2002-13华中科技大学高等代数

1、i 二o o二 钿收硕:w住心考试腹!考试科民 竽; 适用专业：_应用数学、针算数学、槪率统计基磁就響關矗密博蚪.阮匪答秦梅!&密芽在寮瓏fSJt.璋在试1題上恋草豹懾上无皴，烤建厨锻聽曲咎霸簸交凰以革警题每题协分，共100分E；I =设盒，B，C为同险方臨，定义A , 8 AB-BAj求臥巩c+陂c). xf+ Jc川hj 二、设A掬銮n阶对粽矩命B強赛*阶反对称矩阵，且AB BA-： R为苛逆矩阵“证职 +塚窮亠旳是正玄矩阵三、设A，B为n阶方阵.d B, A+B均可逆。诙明 以十护也对1i逆，井求其逆。虜*证明平面上三条不同的直箜上ar 4-4+-0 I bx+cy+n =0Ittjc+

2、oy + 6 = 0相交的充裁必聲条件Ma+6 + i1 - 0 I1L设A为二阶方阵，毘存在正聽数心打 便得.4J氛 证阴屮I六、设袂T)*,秩H，逓明秩伽“七、谡A列n擁半iE迄矩阵，征明|J + 2/|2 2II_I “ m _-e ”亠_试卷ift号冲岬共2 頁第 1 駆八、设A为所有元素均为I的n阶矩阵，求A的址小多项式.九、设V为数域P上字母x的次数小于n的全体多项式与零多项式 构成的向量空何，迄义V上线性变换1-求。的核r （。）与值域7（卩）；2.证明：/7 （0）田7（V）计、设A, B堆数域P上两个n阶矩阵，詡，但十0,B *0.证明A与13相似.二OO三年招收磺土研究生入

3、学考试试题考试科乐 适用专业:僚合课程应用数学、计算數学、櫃率统计(H外.所有菩案丸甥吗在答璋配上，写在试18上及草HWU:无效.廿倉后试隐营ft交回1、设A为mXn复矩阵.证明线性方程组AXP与人忱同解.算中-Af 15、设Ai,An.A,都是n阶方陽且AiAj-.Ain-O证明：轶A】+秩Aj+*+ ttAfm-IXi. ,x)r,求q的两 个非平凡不变子空糾儿和乃，便用=片岭.($分)六、设A* B AB祁是n阶实对称矩阵.| 2是AB的一个特征值.证明存在A 的一个得征值$和B的一个特征值h ftl-jr. 0心刃飞其他】、求常数珀2、求(X,Y)的分布函数；3、P(0Xl,0r2)十

4、、设随机变量X的分朽函数为：(15分0,JTV-1；F(.r) a + Aarcstrtx,-1 i x 1;1,x 1.求常数db；2、求数学期望EX和方差DX.率申刑技尢專二O O四年招收硕士研究生入学考试试题考试科目：高等代数适用专业:应用数学、概率统计、计算数学(除亟图题外，所有答案都必须写在答題紙上，月在试题上及草稿址上无效，考尢JB试題RS答理最交回)以下各题每題15分，共150分.一、设A是n阶方阵，证明A可逆当且仅当存在常数项不为0的多 项式g(A),使得g(A)=O.二、设A是一个3阶方阵，且A2=E, AH 土E,证明A+E与A-E中 有一个的秩为1,另一个的秩为2,其中E

5、为3阶单位阵.三、设A是实mXn矩阵,B是实mXs矩阵,证明矩阵方程ATAX=ATB 一定有解。其中人丁为A的转置矩阵.四、设为n阶方阵，求A的最小多项式。五、设A为正定矩阵，证明A可以表成n个半正定矩阵之和。六、设At=A,证明A可逆当且仅当存在矩阵B,使得ab+bta正定.七、设6T为V中线性变换，且rT,证明kera=kerr当且 仅当err = a, ra = r,其中kercr为b的核。八、设A为实对称矩阵，B为实反对称矩阵，且AB=BA, AB可逆, 证明(A+B) (A-B)-为正交矩阵。九、设为Px中线性变换，且(x) = /(A rtf(x) = xf(x)证明orr-ror

6、 = ff,其中$为单位变换。十、设A为n阶方阵，w =r|Xx = O), IF, =(X7?|(-)X = 0)证明A为慕等矩阵当且仅当二OO云年招收硕土研究生入学考试试题考试科乐_适用专业：应用数学_计算数学 概率论与数理统耳(除価图趣外，所有答案郝必须写在答世纸上，写锂试题上及草稿纸上无效，奇完后试題随答题纸交冋)以下各题每题帖分，共150分L解线性方程组13jc, + tn：2 + m Xj - a彳斗+bx2 +护些=护 X +CX2 + 等于 Ail+Akj十5 证明：相似的矩阵有相同的垠小多项式.6”设A为mxn矩阵，b为m维列向量，证明AX=b有解的 充分必契条件是对满足A

7、VO的in维列向量z也一定满足bTz=O人证明：枉一n阶实可逆阵A可以分解成一个正交阵Q与一 个正定阵S之积.BP A=QS,8,设MePrxEl, f(x)r g(K)Pxb 且(fGch g (x) -k 令A=f (M), B=g (M)f Wr Wlf吧 分别为线性方程组ABX=O + AX=O, BX=0的解空间，证明W=Wj W29*设热是一些Ji阶方阵组成的集合，其中元素满足BE 6都有心EQ且(AB) BA,证明CJ)交换律在口中成立。 当EFQ时，站中矩阵的行列式的值只可能为几1.10.证明：不存在n阶正交阵A, B,使得卅詡盼试舂编号；沁j二OO六彌收颅士硏究生入学考试试题

8、考试科目:高等代数适用专业:基础数学、应用数学、计算数学、概率统计、除洒图題外*所有答案都必顿吗在答题纸上，写在试 题上及草稿纸上无效，考完后题随答题纸交冋以下各题每题15分，共150分一、设A=(ar7);i阶非零实方阵，且関的每一个元素都等于它的代 数余子式上屮求秩*。二、求矩阵1 A 才 A冲伉卜 A A -几的标准形v、1 + A1 A2 -A3三、设斗是矩阵/的属于特征棍人的特征向亀 向景组片和兀满足 (A xt xt f i =1,2,-yS-It 证明 x1,x2i-xs 线性无关.其中 E 为与 A 同阶的单位阵。四、设打阶方阵/的总个特征根互异，F与/有完全相同的特征根，证

9、明存在矩阵。及可逆矩阵P,使A = PQ,B - QP 五、设AQ是附矩阵，胪乂 虬息兀才X = 0的解空间为 证明线性方程组AX =b有解的充分必要条件是丄甲。试卷编号：4- f六、设泊是正定矩阵，君是半正定矩阵，证明仙的特征报为非负实数七、设/为R阶方阵，卫的各行与各列恰有一个非零元素且为1或-1 证明川的特征根都是单位根。八、设方阵眉的最小多项式为刖（几），而g）为任意多项式证明也 可逆的充分必要条件是（几）（刃卜1 九、设CF是数域戸上昇维线性空间V的线性变换，甲“是X的子空间, 并且VWxW2t证明。有逆变换的充分必要条件是JZ =讥旳甜or化）.十、设虫和*分别是战阶和程阶方阵，且

10、川与B无公共特征根，证明 满足等式AXXB严初的矩阵X只能是零矩阵二oo七年招收硕士研究生入学考试自命题试题考试科目：高等代数jtsd创I适用专业：基础数学应用数学计算数学概率统计（除画图题外，所有答案都必须写在答题娥上，写在试题纸上及草稿址上无效，考完后试题随答題纸交回）以下各题每题15分，共150分一、设力为巾阶方阵，若存在唯一的阶方阵E,使得ABAA,证明BAB = BO 二、证明平面上三条不同的直线+c = 0, bx+cy + aQ , cx+ay+bO相交的必要充分条件是 a+b+c-0o三、设$是实数域上所有Z2阶对称阵所构成的线性空间， 对任意J,5eF,定义其中f,仙表示曲的

11、迹1证明卩构成一欧氏空间；2求使=0的子空间S的维数;i i T试卷编号：4。华中科技大学试题纸3.求S的正交补少的维数。四、证明任意刃阶实可逆阵/可以表成个正定阵S与一 个正交阵之积。五、设三阶复方阵AC,D有相同的特征多项式，证明 其中必有两个方阵相似。六、设CT是实数域R上线性空间/的线性变换，/(x), g(x)wRx, ft(x) = /(x)g(x),证明：1 Jeer /(b) + ker g(cr)匚 ker/l(7)2.若(f (x),g(x) = 1,则keM(b) - ker /(er) ker g(a)七、设虫为“阶方阵，证明：秩(才)+秩4“秩(屮八、设为“阶方阵，存

12、在正整数“使八E,其中E 为幷阶单位阵，证明：1厦相似于对角阵72设AtBt1+ + AB+E = Qf则8也相似于对角阵。九、设/为二阶方阵，若有方阵乩 使得Mn血 证 明川=0。十、设4,B,C为X阶方阵，CC 必，且C与&都可 交换，证明存在不大于R的正整数皿，使得COo试卷编号：今。丿华中科技大学试题纸(1 1 10 1 11若矩阵的伴随矩阵才=10 0 AA是正定矩阵；(2)方程组AX = 0只有零解，这里 也丿丿，求才的逆2假设人B都是2X2的实矩阵，并且” / = E, AB + BA = 0，证明:存在可3 假设NXN实对称矩阵A，B以及A-B均是正定矩阵，证明:B-1 - A

13、-1也是正定矩阵4 证明：向量 = (MA 1)，a2 = (MA 1，0)，L a = (1，0,L 0)是 n 维向量空间 的一组基。5设A，B分别为n阶正定和半正定矩阵，证明：A +冈 A + B，且仅 当B=0时取等号6设A与B是n阶矩阵，证明AB与BA有相同的特征值。7设A为rnXn实矩阵，秩(A) = n，证明： 证明：g),有 f*f e LV)；证明：L(W) L(V),这里表示同构。10设人B都是N阶矩阵，且aba = B-1. 证明：秩(E - AB+ 秩(E + AB = NX一 1 Xan an-lX (15)计算如下行歹斌一 1 xa2一 1 X + d二、C2O)设

14、J是nx侥阵，B是rx$矩阵，如B-a5) = r.证明如下结论：如 = 0,贝!14 = 0如果 =贝!U = 7.三、(20)设矩阵彳=|如 I.向Set =(c1,c:,c3)r,其中a21a21a13)Ci=det|du13 Ic2 = detj 13 c?=det| L证明如下结论：1%23)1呛丿1%如丿(1) ran&A) = 2的充分必要条件是向五=0；如果如!録4)=2,那么a是齐次线性方程组疣=0的基础解析.四、(20)己知a“a*是齐次线性方程组4* =啲一个基础解系，向莺务伐都是 4X=0的解.令矩陥=(ap-aj T = g：证明如下结论：存在册方阵C,使得T = S

15、C；屈.届也是X = 0&勺基础解系的充分必憨件是C町逆.五、(30)设7是欧式空间内的一个线性变换，对于任意的向量久碑有(7d,0) = (ar0). 证明谢特征值都是实数.是否可以找到空间0垂，使得7对应的矩阵是对角矩率证明你的结论.取E = R3,以及它的一个标准正基甌上2，勺= E.T(e1) = T(e;)=T(e3) = e1+e2 +e3, 求的另一个标准正交基，使得7对应的矩阵是对角矩库六、(25)设7是维线性空间/内的一个慕等线性变换即T2=T.证明厂是Im0)与K(F)的和空间.这个和是道和吗？说明你的理由.设咖秩为八证明存在励一组基，使得对任翱勺向量a,如果a在这组基下的

16、坐标为 (x“,xj,则7(a)在这组基下的坐标用X,x”Q0)2.(3)求沖勺最小多项式.七、(20)必是”阶实对称矩阵，ei维实向量己知矩耳:是正定矩阵.证明矩腳可逆./正定吗？说明你的理由证明aAa 0,又设A是实 对称阵，证明：f(A)是正定的.才+ Z可逆.七、设上是MX”矩阵，3是X矩阵，且加M ” _证明：det (z - &4 ) = 2 det (肚-AB )八、设是/线性空间P的线性变换，对厂中任意的a,0有(/&)= (a,/(0) 证明：(l)lm / = ker 厂.旷是/的不变子空间，则卩也是的/不变子空间.2012华中科技大学考研高等代数试题参考解答 TOC o

17、1-5 h z /111Po1111.设。=0 o I1 ，求的所白代数余子式Z和. 00001；设.1为阶实方阵”证明:r(.4.，l) = t(.U) = r(.l),梵中V为A的转置.证明.我们只壽妄谊明.V.Lr =()知Lr = ”冏解 百先4果/满足.Lr =0 , 則必奇VAj =0.-是Ax = 0的解都是XAr =()的料.尺过来.it J満 . T Ij = H, I1; r V l.r 0 . 4m 垄令 lr = “ .其屮 i/ 伽 n n).炉I 即yy = 14 + +- 于是i = ； = = % = u，即 i/ = ii . 11此知栗 r 為足. V. L

18、r = ti Z、勺 Ar n U ,即-1. I.r二()的解都是Ar =(啲解.第上硏述,.V. U = I) .Lr = 0同 解”于是 r(/f.4) = r(4)同廛可碍 r(.4.V) = r(.4)综上所逛电 r(AA) = r(/l.V) = r(.4).已知P=(；)，证明卩可逆的充熒条件是可逆，井& (7-A)-已知的悄形下求P-*.证明.凶勺P = |.l - /|, K）此P可逆等价于I价于等价十Z-.4可逆.注龙列证明.先证明 ker.4 D kerB = 0 , it r krr A D ktr Z?,則有-Lr = Bt =(),又 由A BCD阿眄可互枷文損，所

19、以t = A(r + BDx = CAx + DBr = I) + (I,因此 ker .1H ker B =().再 iA ker AH = k*r .4 + kT B . 丸由.1,13 可支佬，所以任取 kfr .1 , 有 AB.r = BAx =(),因此 j ka AB . 5是 ker A C krrB;同理可碍 kT B C krr AD ,所以 krr .IZ? ker . I + krr 13 .又 r ker AB ,此时 t BACx = CABjt = (I, 以.ICr krr B;间圧青 BDx k-r .1 .所以由 AC + BD = E 知.r =+ BL)

20、x 6 ker B + 1st .1 = ka A + ker B .从而 krr .IOC krr A + ker B. Ui)此疔 ker AB = krr+ ker D.综上所i有 ker.IB = ker.Iker2?. 5.求1E交变换化j + “2 + :_r = 1为林准方椁，井指出曲面类型解答.方tt xy + /： +二=1可化为2xy + 2y: + 2zx = 2 ,于聂可转化为二次 里H4r = 2,其中A) I ?A =10 1J 1 /阳未碍的将従方悝为/(A) = (A-2)(A + 1)当A = -1时可求 (-/ 一 1)上=0的阿个互相正交的单位长度的解为当

21、入=2时，可求得(2/ 此苦令.4)x = 0的一个单位世度解为空；上2/fm! P 为正交矩降，且冇.lP = P()于是可全S = Pcliagv?.sA7.- -，则.1 = 且s可逆对你.因此ah = sm 相似于s-1(s2b)s = sns，衍由 正定处SBS与B合同，即S8S的转医值都是正数，从而.1B的特征值都是正救.又因为AB为实对称矩阵，所以,3正定.任取R,因为4.3正定，所以_r4r bdzBr因此+ I3)x = xr. l r + iBx II .又由A. B实对称显热可得.I + ?实対称，所以.1 + B半正宅.苦此时，1正宅，则如果x#0，有rAx 0,此时/

22、(.I + )/ = /A r + jHx (I ,凶此对任ir R JL 有H(.4 + 3址 (),从而.4+8正定.已知V为实8域上2“ + 1维线性空间J.g为V上的线性变換，fl f/ = gf, 求证:(f(l A.p R , p V 且 v 丰()使得 fv) = Ap.g(“)= “ 证明.由空何那一分解定理|及实系數多用犬虚帳版】寸出现知/必”-个舟 數维实的银子空Io V , H f的不变子空间.设此根子空河对应特征值 A R, Witt 为 A .注意 M fg = y/. 以(入/ 一 /)*; = /(AZ - /)* .于是任取 j ir, (A/- /)(g()=“(刘-/)*(巧)=9(d) = .因此g(z) W ,从而W也是g的不变子空间.因此将/.gfll制庄W上仍桟 都是奇數维圾性空呵上的线性变損，于是只宦食隹II中去看问題，问题可以 41化为为实敦妊上2“ + 1堆纯性空间J,为上的线性变揍.且的特 征值全部为A R,則存在“只，且P / 0使得/(p) = Xi/,q(u)=. 考