《指数函数和对数函数》知识点汇总及习题详解)

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业一、指数的性质（一）整数指数幂1整数指数幂概念： 2整数指数幂的运算性质：（1） （2）（3）其中， 3的次方根的概念一般地，如果一个数的次方等于，那么这个数叫做的次方根，即： 若，则叫做的次方根， 例如：27的3次方根， 的3次方根，32的5次方根， 的5次方根说明：若是奇数，则的次方根记作； 若则，若则；若是偶数，且则的正的次方根记作，的负的次方根，记作：；（例如：8的平方根 16的4次方根） 若是偶数，且则没意义，即负数没有偶次方根； ；式子叫根式，叫根指数，叫被

2、开方数。 4的次方根的性质一般地，若是奇数，则； 若是偶数，则5例题分析：例1求下列各式的值： （1） （2） （3） （4）解：略。例2已知 ， 化简：解：当是奇数时，原式 当是偶数时，原式所以，例3计算：解： 例4求值：解：（二）分数指数幂1分数指数幂： 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质（2）对分数指数幂也适用，例如：若，则， 即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是； （2）正数的负分数指数幂的意义是2分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用即

3、说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用； （2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。3例题分析：例1 用分数指数幂的形式表示下列各式： ， ， .解：=； =； =例2计算下列各式的值（式中字母都是正数）（1）； （2）；解（1） = =； （2） =例3计算下列各式：（1） （2）解：（1）= =； （2）=（三）综合应用例1化简：.解：=. 例2化简：.解： 评述：此题注重了分子、分母指数间的联系，即，由此联想到平方差公式的特点，进而使问题得到解决。例3已知，求下列各式的值：（1）；（2）.解：（1），又由得，所以.（2）（法一），（法二）而， 又由得，所以.

4、二、指数函数1指数函数定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域是2指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质： 图象性质（1）定义域：（2）值域：（3）过点，即时（4）在上是增函数（4）在上是减函数例1求下列函数的定义域、值域：（1） （2） （3） （4）解：（1） 原函数的定义域是， 令 则 得，所以，原函数的值域是（2） 原函数的定义域是， 令 则， 在是增函数 ， 所以，原函数的值域是（3）原函数的定义域是，令 则， 在是增函数， ，所以，原函数的值域是（4）原函数的定义域是，由得， ， ，所以，原函数的值域是说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。

5、例2当时，证明函数 是奇函数。证明：由得，故函数定义域关于原点对称。所以，函数 是奇函数。例3设是实数，（1）试证明：对于任意在为增函数；（2）试确定的值，使为奇函数。分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答方法。（1）证明：设，则，由于指数函数在上是增函数，且，所以即，又由，得，所以，即因为此结论与取值无关，所以对于取任意实数，在为增函数。评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。（2）解：若为奇函数，则，即变形得：，解得：，所以，当时, 为奇函数。三、对数的性质1对数定义：一般地，如果（）的次幂等于N,

6、 就是，那么数 b叫做a为底 N的对数，记作 ，a叫做对数的底数，N叫做真数。即， 指数式底数幂指数对数式对数的底数真数对数说明：1在指数式中幂N 0，在对数式中，真数N 0（负数与零没有对数）2对任意 且 , 都有 ，同样：3如果把中的写成， 则有 （对数恒等式）2对数式与指数式的互换例如： 例1将下列指数式写成对数式：（1）； （2）； （3）； （4）解：（1）； （2）； （3）； （4）3介绍两种特殊的对数：常用对数：以10作底 写成 自然对数：以作底为无理数，= 2.71828 ， 写成 例2（1）计算： ， 解：设 则 ， , ；令， , , （2）求 x 的值：； 解： ；但必

7、须： ， 舍去 ，从而（3）求底数：， 解： ； , 4对数的运算性质：如果 a 0 ， a 1， M 0 ，N 0， 那么（1）；（2）；（3）例3计算：（1）lg1421g； （2）； （3）解：（1）解法一：；解法二：=；（2）；（3）=5换底公式： ( a 0 , a 1 ；)证明：设，则， 两边取以为底的对数得：，从而得： ， 说明：两个较为常用的推论：（1） ； （2） （、且均不为1）证明：（1） ；（2） 例4计算：（1） ； （2） 解：（1）原式 = ； （2） 原式 = 例5已知，求（用 a, b 表示）解：， ， ，又， ， 例6设 ，求证：证明：， ， 例7若，求解：

8、， ， 又 ， ， 四、对数函数1对数函数的定义：函数 叫做对数函数。2对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数的定义域为，值域为（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于的对称图形，即可获得。同样：也分与两种情况归纳，以（图1）与（图2）为例。 （图1）（图2）（3）对数函数性质列表： 图象性质（1）定义域：（2）值域：（3）过点，即当时，（4）在（0，+）上是增函数（4）在上是减函数例1求下列函数的定义域：（1）； （2）； （3）分析：此题主要利用对数函数的定义域求解。解：（1）由0得，函数的定义域是；（2）由得，函数的定义域是；（3

9、）由9-得-3，函数的定义域是例2比较下列各组数中两个值的大小： （1），； （2），； （3），.解：（1）对数函数在上是增函数，于是；（2）对数函数在上是减函数，于是；（3）当时，对数函数在上是增函数，于是， 当时，对数函数在上是减函数，于是例3比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1），； （2），； （3），； （4），解：（1）， ，； （2）， ， （3）， （4）， 例4已知，比较，的大小。解：， ，当，时，得， 当，时，得， 当，时，得， 综上所述，的大小关系为或或例5求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）（且）解：（1）令，则， ， ，即函数值域为 （2）令，则， ， 即函数值域为 （3）令， 当时， 即值域为， 当时， 即值域为例6判断函数