，即 G 在给定点为固定矢量，且 G 在l方向上的投影等于函数在该方向上的方向导导数。当方向l与矢量 G 的方向一致时，即cos( , )1g l 时，方向导数有最大值。其最大值为maxlGl。梯度就是数性函数增加的最快的矢量。其定义为：数量场)(M在点 M 的梯度是过该点的一个矢量 G，沿着该矢量的方向，函数在该点的变化率最大，而且最大变化率的值正好等于该矢量的模。则矢量 G 为函数)(M在点M 处得梯度，记为grad。(,)gradGxyz (1.3.3)则maxlgradsl ，为曲线 S 的单位切矢。3.梯度的几何意义：梯度的几何意义：数量场中)(M每一点的梯度垂直

42、于该点的等位面，且指向的增大的方向。过M点作函数的等位面C（如图） ，再过点作M等位面的切平面A，于是曲面C上过点M的所有曲线的切数都在此切平面上。根据等位面的性质，在等位面C上，函数24保持同一数值，故函数在等位面上沿任一方向的导数都为零，即0ldsd因此 cos(, )0gradgradl，则，梯度矢量grad与切平面A在M正交，也就是说数量场中每一点的梯度矢量垂直于该点的等位面。于是函数沿着梯度矢量方向增加量最快，可知梯度矢量指向增大的方向，即梯度指向等量面的法向，其模为沿n方向的方向导数n，表示为gradnn梯度是数量场的一个重要性质，如果把数量场中每一点的梯度与场中之点一一对应，就可

43、得到一个由梯度矢量形成的场梯度矢量场。在流体力学中，无旋流速度位的梯度矢量场就是它的速度矢量场。数性函数的微分等于其梯度点乘矢径的微分。数性函数的微分等于其梯度点乘矢径的微分。dgraddr (1.3.4)证明：dxdydzxyz,dx dy dzgraddrxyz公式：矢径模的梯度等于单位矢径。公式：矢径模的梯度等于单位矢径。即0rgrad rrr (1.3.4)证明: ,rrrgradrxyz而 222rxyz222,rxxryrzxryrzrxyz因此0, ,x y zlrgrad rx y zrr r rrr25例例 1.设222rxyz为点( , , )M x y z的矢径 r 的模

44、，试证0rgradrrr证明：222rxxxrxyz同样 ryyr，rzzr则0rrrxyzrgradrijkijkrxyzrrrr例例 2.求数量场23uxyyz在点( , 1,1)M z 处得梯度及在矢量(2,2, 1)l 方向的方向导数。解：uuugraduijkxyz232(2)3y ixyzjyz k33mgrad uijk又l方向的单位矢量022133333mlgrad uijklijkl于是有0lmMMugrad ugradu ll2213331( 3)( 3) () 三、矢量场的通量和散度三、矢量场的通量和散度1. 矢量场的通量矢量场的通量通量的定义：通量的定义：设有矢量场a，

45、沿其中有向曲面 S 某一侧的曲面积分，即nssa ndsa ds (1.3.4)称之为矢量场a向曲面所沿一侧穿过曲面 S 的通量。n为曲面 S 的单位法矢。通量就是矢量场a在曲面上的有效通过量。通量是可以叠加的。在直角坐标系中，设, ,( , , ), ( , , )Ap x y zQ x y z R x y z，又0cos( , )cos( , )cos( , )dSn dSdSn x idSn y jdSn z kdydzidxdzjdxdyk(1.3.5)26则通量可写成ssA dsPdydzQdxdzRdxdy (1.3.6)例例 1 在由矢径321eeer321xxx构成的矢量场中，

46、有一由圆锥面232221xxx及平面、03hhx所围成的封闭曲面S，如图所示，试求矢量从内向外穿出曲面S的通量。解解：把曲面S分为两部分，一是平面1S它是锥面232221xxx被平面、03hhx所截成。显然1S是一个圆，其方程为22221hxx；另一部分是锥面2S。则通量为SdSddSSSS21nrnrnr其中11111213213312321SSSSSdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxSdnr将面积积分1213Sdxdxx转换为二重积分，即1112121213SSSdxdxhdxhdxdxdxx其中1S为1S在21oxx坐标面上的投影，就是圆22221hxx的面积，所以通过1S的通量为

47、322111hhhdxdxhSdSSnr因为在2S锥面上，矢量r与n垂直，所以02SSdnr最后得3h通量为正，为负，为零时的物理意义：通量为正，为负，为零时的物理意义：对于封闭曲面。sa ds 表示从内穿出 S 的正流量与从外穿入 S 的负流量的代数和。当通量大于零，表示流出多于流入，S 内有源，小于零，表示流出量小于流入量，S内有汇。272. 矢量场的散度矢量场的散度在矢量场中)(Ma中，仅知道通量为正或负不能说明该源源(或汇汇)的强弱程度。为此，用表示封闭曲面所包围的空间的体积，用平均单位体积中所穿出的通量SdSVna1表示V中源的平均强度。为了进一步分析场中各点处源的强度及其分布，下面

48、引进矢量场散度的概念。散度的定义散度的定义 设有矢量场)(Ma，在场中任一点M处作包含M点在内的任意封闭曲面S，其所包围的空间区域的体积为V，从体积V内穿出S的通量。当0V时，曲面S向M点无限收缩，若此式SdSVVna1的极限存在，则称此极限为矢量场)(Ma在M点的散度，并记为adiv，即 (1.3.7)VdSdivSVnaa0lim由此可见，矢量场的散度为一数量，它表示场中一点处单位体积中所穿出的通量。当0adiv时，表示该点有发散通量的源存在；当0adiv时，则有吸收通量的汇存在。散度的绝对值adiv表示该源或汇的强度。当0adiv时，表示该点处既无源也无汇，称为无源(汇)场。3. 散度在

49、直角坐标系中的表达式散度在直角坐标系中的表达式散度的上述定义与坐标系的选择无关。它在直角坐标系中的表达式，由下列定理给出。定理定理 在直角坐标系中，矢量场123112321233()( ,)( ,)( ,)xyza Max x x eax x x ea x x x e在任一点),(321xxxM处的散度为 yxzaaadivaxyz (1.3.8) 28例例 2 求矢径的散度解 xyzdivrxyz=3例例 3 设为数性函数，a为矢性函数，试求()diva()yxzaaadivaxyzyxzxyzaaaaaaxxyyzz()yxzxyzaaaaaaxyzxyz= divaagrad例例 4 在

50、流体力学中速度矢量V的散度代表微团在运动过程中的体积膨胀率。证证： 取一简单矩形六面体，如图所示。在瞬时t，六面体三边长度为1x、2x、3x，体积为321xxx，经过t时间后，1x向的长度变为1111xtxV，2x向的长度变为2221xtxV，3x向的长度变为3331xtxV。当t很小时，变形后微团的体积近似地仍按三边乘积计算。所以单位时间内单位体积的膨胀，即体膨胀率为332211321332211321111111xVxVxVxxxtxVtxVtxVxxxt高斯公式（散度原理）：封闭曲面的通量等于散度的体积分。 ccsVandSdivadV(1.3.8)29它常被用来作体积分和面积分之间的变

51、换。四、矢量场的环量和旋度四、矢量场的环量和旋度1. 环环 量的定义量的定义设有矢量场 A（M） ，则沿场中某一封闭的有向曲线l的曲线积分lA dl (1.3.8)称为矢量场按积分所取方向沿曲线l的环量。在直角坐标系中，设( , , ),( , , ), ( , , )AP x y z Q x y z R x y z又cos( , )cos( , )cos( , )dldll x idll y jdll z kdxidyjdzk其中cos( , )l x，cos( , )l ycos( , )l z为l的切线矢量的方向余弦，则环量可以写成：llA dlPdxQdyRdz (1.3.9)2. 环

52、量面密度环量面密度定义定义 在矢量场)(Ma中任取一点M，作微元面积S，如图所示。其法向单位矢量为n，围线为C，按与n成右螺旋关系作为围线C的正向，那么矢量场)(Ma沿围线C正向的环量为 Cdra(1.3.10)当曲面S在M点处保持以n为法向单位矢量的条件下，该环量与面积S之比以任意方式缩向M点时，若极限 (1.3.10)SdSCSSra00limlim存在，则称该极限为矢量场)(Ma在M点沿方向n的环量面密度。由此可见，环量面密度是环量对面积的变化率。303. 环量面密度在直角坐标系的表达式环量面密度在直角坐标系的表达式在直角坐标系中设123()xyza Ma ea ea e由(1.3.10

53、)式可得 12300()limlimxyyCSSa dxa dxa dxSS (1.3.11)则最终有计算M点的环量密度的关系式1230233112limcos( ,)cos( ,)cos( ,)yyxxzzSaaaaaan xn xn xSxxxxxx (1.3.12)4. 矢量场的旋度矢量场的旋度由环量面密度的定义可知，它是一个与方向有关的量。参照方向导数和梯度的关系，可以将环量面密度看成是两个矢量的点积1230233112limyyxxzzSaaaaaaeeeSxxxxxx n (1.3.13)式中123233112yyxxzzaaaaaaeeexxxxxx为矢量，记为R，它仅与矢量函数

54、a在M点的三个偏导数有关。当矢量函数)(Ma确定后，在给定点处矢量R就是一个确定的矢量。上式第二个矢量321enenen),cos(),cos(),cos(321xxxn代表S的方向，因此(1.3.13)式可以写为 (),cos(lim0nRnRRSs1.3.14)上式表明，在给定点处矢量在方向上的投影，即为该方向上的环量面密度。则旋度定义为：则旋度定义为：若在矢量场)(Ma中一点M处，存在这样的一个矢量R，沿其方向矢量场)(Ma在点31M的环量面密度为最大，且值正好等于R，则称矢量R为矢量场)(Ma在点M处的旋度，记为，即Ra rot (1.3.15)旋度的上述定义与坐标系的选择无关。在直角

55、坐标系中的表达式为123233112yyxxzzaaaaaarotaeeexxxxxx (1.3.16)式中1arot，2arot，3arot是矢量arot在三轴上的分量。(1.3.16)式也可以写为123123233112,yyxxzzxyzeeeaaaaaarotaxxxxxxxxxaaa (1.3.17)由(1.3.12)式可以看出 nSrotrotS)(lim0ana (1.3.18)此式指出旋度的一个重要性质；旋度矢量在任一方向上的投影，等于该方向上的环量面密度，即单位面积环量的极限。式(1.3.16)中的1arot，2arot，3arot就是在321e ,e ,e方向上的环量面密度

56、。S 是有向曲线C包围的面积，n为 S 的单位矢量。则环量是标量但有正负，沿逆时针积分为正，旋度表示单位面积环量，即环量的强度，旋度表示矢量在场中的旋转程度。0rota 的矢量场a称为无旋场，反之为有旋场。斯托克斯公式：矢量a沿一封闭曲线C的环量，等于此矢量的旋度通过该闭曲线所围成的曲面上的通量，即 (1.3.19)SCdrotdSara即环量等于rota法向投影的积分，常用作面积分和线积分间的变换。若利用算符，则矢量场)(Ma的旋度可写为 aarot (1.3.20)例例 1 求电场强度矢量2qErr沿着任一圆周的换两，该圆周的中心在坐标原点，半径为任一不为零的正实数。32解： 根据环量的定

57、义，E的环量为：llE drEds式中为圆周l上的单位切矢。由于l指向，与垂直。因此环量为零。例例 2 设为数性函数，为矢性函数，试求()rota解：(),xyzaaaa()yyzzxzyaaaarotaaayzyyzz()()yzzyaaaayzyz 33 （a a）xyzijkgradaxyzaaa （b b）（a）式等号右边第一个括号中为xrot a，第二个括号中与（b）对比为()xgrada。因此： ()()xxxrotarot agrada同理：()()yyyrotarot agrada()()zzzrotarot agrada因此 ()()rotarotagrada1.4 哈密顿算

58、子的运算规则哈密顿算子的运算规则哈密顿（W .R .Hamilton)引进了一个矢性微分算子： （1.4.1）kjixxx称为哈密顿算子或算子。记号可读作“那勃勒（Nabla)”或“代尔（del)” ，算子本身并没无意义同，而是一种微分运算符号，同时又被看作是矢量。就是说，它在运算中具有矢量和微分的双重性质。其运算规则是：kzjyixuzkyjxi)(u34,)()()(,)()(AkyAxAjxAzAizAyAAAAzyxkjiAxAyAxAkAjAiAzkyjxixyzxyzzyxxyxjyx由此可见，数量场 u 的梯度与矢量场的散度和旋度正好可用算子表示为Agrad u = u ,div

59、 = ,rot =.AAAA从而，与此相关的一些公式，也就可通过算子来表示。此外，为了在某些公式中使用方便，我们还引进如下的一个数性微分算子：,)(AzAyAxAzkyjxikAjAiAzyxzyx（它既可作用在数性函数 u（M）上，又可作用在矢性函数（M）上。如B,BBBB)A(,)A(zAyAxAzuAyuAxuAuzyxzyx应当注意：这里的和上述的是完全不同的。AA现在我们把用表示的一些常见公式列在下面，以便于查用，其中 u 与 v 为数性函数，为矢性函数。BA和35，）（为常矢为常矢为常数为常数为常数)()()()()()14(),()()(13)()()()()()12(,)()1

60、1(,)()10(,)()9(),()()8(),()()7(,)()6(,)()5(,)()4(),()()3(),()()2(),()() 1 (BAABBAABBABAABBAABABBABABAAuAuAuAuAuAuvuuvuvccucuccucuBABABABAvuvucAcAccAcAccuccuAAAAuuuuu)()()18(, 0)()17(, 0)()16(),()()15(2为调和量 （其中） ，kAjAiAAzyx在下面的公式中，rrkzj yi xr,),()23(,)( )()22(, 0)21(, 3)20(,)19(0vvfuufvufuufufrrrrrr)