-高数期末试卷答案上课讲义

1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除得分一、填空题（共5 题，每题 3 分, 共 15 分）八总成绩题号一二三四五六七得分判卷人复核人xy1. 设函数 z ey，则 xz (1,2) . 答：e 21 12. 交换二次积分 0d x x f x y ( , )d y 的次序为1 y答：0 d y 0 f x y ( , )d x3. 若级数 ( u n 1) 收敛，则 lim u n答： 1n 1 n4. 若曲线积分 Laxy 2 )d x ( x 2y )d y在 xOy 面内与路径无关，则 a答：a 25. 若 是由平面 x y z 1 及三个坐标面围成的立体表面外侧，则曲面积分(

2、 x 1)d y d z y d z d x d x d y答：13得分 二、单项选择题（共 5 题, 每题 3 分, 共 15 分）1. 函数 z f ( x , y ) 的两个偏导数 f x ( x，y ) 及 f y ( x，y ) 在点 P 0 ( x 0 , y 0 ) 处连续，是函数 z f ( x , y ) 在点 P 0 ( x 0 , y 0 ) 可微的（A ）条件 . （A）充分；（B）必要；（C）充分且必要；（ D） 即非充分又非必要 . 2 22. 设 z f x y )，其中 f 具有连续的导数，则下列等式成立的是（B ）只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请

3、联系网站删除（A ）xzyz; （B）yzxz; （C）yzxz; （D）xzyz. xyxyxyxy3由几何意义，二重积分x 2y 2 1d d x y（A ）. （A）；（B）2 3；（C）4 3；（D）04设 L 为连接 (1,0) 和 (0,1) 两点的直线段，则Lxy) ds=（D ）（A ）0；（ B）1；（C）3 ；（D）2 5若幂级数anx1 )n在x5点收敛，则级数an3n（C ）n0n0（A） 发散；（B） 条件收敛；（ C） 绝对收敛；（D） 收敛性无法确定得分三、偏导数和全微分计算题（共2 题, 每题 6 分, 共 12 分）1. 设函数zxy，化简xz1z.yxlnx

4、y解: 由zyxy1，（ 2 分）zxy lnx，（4 分）xy则xz1xzxyxy2z.（6 分）yxlny2.设函数zz x y 由方程 3xyzz e 确定，求全微分dz . 解 : 方程两边对 x 求导（将 z 看作x,y的函数），有3zezz，解得z31.（2 分）xxxz e类似地，有ze11.（ 4 分）yz因此 ,dze31dxz e11dy. （6 分）z只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除得分四、重积分计算题（共2 题, 每题 7 分, 共 14 分）1确定1计算二重积分(yx )d d x y ，区域 D 由不等式0 x1及xyD1 1解：( y x

5、 )d d x y 0d x x ( y x )d y （3 分）D1 1 2 12 0 (1 x ) d x6 .（7 分）计算三重积分 z d x d y d z，其中 是由平面 z 0 , z y , y 1 及抛物柱面2y x 所围成的闭区域1 1 y解： 原式1 d x x 2 d y 0 z z（3 分）1 1d x 12 y 2d y （4 分）1 1(1 x 6)d x （ 6 分）2 1 x 6 12. （7 分）7得分 五、线面积分计算题（共 2 题, 每题 6 分, 共 12 分）1计算曲线积分L ( x 2y 3) d x ( y 2x 3) d y， L 是上半圆域

6、x 2y 21，y 0正向边界解： 由格林公式，原式3(2 xy2)d d x y（3 分）D30d13 d3（6 分）0 xa，0ya，042.x d y d zy d z d x(zz3)d x d y，其中是正方体0za的表面外侧(332 z)d d d x y z （3 分）解： 由高斯公式，原式3 a3adxad ya3z2 dz3a35 a （6 分）000只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除得分 六、级数题（共 3 题, 每题 6 分, 共 18 分）1. 判断级数 3 nn2 n 2的收敛性n 1 2解： 因为 lim n uu nn 1 lim n 3

7、n 14 ( nn 1 )1 23 4n n n2 lim n 34 ( nn 1) 2 34 1，（5 分）所以级数 3 nn2 n 2收敛（6 分）n 1 2n n2. 求幂级数 2 n ( x 1 ) 的收敛半径与收敛区间 . n 1解：解： 由 lim n aa nn 1 lim n 2 n 12 n ( nn )1 2 ,（2 分）得幂级数 2 nn ( x 1 ) n 收敛半径 R 1（4 分）n 1 2所以幂级数 2 nn ( x 1 ) n的收敛区间是 ( 1, 3 )（6 分）n 1 2 23. 将函数 f x ( ) 1 展开为 x 的幂级数，并指出收敛范围3 x解：f x

8、 ( ) 1 1 1（ 1 分）3 x 31 1 x31 ( 1 x ) n 1n 1 x n（5 分）收敛范围为 3 x 3（6 分）3 n 0 3 n 0 3得分 七、应用题（ 8 分） 要造一容积为定值 V 的长方体无盖水箱，为最省材料应如何设计水箱的尺寸？解： 设水箱的长、宽、高分别为 x , y , z .则表面积A xy 2 ( x y ) z，( x 0 , y 0 , z 0 ) . （ 2 分）约束条件为 xyz V .设 L ( x , y , z ) xy 2 ( x y ) z ( xyz V )，（3 分）只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除由L

9、 Lxy2zyz,0y2x2z)xz,0,（5 分）Lz(xyxy0得惟一驻点xxyzV,y3 2V，z1 232V. （6 分） 由实际意义，体积一定时，长方体表面积A有最小值 . （7 分）所以，当水箱的长、 宽都为3 2V ，高为132V2时，最省材料 . （8 分）得分 八、证明题（ 6 分） 设 u n 是单调递增有界的正数数列，证明(1 u n) 收敛n 1 u n 1证明 : 记 v n 1 u n，则 v n u n 1 u n0，且 v n u n 1 u n，（1 分）u n 1 u n 1 u 1正项级数 u n 1 u n 的部分和 S n n u k 1 u k u n 1 u 1 . （2 分）n 1 u 1 k 1 u 1 u 1因为 u